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第十六章 二次根式单元测试
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列二次根式化简后，与被开方数相同的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
5．已知x1时，则代数式x2+2x+3的值（ ）
A．1 B．4 C．7 D．3
6．已知y＝++4，yx的平方根是（ ）
A．16 B．8 C．±4 D．±2
7．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简|a+b|结果为（ ）
A．2a﹣b B．﹣2a﹣b C．﹣b D．3b
8．若最简二次根式与可以合并，则m的值为（ ）
A．2020 B．﹣2020 C．2024 D．﹣2024
9．若2＜a＜3，则等于（ ）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1
10．观察下列二次根式的化简
S11，
S2（1）+（1），
S3（1）+（1）+（1），则（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．化为最简二次根式是 ．
13．计算： ．
14．若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 ．
15．若3﹣x成立，则x满足的条件是 ．
16．已知，那么的值为 ．
三．解答题（共7小题）
17．把下列二次根式化成最简二次根式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝4++3，求此三角形的周长．
19．计算：
（1）；
（2）．
20．某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为m，宽AB为m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（1）m，宽为（1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
21．我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“3”，分母就变成了4．已知a，b．
（1）请仿照上面方法化简a，b；
（2）求代数式2a2﹣5ab+2b2的值．
22．已知实数a，b，c满足：．
（1）a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）求﹣b﹣3a+2c的平方根．
23．阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，1与1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，．
（1）请你写出3的有理化因式： 3 ；
（2）请仿照上面的方法化简（b≥0且b≠1）；
（3）已知a，b，求的值．
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第十六章 二次根式单元测试
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义进行判断．
【解答】解：A．被开方数为负数，不是二次根式，故此选项不合题意；
B．根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意；
C．a﹣1的值不确定，被开方数的符号也不确定，不能确定是二次根式，故此选项不合题意；
D．被开方数恒为正数，是二次根式，故此选项符合题意．
故选：D．
2．使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：2x﹣1＞0，
解得：x＞，
故选：B．
3．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可．
【解答】解：（）2＝2≠﹣2，故A错误；
2≠﹣2，故B错误；
是最简二次根式，故C错误；
4，故D正确．
故选D．
4．下列二次根式化简后，与被开方数相同的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】将各选项二次根式分别化简，再根据同类二次根式的概念求解可得．
【解答】解：A．2与是同类二次根式，故本选项错误，不符合题意；
B．2与被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项错误，不符合题意；
C．2与是同类二次根式，故本选项正确，符合题意；
D．与不是同类二次根式，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
5．已知x1时，则代数式x2+2x+3的值（ ）
A．1 B．4 C．7 D．3
【分析】根据完全平方公式以及二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：∵x1时，
∴x+1，
∴（x+1）2＝5，
∴x2+2x+1＝5，
∴x2+2x+3＝7，
故选：C．
6．已知y＝++4，yx的平方根是（ ）
A．16 B．8 C．±4 D．±2
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，据此可得x的值，进而得出y的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵y＝++4，
∴，
解得x＝2，
∴y＝4，
∴yx＝42＝16．
∴yx的平方根是±4．
故选：C．
7．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简|a+b|结果为（ ）
A．2a﹣b B．﹣2a﹣b C．﹣b D．3b
【分析】利用二次根式的性质，绝对值的意义化简即可．
【解答】解：由题意：b＜a＜0，
∴a＜0，a+b＜0．
∴|a+b|
＝﹣a﹣a﹣b
＝﹣2a﹣b，
故选：B．
8．若最简二次根式与可以合并，则m的值为（ ）
A．2020 B．﹣2020 C．2024 D．﹣2024
【分析】最简二次根式与可以合并，则与的被开方数相同，即m+2022＝2．
【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，则与是同类二次根式，
∴m+2022＝2．
解得m＝﹣2020．
故选：B．
