上海市上交附高2022-2023学年高三下学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 上海市上交附高2022-2023学年高三下学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-12 19:37:28 | ||
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文档简介
上交附高2022-2023学年高三下学期期中考试
数学
（卷一）2023.4
一、填空题（1-4每题4分，5-6每题5分，共26分）
1.已知集合，，则______.
2.若复数满足（其中是虚数单位），则______.
3.已知向量，，则在方向上的数量投影为______.
4.若函数的值域为R，则的取值范围是______.
5.等差数列中，，则的值是______.
6.过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为______.
二、单项选择题（每题5分，共50分）
7.设：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.函数的奇偶性为（ ）
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数
9.已知事件与事件是互斥事件，则（ ）
A. B.
C. D.
10.甲，乙两个小组各10名学生的数学测试成绩如下（单位：分）.
甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83
乙组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74
现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件；“抽出的学生的数学测试成绩不低于85分”记为事件，则的值是（ ）
A. B. C. D.
11.如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且，点为的中点.则下列结论中不正确的是（ ）
A. B.平面平面
C.直线与是异面直线 D.直线与平面无公共点
12.数列的前项和，，关于数列有以下命题：
①一定是等比数列，但不可能是等差数列；
②一定是等差数列，但不可能是等比数列；
③可能是等比数列，也可能是等差数列；
④可能既不是等差数列，也不是等比数列：
⑤可能既是等差数列，又是等比数列；
其中正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
13.已知参数方程，，则下列曲线方程符合该方程的是（ ）
A. B. C. D.
14.设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
15.若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
16.已知定义在R上的函数满足如下条件：①函数的图象关干y轴对称；②对于任意，；③当时，；④，若过点的直线l与函数的图象在上恰有8个交点，则直线l斜率k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）
17.已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
①若，求k的值；②若点Q的坐标为，求证：为定值.
（卷二）
一、填空题（每题5分，共20分）
18.已知圆，直线（a，b不同时为0），当a，b变化时，圆C被直线l截得的弦长的最小值为______.
19.若随机变量，，若，，则______.
20.已知在R上的减函数，若不等式成立，函数的图象关于点中心对称，则当时，的取值范围是______.
21.设数列的前n项和为，且是6和的等差中项，若对任意的，都有，则的最小值为______.
二、单项选择题（每题5分，共10分）
22.在正四面体中，点P为△BCD所在平面上的动点，若AP与AB所成角为定值，，则动点P的轨迹是（ ）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
23.若在曲线上，若存在过的直线交曲线于A点，交直线于点，满足或，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（ ）
A.曲线上所有点都是点 B.曲线C上仅有有限多个点是H点
C.曲线上所有点都不是点 D.曲线C上有无穷多个点（但不是全部）是H点
三、多项选择题（每题6分，共12分）
24.“阿基米徳多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点们三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为，则光于该半正多面体的下列说法中正确的是（ ）
A.与所成的角是60°的棱共有8条 B.与平面所成的角为30°
C.二面角的余弦值为 D.经过A，B，C，D四个顶点的球面面积为
25.在棱长为1的正方体中，已知点为侧面上的一动点，则下列结论正确的是（ ）
A.若点总保持，则动点的轨迹是一条线段
B.若点到点的距离为，则动点的轨迹是一段圆弧
C.若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是一段抛物线
D.若到直线与直线的距离比为，则动点的轨迹是一段双曲线.
四、解答题（本题满分18分（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
26.对于数列，若存在正数，使得对任意，，，都满足，则称数列符合“条件”.
（1）试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”
（2）若首项为1，公比为的正项等比数列符合“条件”.求的范围；
（3）在（2）的条件下，记数列的前项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”.
参考答案
（卷一）
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.;
二、选择题
7. C 8.D 9.D 10.A 11.D 12.B 13.B 14.B 15.C 16.A
16.已知定义在R上的函数满足如下条件：①函数的图象关干y轴对称；②对于任意，；③当时，；④，若过点的直线l与函数的图象在上恰有8个交点，则直线l斜率k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为函数的图象关于轴对称,所以为偶函数,即,
又因为对于任意,所以,
从而,即是周期为2的函数,
因为,则图像是的图像的横坐标缩短为原来的得到,
故也是偶函数,且周期为,结合当时,,可作出
在的图像以及直线的图像,如下图所示:
当时,易知,即,则直线的斜率,
过点的直线与函数的图象在上恰有8个交点,则只需,
即直线斜率的取值范围是.故选：A.
