专题四 一次函数（图象）的应用 （含答案）

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专题四 一次函数（图象）的应用
【知识清单】
一次函数在实际问题中的应用：在实际问题中经常抽象出函数的解析式和图象，利用函数的解析式和图象解决实际问题．在解决分段函数问题时，要特别注意自变量的取值范围的划分，要准确而又符合实际．
【典型例题】
1. 如图①，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动．设运动的时间为t(单位：s)，△APD的面积为S(单位：cm2)，S与t的函数图象如图②所示，请解答下列问题：
(1)点P在AB上运动的时间为______s，在CD上运动的速度为________cm/s，△APD的面积的最大值为________cm2；
(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式；
(3)当t为何值时，△APD的面积为10 cm2 ？
解答：
（1）6，2，18
（2）解：PD＝6－2(t－12)＝30－2t，
S＝AD·PD＝×6×(30－2t)＝90－6t，
即点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式为S＝90－6t(12≤t≤15)．
（3）解：当0≤t≤6时易求得S＝3t，将S＝10代入，得3t＝10，解得t＝；
当12≤t≤15时，S＝90－6t，将S＝10代入，得90－6t＝10，
解得t＝.
所以当t为或时，△APD的面积为10 cm2.
【提升练习】
A级
1. 公式L＝L0＋KP表示当重力为P的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米(cm)表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米(cm)表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是(　　)
A．L＝10＋0.5P 　B．L＝10＋5P C．L＝80＋0.5P 　D．L＝80＋5P
2. 【2022·恩施州】如图①是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点A的压强p(单位：cmHg)与其离水面的深度h(单位：m)的函数表达式为p＝kh＋p0，其图象如图②所示，其中p0为青海湖水面大气压强，k为常数且k≠0.根据图中信息分析(结果保留一位小数)，下列结论正确的是(　　)
A．青海湖水深16.4 m处的压强为188.6 cmHg
B．青海湖水面大气压强为76.0 cmHg
C．函数表达式p＝kh＋p0中自变量h的取值范围是h≥0
D．p与h的函数表达式为p＝9.8×105h＋76
3. 【2022·恩施州】某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用1辆甲种客车和1辆乙种客车共需500元，租用2辆甲种客车和3辆乙种客车共需1 300元．甲种客车每辆可坐15名师生，乙种客车每辆可坐25名师生．
(1)租用甲、乙两种客车每辆各多少元？
(2)若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？
4．【2022·通辽】为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个体育专卖店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价的8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲体育专卖店购买实付y甲元，去乙体育专卖店购买
实付y乙元，其函数图象如图所示．
(1) 分别求y甲，y乙关于x的函数关系式；
(1) 两图象交于点A，求点A坐标；
(1) 请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
B级
5.【2022·玉林】龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场，图中的函数图象表示了龟兔再次赛跑的过程(x表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，y1，y2分别表示兔子与乌龟所走的路程)，下列说法 错误的是(　　)
A．兔子和乌龟比赛路程是500米
B．中途，兔子比乌龟多休息了35分钟
C．兔子比乌龟多走了50米
D．比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点
6. 【2022·遵义】遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30 000元购买A型设备的数量比用15 000元购买B型设备的数量多4台．
(1)求A型，B型设备的单价分别是多少元；
(2)该校计划购买两种型号的设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的 ，设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
7. 【2022·苏州】某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表：
进货批次 甲种水果质量(单位：千克) 乙种水果质量(单位：千克) 总费用(单位：元)
第一次 60 40 1 520
第二次 30 50 360
(1)求甲、乙两种水果的进价；
(2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3 360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元，乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
C级
8. 【2022·湖州】某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动，大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/时，轿车行驶的速度是60千米/时．
(1)轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
(2)如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s(千米)与大巴行驶的时间t(小时)的函数关系的图象，试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；
(3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，
轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值
9. 【原创题】郑州市遭遇特大暴雨侵袭．为了支援郑州，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、郑州两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y(单位：km)与快递车所用时间x(单位：h)的函数图象，已知货车比快递车早1 h出发，到达郑州后用2 h装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1 h.
