专题五 一次函数与一元一次方程（含答案）
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专题五 一次函数与一元一次方程
【知识清单】
1. 一次函数y=kx+b(k，b 为常数，且k ≠ 0)与一元一次方程kx+b=0(k，b 为常数，且k ≠ 0)的关系
数：函数y=kx+b 中，函数值y=0 时自变量x 的值是方程kx+b=0 的解.
形：函数y=kx+b 的图象与x 轴交点的横坐标是方程kx+b=0 的解.
2. 一次函数图象法解一元一次方程的步骤
(1)转化：将一元一次方程转化为一次函数；
(2)画图象：画出一次函数的图象；
(3)找交点：找出一次函数图象与x 轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解.
【典型例题】
1．（原创题）已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(2，3)，与y轴交于点B(0，4)，与x轴交于点A.
(1)一次函数的解析式为____________；
(2)关于x的方程kx＋b＝0的解为________；
关于x的方程kx＋b＝3的解为________；
关于x的方程kx＋b＝4的解为________；
(3)直线y＝kx＋b-3与x轴交点的坐标为______
(4)求该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积．
解答：
(1) y＝－x＋4
(2) x＝8，x＝2,x=0
(3)(2,0)
(4)解：由(2)得一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点A的坐标为(8，0)，所以OA＝8.
又易知OB＝4，所以该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积＝·OB·OA＝×4×8＝16.
【提升练习】
A级
1. 如图19.2-12，直线y=ax+b(a ≠ 0)经过点A(0，3)，B(5，0)，则方程ax+b=0 的解是( )
A.x=－5 B.x=－3
C.x=3 D.x=5
2. 【2021·贺州】直线y＝ax＋b(a≠0)过点A(0，1)，B(2，0)，则关于x的方程ax＋b＝0的解为( )
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
3. 已知方程x＋b＝0的解是x＝－2，下列为函数y＝x＋b的图象的是( )
4. 【2021·抚顺】如图，直线y＝2x与y＝kx＋b相交于点P(m，2)，则关于x的方程kx＋b＝2的解是( )
A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
（第4题） （第5题） （第6题）
5. 【2022·扬州】如图，函数y＝kx＋b(k＜0)的图象经过点P，则关于x的方程kx＋b=3的解为________．
6. 如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则方程kx＋b=1的解为m，方程kx＋b=-2解为n，则m+n的值为________________．
7. 在如图所示的直角坐标系中画出函数y＝2x＋6的图象，利用图象：
(1)求方程2x＋6＝0的解；
(2)求满足2x＋6>0的x的取值范围；
(3)若－2≤y≤2，请直接写出x的取值范围．
B级
8．一元一次方程ax－b＝0的解是x＝3，则函数y＝ax－b的图象与x轴的交点坐标是( )
A．(－3，0) B．(3，0) C．(a，0) D．(－b，0)
9．已知方程kx＋b＝0的解是x＝3，则函数y＝kx＋b的图象可能是( )
10. (中考·邵阳)如图，一次函数y＝ax＋b的图象与x轴相交于点(2，0)，与y轴相交于点(0，4)，结合图象可知，关于x的方程ax＋b＝0的解是____________．
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋1与y＝－x＋3交于点A，分别交x轴于点B和点C.
(1)求点B，C的坐标；
(2)求△ABC的面积．
C级
12. (2020·新疆)某超市销售A，B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．
(1)A，B两款保温杯的销售单价各是多少元？
(2)由于需求量大，A，B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
答案：
A级
1.D 2.C
3. C 4.B
5. x=－1
6. 1
7. 解：(1)图象如图所示．
观察图象知，该函数图象经过点(－3，0)，
故方程2x＋6＝0的解为x＝－3.
(2) 解：观察图象知，当x>－3时，y>0，故满足2x＋6>0的x的取值范围为x>－3.
(3) 解：当－2≤y≤2时，x的取值范围为－4≤x≤－2.
B级
8.B 9. C
10.x=2
11.解：（1）当y＝0时，由x＋1＝0，解得x＝－1，
所以点B的坐标是(－1，0)．
当y＝0时，由－x＋3＝0，解得x＝4，
所以点C的坐标是(4，0)．
（2）解：因为BC＝4－(－1)＝5，点A到x轴的距离为，
所以S△ABC＝×5×＝.
C级
12. 解：(1)设A款保温杯的销售单价是a元，则B款保温杯的销售单价是(a＋10)元，
＝，解得a＝30，
经检验，a＝30是原分式方程的解且符合题意，则a＋10＝40.
答：A，B两款保温杯的销售单价分别是30元、40元．
(2) 解：设购买A款保温杯x个，销售利润为w元，则购买B款保温杯(120－x)个，
∴w＝(30－20)x＋[40×(1－10%)－20](120－x)＝－6x＋1 920.
∵A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍，
∴x≥2(120－x)，解得x≥80.
∵w随x的增大而减小，
∴当x＝80时，w取得最大值，此时w＝1 440，120－x＝40.