三．解答题
17．已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
①若，求k的值；②若点Q的坐标为，求证：为定值.
【答案】（1）椭圆方程为.（2）①；②见解析
【解析】(1),,代入得.
又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2,即,即,
以上各式联立解得,则椭圆方程为.
（2）①直线与轴交点为,与轴交点为,
联立消去得:,
设,则
解得:.由得;
②证明：由①知
为定值
（卷二）
一、填空题
18.; 19.; 20.; 21.;
21.设数列的前n项和为，且是6和的等差中项，若对任意的，都有，则的最小值为______.
【答案】
【解析】因为是6和的等差中项,所以
当时,
当时,
因此.
当为偶数时,当为奇数时,
因此因为在上单调递增,
所以 故为:
二、单项选择题
22. B 23.D
三、多项选择题
24.CD 25.ABD
24.“阿基米徳多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点们三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为，则光于该半正多面体的下列说法中正确的是（ ）
A.与所成的角是60°的棱共有8条 B.与平面所成的角为30°
C.二面角的余弦值为 D.经过A，B，C，D四个顶点的球面面积为
【答案】CD
【解析】补全该半正多面体得到一个正方体,设正方体的棱长为,由题意可知,该半正多面体由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成,则由半正多面体的表面积为,所以，解得,
对于,在于相交的6条棱中,与所成的角是的棱有4条,在这4条棱中,每一条棱都有3条平行的棱,故与所成的角是的棱共有16条,故选项错误;
对于,因为平面,所以与平面所成的角为
故选项错误;
对于,取的中点,连接,则,所以二面角的补角为,二面角的余弦值为,
在Rt中,,,所以,
则,故,故选项正确;
对于,由半正多面体的对称性可知,其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，其对称中心为正方体体对角线的中点,点在平面内的投影为,则,所以,故经过点四个顶点的球的半径为所以球面面积为,故选项正确. 故选:.
25.在棱长为1的正方体中，已知点为侧面上的一动点，则下列结论正确的是（ ）
A.若点总保持，则动点的轨迹是一条线段
B.若点到点的距离为，则动点的轨迹是一段圆弧
C.若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是一段抛物线
D.若到直线与直线的距离比为，则动点的轨迹是一段双曲线.
【答案】ABD
【解析】对于A，
故动点P的轨迹为线段，所以A正确；
对于，点P的运动轨迹为以A为球心、半径为的球面与面的交线，即为一段圆弧，所以B正确；
对于C，作，连接作，由，在面内，以C为与原点，直线CB，为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设，P点轨迹所在曲线时一段双曲线，所以C错误；
对于D，由题意可知点P到的距离与点P到直线BC的距离之比为2:1，结合C中所建的空间直角坐标系，可得,所以，代入可得，化简可得，故点P的轨迹为双曲线，所以D正确；
综上可知，正确的为. 故选:ABD.
四．解答题
26.对于数列，若存在正数，使得对任意，，，都满足，则称数列符合“条件”.
（1）试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”
（2）若首项为1，公比为的正项等比数列符合“条件”.求的范围；
（3）在（2）的条件下，记数列的前项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”.
【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析
【解析】（1）因为是等差数列且公差为2，所以，
所以对于任意，，，
则有
所以数列符合“条件”；
(2)因为,所以.
若,则,数列符合“条件”;
若,因为数列递增,不妨设,则,
即
设,由式中的任意性得数列不递增,
所以
则当时,,矛盾.
若,则数列单调递减,不妨设则,
即
设,由式中的任意性得,数列不递减,
所以
因为时,单调递增,
所以,因为,所以.
综上,公比的范围为.
(3)证明:由(2)得,,,
当时,,要存在使得,只要即可.
当时,要证数列符合"条件”,
只要证存在,使得,
不妨设,则只要证,
只要证.
