12.3角平分线的性质课件
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课件30张PPT。12.3角平分线的性质 2. 叫做全等三角形。互相重合的角叫做＿＿＿互相重合的边叫做＿＿＿＿ 其中：互相重合的顶点叫做＿＿＿ 1.能够重合的两个图形叫做 。全等形4.全等三角形的 和 相等对应边对应角对应顶点知识回顾 能够重合的两个三角形3.“全等”用符号“ ”来表示，读作对应边对应角5.书写全等式时要求全等于≌字母位置对应知识回顾：三角形 全等的条件：1）定义（重合）法；SSS；SAS；ASA；AAS.3）HL直角三角形全等用复习提问1、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。下图中能表示点P到直线l的距离的是线段PC的长思考：复习提问 2、点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.
将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿
AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方法吗？小组内互相交流一下吧！探究1---想一想证明： 在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
尺规作角的平分线观察领悟作法，探索思考证明方法：AＢＯ画法： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ． ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．AＢ为什么OC是角平分线呢？ Ｏ想一想：已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB1〉平分平角∠AOB
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。实践应用(1)探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)结论:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。求证：PD=PE证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。角平分线上的点到角的两边的距离相等你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？说一说用符号语言表示为：∵ ∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。定理应用所具备的条件：定理的作用： 证明线段相等。 1、如图， ∵ AD平分∠BAC（已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD（×）判断：练习 2、如图， ∵ DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD（×）3、∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）∴ = ，（ ） 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√不必再证全等4、如图， ∵ OC是∠AOB的平分线，
又 ________________
∴PD=PE (
)PD⊥OA，PE⊥OB 角的平分线上的点
到角的两边的距离相等已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC. 证明：
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠BED=∠CFD=90o
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF【角平分线上的点到两边的距离相等】
又∵ 在Rt⊿BDE和Rt⊿CDF中
BD=CD
DE=DF
∴Rt⊿BDE≌Rt⊿CDF（HL）
∴EB =FC 在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.
求BD的长。3.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且
BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？ABCDE你会吗？ 如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB1、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
∵ BM为△ABC的角平分线
∴PD=PE 同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
你能得出什么结论？结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．
求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ更上一层楼！思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）ＳＯ公路铁路回味无穷定理（文字语言）: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
符号语言：
∵∠1＝∠2 PD⊥OA,PE⊥OB(已知）
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
用尺规作角的平分线.，1 . 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= 。60BF2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的 ，AE+DE= 。
角的平分线6cm练习Thank You !
将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿
AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方法吗？小组内互相交流一下吧！探究1---想一想证明： 在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
尺规作角的平分线观察领悟作法，探索思考证明方法：AＢＯ画法： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ． ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．AＢ为什么OC是角平分线呢？ Ｏ想一想：已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB1〉平分平角∠AOB
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。实践应用(1)探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)结论:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。求证：PD=PE证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。角平分线上的点到角的两边的距离相等你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？说一说用符号语言表示为：∵ ∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。定理应用所具备的条件：定理的作用： 证明线段相等。 1、如图， ∵ AD平分∠BAC（已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD（×）判断：练习 2、如图， ∵ DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD（×）3、∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）∴ = ，（ ） 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√不必再证全等4、如图， ∵ OC是∠AOB的平分线，
又 ________________
∴PD=PE (
)PD⊥OA，PE⊥OB 角的平分线上的点
到角的两边的距离相等已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC. 证明：
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠BED=∠CFD=90o
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF【角平分线上的点到两边的距离相等】
又∵ 在Rt⊿BDE和Rt⊿CDF中
BD=CD
DE=DF
∴Rt⊿BDE≌Rt⊿CDF（HL）
∴EB =FC 在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.
求BD的长。3.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且
BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？ABCDE你会吗？ 如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB1、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
∵ BM为△ABC的角平分线
∴PD=PE 同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
你能得出什么结论？结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．
求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ更上一层楼！思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）ＳＯ公路铁路回味无穷定理（文字语言）: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
符号语言：
∵∠1＝∠2 PD⊥OA,PE⊥OB(已知）
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
用尺规作角的平分线.，1 . 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= 。60BF2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的 ，AE+DE= 。
角的平分线6cm练习Thank You !