9．若2＜a＜3，则等于（ ）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1
【分析】先根据2＜a＜3把二次根式开方，得到a﹣2﹣（3﹣a），再计算结果即可．
【解答】解：∵2＜a＜3，
∴
＝a﹣2﹣（3﹣a）
＝a﹣2﹣3+a
＝2a﹣5．
故选：C．
10．观察下列二次根式的化简
S11，
S2（1）+（1），
S3（1）+（1）+（1），则（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可归纳出Sn的表达式，从而求出S2017的值．
【解答】解：由题意可知：S1＝12，
S2＝（1）+（1）＝1+13，
S3＝（1）+（1）+（1）＝1+1+14，
由此可知：Sn＝（n+1），
∴，
∴．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≤4 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：12﹣3x≥0，
解得x≤4，
故答案为：x≤4．
12．化为最简二次根式是 ．
【分析】根据二次根式的性质计算即可．
【解答】解：，
故答案为：．
13．计算： 2 ．
【分析】根据二次根式的乘法运算以及平方差公式即可求出答案．
【解答】解：原式＝7﹣5
＝2．
故答案为：2．
14．若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 6 ．
【分析】24＝22×6，所以要想能开平方，必须再乘一个6．
【解答】解：＝2，
∵是整数，
∴满足条件的最小正整数n＝6．
故答案为：6．
15．若3﹣x成立，则x满足的条件是 x≤3 ．
【分析】利用得到3﹣x，得到x﹣3≤0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵3﹣x，
∴x﹣3≤0，
解得x≤3．
故答案为：x≤3．
16．已知，那么的值为 3 ．
【分析】把所求的式子转为条件的形式，再进行求解即可．
【解答】解：∵，
∴
＝3．
故答案为：3．
三．解答题（共7小题）
17．把下列二次根式化成最简二次根式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】依据二次根式的性质以及分母有理化进行化简，即可得到最简二次根式．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝4++3，求此三角形的周长．
【分析】根据题意求出a、b的值，根据三角形的三边关系确定三角形的边长，求出此三角形的周长．
【解答】解：由题意得，3a﹣6≥0，2﹣a≥0，
解得，a≥2，a≤2，则a＝2，
则b＝4，
∵2+2＝4，∴2、2、4不能组成三角形，
∴此三角形的周长为2+4+4＝10．
19．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案．
（2）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式（﹣27）
（﹣27）
（﹣27）
＝﹣45．
（2）原式（）
（）
（）
．
20．某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为m，宽AB为m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（1）m，宽为（1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【分析】（1）长方形ABCD的周长是2（）（m）；
（2）先求出空白部分的面积，再根据通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖列式计算即可．
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2（）＝2（98）＝34（m），
答：长方形ABCD的周长是34（m）；
（2）购买地砖需要花费＝50×[98（1）（1）]
＝50×（144﹣12）
＝50×132
＝6600（元）；
答：购买地砖需要花费6600元．
21．我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“3”，分母就变成了4．已知a，b．
（1）请仿照上面方法化简a，b；
（2）求代数式2a2﹣5ab+2b2的值．
【分析】（1）仿照材料分母有理化即可；
（2）求出a+b＝4，ab＝1，把2a2﹣5ab+2b2变形为2（a+b）2﹣9ab，再整体代入即可．
【解答】解：（1）a2，
b2；
（2）由（1）知a＝2，b＝2，
∴a+b＝4，ab＝1，
∴2a2﹣5ab+2b2
＝2（a+b）2﹣9ab
＝2×42﹣9×1
＝2×16﹣9
＝32﹣9
＝23．
22．已知实数a，b，c满足：．
（1）a＝ ﹣3 ；b＝ 5 ；c＝ 2 ；
（2）求﹣b﹣3a+2c的平方根．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求得b＝5，再根据绝对值以及算术平方根的非负性求得a与c．
（2）将（1）中a、b与c的值代入，再求得﹣b﹣3a+2c的平方根．
【解答】解：（1）由题意得，b﹣5≥0，5﹣b≥0．
∴b＝5．
∴|a+3|+＝0．
∵|a+3|≥0，，
∴a+3＝0，c﹣2＝0．
∴a＝﹣3，c＝2．
故答案为：﹣3；5；2．
（2）由（1）得，a＝﹣3，b＝5，c＝2．
∴﹣b﹣3a+2c＝﹣5+9+4＝8．
∴﹣b﹣3a+2c的平方根是±＝．
23．阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，1与1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，．
（1）请你写出3的有理化因式： 3 ；
（2）请仿照上面的方法化简（b≥0且b≠1）；
（3）已知a，b，求的值．
【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；
（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；
（3）通过分母有理化可化简a、b，从而求出a+b、ab，根据，将a+b，ab的值代入即可求解．
【解答】解：（1）∵（3）（3）＝9﹣11＝﹣2，
∴3是3的有理化因式，
故答案为：3；
（2）
＝1；
（3）∵a2，b2，
∴a+b＝﹣2，ab＝﹣1，
∴
＝4．
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