设,由的任意性,
只要证
只要证,
因为,所以存在,上式对成立.
所以存在正数，使得数列符合“条件".
数学
（卷一）2023.4
一、填空题（1-4每题4分，5-6每题5分，共26分）
1.已知集合，，则______.
2.若复数满足（其中是虚数单位），则______.
3.已知向量，，则在方向上的数量投影为______.
4.若函数的值域为R，则的取值范围是______.
5.等差数列中，，则的值是______.
6.过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为______.
二、单项选择题（每题5分，共50分）
7.设：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.函数的奇偶性为（ ）
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数
9.已知事件与事件是互斥事件，则（ ）
A. B.
C. D.
10.甲，乙两个小组各10名学生的数学测试成绩如下（单位：分）.
甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83
乙组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74
现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件；“抽出的学生的数学测试成绩不低于85分”记为事件，则的值是（ ）
A. B. C. D.
11.如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且，点为的中点.则下列结论中不正确的是（ ）
A. B.平面平面
C.直线与是异面直线 D.直线与平面无公共点
12.数列的前项和，，关于数列有以下命题：
①一定是等比数列，但不可能是等差数列；
②一定是等差数列，但不可能是等比数列；
③可能是等比数列，也可能是等差数列；
④可能既不是等差数列，也不是等比数列：
⑤可能既是等差数列，又是等比数列；
其中正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
13.已知参数方程，，则下列曲线方程符合该方程的是（ ）
A. B. C. D.
14.设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
15.若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
16.已知定义在R上的函数满足如下条件：①函数的图象关干y轴对称；②对于任意，；③当时，；④，若过点的直线l与函数的图象在上恰有8个交点，则直线l斜率k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）
17.已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
①若，求k的值；②若点Q的坐标为，求证：为定值.
（卷二）
一、填空题（每题5分，共20分）
18.已知圆，直线（a，b不同时为0），当a，b变化时，圆C被直线l截得的弦长的最小值为______.
19.若随机变量，，若，，则______.
20.已知在R上的减函数，若不等式成立，函数的图象关于点中心对称，则当时，的取值范围是______.
21.设数列的前n项和为，且是6和的等差中项，若对任意的，都有，则的最小值为______.
二、单项选择题（每题5分，共10分）
22.在正四面体中，点P为△BCD所在平面上的动点，若AP与AB所成角为定值，，则动点P的轨迹是（ ）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
23.若在曲线上，若存在过的直线交曲线于A点，交直线于点，满足或，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（ ）
A.曲线上所有点都是点 B.曲线C上仅有有限多个点是H点
C.曲线上所有点都不是点 D.曲线C上有无穷多个点（但不是全部）是H点
三、多项选择题（每题6分，共12分）
24.“阿基米徳多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点们三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为，则光于该半正多面体的下列说法中正确的是（ ）
A.与所成的角是60°的棱共有8条 B.与平面所成的角为30°
C.二面角的余弦值为 D.经过A，B，C，D四个顶点的球面面积为
25.在棱长为1的正方体中，已知点为侧面上的一动点，则下列结论正确的是（ ）
A.若点总保持，则动点的轨迹是一条线段
B.若点到点的距离为，则动点的轨迹是一段圆弧
C.若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是一段抛物线
D.若到直线与直线的距离比为，则动点的轨迹是一段双曲线.
四、解答题（本题满分18分（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
26.对于数列，若存在正数，使得对任意，，，都满足，则称数列符合“条件”.
（1）试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”
（2）若首项为1，公比为的正项等比数列符合“条件”.求的范围；
（3）在（2）的条件下，记数列的前项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”.
参考答案
（卷一）
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.;
二、选择题
7. C 8.D 9.D 10.A 11.D 12.B 13.B 14.B 15.C 16.A
16.已知定义在R上的函数满足如下条件：①函数的图象关干y轴对称；②对于任意，；③当时，；④，若过点的直线l与函数的图象在上恰有8个交点，则直线l斜率k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为函数的图象关于轴对称,所以为偶函数,即,
又因为对于任意,所以,
从而,即是周期为2的函数,
因为,则图像是的图像的横坐标缩短为原来的得到,
故也是偶函数,且周期为,结合当时,,可作出
在的图像以及直线的图像,如下图所示:
当时,易知,即,则直线的斜率,
过点的直线与函数的图象在上恰有8个交点,则只需,
即直线斜率的取值范围是.故选：A.