(1)求ME的函数解析式；
(2)求快递车第二次往返过程中与货车相遇的时间；
(3)求两车最后一次相遇时离郑州的距离(直接写出答案)．
答案：
A级
1.A 2.A
3.（1）
（2）设租用甲种客车m辆，租车总费用为w元，则租用乙种
客车(8－m)辆．根据题意，得w＝200m＋300(8－m)＝
－100m＋2 400.∵15m＋25(8－m)≥180，且m≥0，∴0≤m≤2.∵－100＜0，∴w随m的增大而减小．
∴当m＝2时，w取得最小值．∴8－m＝6.
答：当租用甲种客车2辆，租用乙种客车6辆时，
可使总费用最少．
4.(1) 解：(1)由题意可得，y甲＝0.85x.当0≤x≤300时，y乙＝x；
当x＞300时，y乙＝300＋(x－300)×0.7＝0.7x＋90.
∴y乙＝
(2) 令0.85x＝0.7x＋90，解得x＝600.
将x＝600代入y甲＝0.85x，得y甲＝0.85×600＝510，
即点A的坐标为(600，510)．
（3）由图象可得，当x＜600时，
去甲体育专卖店购买体育
用品更合算；
当x＝600时，去两个体育专卖店购买体育用品一样合算；
当x＞600时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算．
B级
5.C
6. 解：(1)设每台B型设备的价格为x元，则每台A型设备的价格为1.2x元．根据题意，
得＝＋4，
解得x＝2 500.经检验，x＝2 500是原方程的解且符合题意．
∴1.2x＝3 000.
答：A型设备的单价是3 000元，B型设备的单价是2 500元．
（2）由题易知w＝3 000a＋2 500(50－a)＝500a＋125 000.
由题意可知∴12.5≤a≤50，且a为整数．
∵500＞0，∴w随a的增大而增大．
∴当a＝13时，w的最小值为500×13＋125 000＝131 500.
∴w＝500a＋125 000，最少购买费用为131 500元．
7. 解：(1)设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．
根据题意，得
解得
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
(2)设第三次购进x千克甲种水果，则购进(200－x)千克乙种水果．根据题意，得12x＋20(200－x)≤3 360，解得x≥80.设获得的利润为w元．根据题意，得w＝(17－12)×(x－m)＋(30－20)×(200－x－3m)＝－5x－35m＋2 000.∵－5＜0，∴w随x的增大而减小．∴当x＝80时，w的值最大，最大值为－35m＋1 600.根据题意，得－35m＋1 600≥800，解得m≤
∴正整数m的最大值为22.
C级
8.解：(1)设轿车出发后x小时追上大巴．
依题意得40(x＋1)＝60x，解得x＝2.
60×2＝120(千米)．
答：轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米．
（2）∵轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米，
∴大巴行驶了3小时．∴B(3，120)．由图象得A(1，0)．
设AB所在直线的解析式为s＝kt＋b.
由题意得解得
∴AB所在直线的解析式为s＝60t－60.
（3）依题意得40(a＋1.5)＝60×1.5，解得a＝.
9. 解：(1)设ME的函数解析式为y＝kx＋b.
由ME经过点(0，50)，(3，200)可得
解得
∴ME的函数解析式为y＝50x＋50.
(2)设BC的函数解析式为y＝mx＋n.
由BC经过点(4，0)，(6，200)可得
解得
∴BC的函数解析式为y＝100x－400.
设FG的函数解析式为y＝px＋q.
由FG经过点(5，200)，(9，0)可得解得∴FG的函数解析式为y＝－50x＋450.
解方程组得
设CD的函数解析式为y＝ax＋c.
由CD经过点(6，200)，(8，0)可得
解得∴CD的函数解析式为y＝－100x＋800.
解方程组得
综上所述，快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间是快递车出发后 h或7 h.
(3)两车最后一次相遇时离郑州的距离为100 km.
解：(1)设租用甲种客车每辆x元，租用乙种客车每辆y元．
根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝500，,2x＋3y＝1 300，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝200，,y＝300.))
答：租用甲种客车每辆200元，租用乙种客车每辆300元．
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