专题三 待定系数法求一次函数的解析式（含答案）

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专题三 待定系数法求一次函数的解析式
【知识清单】
1. 待定系数法的定义：
先设出待求的函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法.
2.待定系数法的一般步骤
(1)设：设出含有待定系数的函数解析式；
(2)代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数解析式，列出关于待定系数的方程(组)；
(3)解：解方程(组)，求出待定的系数；
(4)回代：将求得的待定系数的值代回所设的解析式.
3. 待定系数法具体过程
【典型例题】
1.（原创题）已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)
(1)已知该函数图象经过点(2，7)，(－3，2)，求该一次函数的解析式．
(2)已知该函数图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点(1，2)．求该一次函数的解析式．
(3) 已知该函数图象经过点(1，2)，且把函数图象向上平移1个单位长度经过原点，求该一次函数的解析式．
(4) 已知该函数图象经过点(1，2),把函数图象沿X轴翻折后，得到的新图象经过点(-2，4)
求该一次函数的解析式.
(5)当自变量x满足-1≤x≤2时，函数y满足-4≤y≤8, 求该一次函数的解析式.
答案：
（1）y＝x＋5.
（2）y＝x＋1.
（3）y＝3x＋1
（4）y＝2x
（5）y＝2x 或y＝-4x+4
【提升练习】
A级
1.下表中是某个一次函数的自变量x与函数y的三组对应值，则这个一次函数的解析式为(　　)
A.y＝－x＋1 B．y＝－x－1 C．y＝x－1 D．y＝x＋1
x －2 1 2
y 3 0 －1
2. 若三点(1，4)，(2，7)，(a，10)在同一直线上，则a的值等于(　　)
A．－1 B．0 C．3 D．4
3. 【2021·呼和浩特】在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(0，4)．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为(　　)
A．y＝－x＋4 B．y＝－x＋4 C．y＝－x＋4 D．y＝4
4．(2020·杭州)在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax＋a(a≠0)的图象经过点P(1，2)，则该函数的图象是(　　)
5. 【2021·呼和浩特】在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(0，4)．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为__________
6. 【2022·呼和浩特】某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折，若某人付款14元，则他购买了________千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x＞10)的函数解析式为____________
7. 已知一次函数的图象经过A(0，－4)，B(1，－2)两点. 求：
(1)这个一次函数的解析式；
(2)一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积.
B级
8. 某通讯公司最近推出的无线市话的收费标准为：前3 min(不足3 min按3 min计)收费0.2元，3 min后每分收费0.1元．则通话一次的时间x(单位：min)(x>3)与这次通话费用y(单位：元)之间的关系式是(　　)
A．y＝0.1x B．y＝0.2＋0.1x C．y＝0.2＋0.1(x－3) D．y＝0.1x＋0.5
9. (2020·邵阳)已知正比例函数y＝kx(k≠0)的图象过点(2，3)，把正比例函数y＝kx(k≠0)的图象平移，使它过点(1，－1)，则平移后的函数图象大致是(　　)
10. (中考·枣庄)如图，直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别是线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC＋PD最小时，点P的坐标为(　　)
A．(－3，0) 　 B．(－6，0) C. 　 　　 D.
11.(中考·重庆)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3过点A(5，m)且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点C，过点C且与直线y＝2x平行的直线交y轴于点D.
(1)求直线CD的解析式；
(2)直线AB与CD交于点E，将直线CD沿EB方向平移，平移到经过点B的位置结束，求直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围．
C级
12. (2020·淮安)甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发x小时后离甲地的路程为y千米，图中折线OCDE表示接到通知前y与x之间的函数关系．
(1)根据图象可知，休息前汽车行驶的速
度为________千米/时；
(2)求线段DE所表示的y与x之间的函数表达式；
(3)接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．
13.如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(－2，2)，(1，8)，且直线AB与y轴的交点为D.