三．解答题
17．已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
①若，求k的值；②若点Q的坐标为，求证：为定值.
【答案】（1）椭圆方程为.（2）①；②见解析
【解析】(1),,代入得.
又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2,即,即,
以上各式联立解得,则椭圆方程为.
（2）①直线与轴交点为,与轴交点为,
联立消去得:,
设,则
解得:.由得;
②证明：由①知
为定值
（卷二）
一、填空题
18.; 19.; 20.; 21.;
21.设数列的前n项和为，且是6和的等差中项，若对任意的，都有，则的最小值为______.
【答案】
【解析】因为是6和的等差中项,所以
当时,
当时,
因此.
当为偶数时,当为奇数时,
因此因为在上单调递增,
所以 故为:
二、单项选择题
22. B 23.D
三、多项选择题
24.CD 25.ABD
24.“阿基米徳多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点们三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为，则光于该半正多面体的下列说法中正确的是（ ）
A.与所成的角是60°的棱共有8条 B.与平面所成的角为30°
C.二面角的余弦值为 D.经过A，B，C，D四个顶点的球面面积为
【答案】CD
【解析】补全该半正多面体得到一个正方体,设正方体的棱长为,由题意可知,该半正多面体由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成,则由半正多面体的表面积为,所以，解得,
对于,在于相交的6条棱中,与所成的角是的棱有4条,在这4条棱中,每一条棱都有3条平行的棱,故与所成的角是的棱共有16条,故选项错误;
对于,因为平面,所以与平面所成的角为
故选项错误;
对于,取的中点,连接,则,所以二面角的补角为,二面角的余弦值为,
在Rt中,,,所以,
则,故,故选项正确;
对于,由半正多面体的对称性可知,其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，其对称中心为正方体体对角线的中点,点在平面内的投影为,则,所以,故经过点四个顶点的球的半径为所以球面面积为,故选项正确. 故选:.
25.在棱长为1的正方体中，已知点为侧面上的一动点，则下列结论正确的是（ ）
A.若点总保持，则动点的轨迹是一条线段
B.若点到点的距离为，则动点的轨迹是一段圆弧
C.若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是一段抛物线
D.若到直线与直线的距离比为，则动点的轨迹是一段双曲线.
【答案】ABD
【解析】对于A，
故动点P的轨迹为线段，所以A正确；
对于，点P的运动轨迹为以A为球心、半径为的球面与面的交线，即为一段圆弧，所以B正确；
对于C，作，连接作，由，在面内，以C为与原点，直线CB，为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设，P点轨迹所在曲线时一段双曲线，所以C错误；
对于D，由题意可知点P到的距离与点P到直线BC的距离之比为2:1，结合C中所建的空间直角坐标系，可得,所以，代入可得，化简可得，故点P的轨迹为双曲线，所以D正确；
综上可知，正确的为. 故选:ABD.
四．解答题
26.对于数列，若存在正数，使得对任意，，，都满足，则称数列符合“条件”.
（1）试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”
（2）若首项为1，公比为的正项等比数列符合“条件”.求的范围；
（3）在（2）的条件下，记数列的前项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”.
【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析
【解析】（1）因为是等差数列且公差为2，所以，
所以对于任意，，，
则有
所以数列符合“条件”；
(2)因为,所以.
若,则,数列符合“条件”;
若,因为数列递增,不妨设,则,
即
设,由式中的任意性得数列不递增,
所以
则当时,,矛盾.
若,则数列单调递减,不妨设则,
即
设,由式中的任意性得,数列不递减,
所以
因为时,单调递增,
所以,因为,所以.
综上,公比的范围为.
(3)证明:由(2)得,,,
当时,,要存在使得,只要即可.
当时,要证数列符合"条件”,
只要证存在,使得,
不妨设,则只要证,
只要证.
设,由的任意性,
只要证
只要证,
因为,所以存在,上式对成立.
所以存在正数，使得数列符合“条件".
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