答：当购买A款保温杯80个，B款保温杯40个时，才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1 440元．
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专题五 一次函数与一元一次方程
【知识清单】
1. 一次函数y=kx+b(k，b 为常数，且k ≠ 0)与一元一次方程kx+b=0(k，b 为常数，且k ≠ 0)的关系
数：函数y=kx+b 中，函数值y=0 时自变量x 的值是方程kx+b=0 的解.
形：函数y=kx+b 的图象与x 轴交点的横坐标是方程kx+b=0 的解.
2. 一次函数图象法解一元一次方程的步骤
(1)转化：将一元一次方程转化为一次函数；
(2)画图象：画出一次函数的图象；
(3)找交点：找出一次函数图象与x 轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解.
【典型例题】
1．（原创题）已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(2，3)，与y轴交于点B(0，4)，与x轴交于点A.
(1)一次函数的解析式为____________；
(2)关于x的方程kx＋b＝0的解为________；
关于x的方程kx＋b＝3的解为________；
关于x的方程kx＋b＝4的解为________；
(3)直线y＝kx＋b-3与x轴交点的坐标为______
(4)求该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积．
解答：
(1) y＝－x＋4
(2) x＝8，x＝2,x=0
(3)(2,0)
(4)解：由(2)得一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点A的坐标为(8，0)，所以OA＝8.
又易知OB＝4，所以该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积＝·OB·OA＝×4×8＝16.
【提升练习】
A级
1. 如图19.2-12，直线y=ax+b(a ≠ 0)经过点A(0，3)，B(5，0)，则方程ax+b=0 的解是( )
A.x=－5 B.x=－3
C.x=3 D.x=5
2. 【2021·贺州】直线y＝ax＋b(a≠0)过点A(0，1)，B(2，0)，则关于x的方程ax＋b＝0的解为( )
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
3. 已知方程x＋b＝0的解是x＝－2，下列为函数y＝x＋b的图象的是( )
4. 【2021·抚顺】如图，直线y＝2x与y＝kx＋b相交于点P(m，2)，则关于x的方程kx＋b＝2的解是( )
A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
（第4题） （第5题） （第6题）
5. 【2022·扬州】如图，函数y＝kx＋b(k＜0)的图象经过点P，则关于x的方程kx＋b=3的解为________．
6. 如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则方程kx＋b=1的解为m，方程kx＋b=-2解为n，则m+n的值为________________．
7. 在如图所示的直角坐标系中画出函数y＝2x＋6的图象，利用图象：
(1)求方程2x＋6＝0的解；
(2)求满足2x＋6>0的x的取值范围；
(3)若－2≤y≤2，请直接写出x的取值范围．
B级
8．一元一次方程ax－b＝0的解是x＝3，则函数y＝ax－b的图象与x轴的交点坐标是( )
A．(－3，0) B．(3，0) C．(a，0) D．(－b，0)
9．已知方程kx＋b＝0的解是x＝3，则函数y＝kx＋b的图象可能是( )
10. (中考·邵阳)如图，一次函数y＝ax＋b的图象与x轴相交于点(2，0)，与y轴相交于点(0，4)，结合图象可知，关于x的方程ax＋b＝0的解是____________．
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋1与y＝－x＋3交于点A，分别交x轴于点B和点C.
(1)求点B，C的坐标；
(2)求△ABC的面积．
C级
12. (2020·新疆)某超市销售A，B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．
(1)A，B两款保温杯的销售单价各是多少元？
(2)由于需求量大，A，B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
答案：
A级
1.D 2.C
3. C 4.B
5. x=－1
6. 1
7. 解：(1)图象如图所示．
观察图象知，该函数图象经过点(－3，0)，
故方程2x＋6＝0的解为x＝－3.
(2) 解：观察图象知，当x>－3时，y>0，故满足2x＋6>0的x的取值范围为x>－3.
(3) 解：当－2≤y≤2时，x的取值范围为－4≤x≤－2.
B级
8.B 9. C
10.x=2
11.解：（1）当y＝0时，由x＋1＝0，解得x＝－1，
所以点B的坐标是(－1，0)．
当y＝0时，由－x＋3＝0，解得x＝4，
所以点C的坐标是(4，0)．
（2）解：因为BC＝4－(－1)＝5，点A到x轴的距离为，
所以S△ABC＝×5×＝.
C级
12. 解：(1)设A款保温杯的销售单价是a元，则B款保温杯的销售单价是(a＋10)元，
＝，解得a＝30，
经检验，a＝30是原分式方程的解且符合题意，则a＋10＝40.
答：A，B两款保温杯的销售单价分别是30元、40元．
(2) 解：设购买A款保温杯x个，销售利润为w元，则购买B款保温杯(120－x)个，
∴w＝(30－20)x＋[40×(1－10%)－20](120－x)＝－6x＋1 920.
∵A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍，
∴x≥2(120－x)，解得x≥80.
∵w随x的增大而减小，
∴当x＝80时，w取得最大值，此时w＝1 440，120－x＝40.
答：当购买A款保温杯80个，B款保温杯40个时，才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1 440元．
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