(1)求△AOB的面积．
(2)若y轴上有一点M，且△MAB的面积为10，求点M的坐标．
(3)把直线AB以每秒2个单位长度的速度向右平移，则经过多少秒后，该直线与y轴交于点(0，－2)
答案：
A级
1.A 2.C 3.A 4.A
5. y＝－x＋4
6.3, y=
7. (1) 解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
将点A(0，－4)，B(1，－2)的坐标分别代入，
得 解得
∴这个一次函数的解析式为y＝2x－4.
(2) 解：∵当y＝0时，2x－4＝0，则x＝2，
∴函数图象与x轴交于点C(2，0)，即OC＝2.
∵一次函数的图象与y轴交于点A(0，－4)，即OA＝4，
∴S△AOC＝OA·OC＝×4×2＝4.
B级
8.C
9. D
解：把点(2，3)的坐标代入y＝kx(k≠0)得2k＝3，
解得k＝，∴正比例函数解析式为y＝x.
设平移后的图象的函数解析式为y＝x＋b，
把点(1，－1)的坐标代入y＝x＋b得＋b＝－1，∴b＝－.
∴平移后的图象的函数解析式为y＝x－.
故函数图象大致是选项D.
10. C
解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，连接PD，此时PC＋PD最小，如图所示．
令y＝x＋4中x＝0，则y＝4，∴点B的坐标为(0，4)；
令y＝x＋4中y＝0，则x＋4＝0，解得x＝－6，
∴点A的坐标为(－6，0)．
∵点C，D分别为线段AB，OB的中点，∴点C(－3，2)，点D(0，2)．
∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为(0，－2)．
设直线CD′对应的函数解析式为y＝kx＋b，
∵直线CD′过点D′(0，－2)，∴b＝－2.
又∵直线CD′过点C(－3，2)，∴2＝－3k－2.∴k＝－.
∴直线CD′对应的函数解析式为y＝－x－2.
令y＝－x－2中y＝0，则0＝－x－2，解得x＝－.
∴点P的坐标为.
11.（1）解：∵点A(5，m)在直线y＝－x＋3上，
∴m＝－5＋3＝－2，即A(5，－2)．
∵把点A向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点C，∴C(3，2)．
∵直线CD与直线y＝2x平行，
∴设直线CD的解析式为y＝2x＋b，
把点C(3，2)的坐标代入，得b＝－4.
∴直线CD的解析式为y＝2x－4.
（2）解：设直线CD与x轴的交点为G，直线CD平移到经过点B时与x轴的交点为F.将x＝0代入y＝－x＋3，得y＝3，即B(0，3)．
∴平移后的直线BF的解析式为y＝2x＋3.
令y＝0，得x＝－，即F.
将y＝0代入y＝2x－4，得x＝2，即G(2，0)．
∴CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围是－≤x≤2.
C级
12.（1）80
(2)解：休息后按原速继续前进，行驶的时间为(240－80)÷80＝2(小时)，
∴点E的坐标为(3.5，240)．
设线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，则
解得
∴线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为y＝80x－40.
(3) 解：不能．理由：若接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程所需时间为290÷80＋0.5＝4.125(小时)，
12时－8时＝4小时，
4.125＞4.
故接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达．
13.(1) 解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b，把点A(－2，2)，B(1，8)的坐标分别代入得
解得所以直线AB的解析式为y＝2x＋6.
所以直线AB与y轴的交点D的坐标为(0，6)．
所以S△AOB＝S△AOD＋S△BOD＝×6×2＋×6×1＝9.
（2）解：设点M的坐标为(0，m)，则MD＝|m－6|.
因为S△MAB＝S△MAD＋S△MBD＝10，
所以×|m－6|×2＋×|m－6|×1＝10，
所以m＝或m＝－.
所以点M的坐标为或.
（3）解：设经过t秒后，该直线与y轴交于点(0，－2)，则平移后的解析式为y＝2(x－2t)＋6，
所以－2＝2(0－2t)＋6，
解得t＝2，故经过2秒后，该直线与y轴交于点(0，－2)．
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