2023届高三下学期5月高考数学（理）考前押题卷（广西适用）（含解析）

2023年高考考前押题卷（广西适用）
理科数学
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
2.年月日，国家统计局发布了我国年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列四个说法中正确的个数为（ ）
①年全国居民人均可支配收入逐年递增；
②年全国居民人均消费支出构成中教育文化娱乐占比高于医疗保健占比；
③年全国居民人均可支配收入较前一年下降；
④年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过.
A.个
B.个
C.个
D.个
3.欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，某市由于“双创”需求，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为（参考数据：，）（ ）
A.
B.
C.
D.
5.已知点是双曲线：（，）的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点.若，则双曲线的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.如图长方体的底面为正方形，边长为，高为，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，则下列结论错误的是（ ）
A.点所在区域面积为
B.四面体的体积取值范围为
C.不存在点使得
D.线段长度最小值为
7.如图，在边长为的等边三角形中，圆与相切，圆与圆相切且与，相切，…，圆与圆相切且与，相切，依次得到圆，，…，.设圆，，…，的面积之和为，（），则（ ）
A.
B.
C.
D.
8.公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线（，）对称，则的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.甲、乙、丙、丁四人互相传球，但不能自己传给自己，甲先发球并作为第一次传球，经过次传球后仍回到甲的手中，则不同的传球方式有（ ）种.
A.
B.
C.
D.
10.在中，已知，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11.已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
12.设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，.现有下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的序号是（ ）
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②④
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝伦，深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质：①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，②长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列.根据以上信息，黄金椭圆的离心率平方为________.
14.的展开式中常数项为________.
15.已知中，，，，为内一点，且，则的最小值为________.
16.若直线与直线是曲线的两条切线，也是曲线的两条切线，则的值为________.
三、解答题：本大题共5个大题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.在数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
18.现在世界正处于百年未见之大变局，我国面临着新的考验，为增强学生的爱国意识和凝聚力，某学校高二年级组织举办了“中国国情和当今世界局势”的知识对抗竞赛，主要是加深对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得的成就和最新世界经济、政治时事的了解.组织者按班级将参赛人员随机分为若干组，比赛规则：每组两个班级，每个班级各派出名同学参加比赛，每一轮比赛中每个班级派出名同学代表其所在班级答题，两个班级都全部答对或者都没有全部答对，则均记分；一班级全部答对而另一班级没有全部答对，则全部答对的班级记分，没有全部答对的班级记分，三轮比赛结束后，累计得分高的班级获胜.设甲、乙两个班级为一组参加比赛，每轮比赛中甲班全部答对的概率为，乙班全部答对的概率为，甲、乙两班答题相互独立，且每轮比赛互不影响.
(1)求甲班每轮比赛得分、分、分的概率；
(2)两轮比赛后甲班得分为，求的分布列和数学期望；
(3)求甲班获胜的概率.
19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，连接，交于点，点平面内的一点且满足，
（1）证明：平面；
（2）已知平面，平面平面，，，当平面与平面所成锐二面角为时，求到平面的距离.
20.如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点处，另一端固定在画板上点处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线的一部分图象.已知细绳长度为，经测量，当笔尖运动到点处，此时，，.设直尺边沿所在直线为，以过垂直于直尺的直线为轴，以过垂直于的垂线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.
(1)求曲线的方程；
(2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，问是否存在定点使得，若存在，求出点的坐标，否则说明理由.
21.设函数（，均为实数）.
（1）当时，谈论单调性；
（2）当时，求的零点个数.
四、选做题（二选一）
22.（10分）在直角坐标系中,直线的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）直线与曲线交于，两点，已知点，点为，的中点，求的值.
23.（10分）已知对任意的恒成立.
（1）求实数的取值范围；
（2）设实数为的最大值，若实数，，满足，求的最小值.
答案
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 答案：
C
解析：
∵，，
∴，∴，∴选C.
2. 答案：
C
解析：
由图知：③为错误：人均可支配收入较前一年增长，而增长速度下降，∴选C.
3. 答案：
D
解析：
∵由题设知，，∵为第四象限角，∴选D.
4. 答案：
B
解析：
由题设知：，∴，∴，
又∵，∴.∴选B.
5. 答案：
A
解析：
由题设易知：，，∴，
又∵，∴为角的角平分线，
又角平分线性质：，
∴，∴，∴，∴，①
又∵，∴，，∴选A.
6. 答案：
C
解析：
由题意知：A选项，，∴，
点的轨迹为以为圆心，半径为的的圆周之内，∴；
B选项：∵，点为的四等分点靠近点点时，，点为的四等分点靠近点点时，∴；
C选项：当点为与的四等分点（靠近）时，易知，
D选项：，∴选C.
7. 答案：
B
解析：
在中，的半径，，的半径：，
同理可得：，，…，的半径是以为首项，为公比的等比数列，
∴，，…，的面积之比是以为首项，为公比的等比数列，
∴.∴选B.
8. 答案：
B
解析：
设，∴，
∴，化简得：，
又∵直线过圆心，∴（∵，），
∴，
当且仅当，即时取“”号，∴选B.
9. 答案：
C
解析：
假设有个人互相传球，记第次传给甲的方法数为种，传次球共有种不同的传法，有种传法第次不是传给了甲，而第次没有传给甲时，在第次传球时，可传给甲，故第次传给甲的传法数为：，
∴，
∴当时，时，.
10.答案：
D
解析：
设，∵，∴，又∵，∴，
在中，，在中，，
∴，∵，∴，
设，∴，又∵，
∴，∴，∴，
∴，
∴，∴，∴选D.
11. 答案：
A
解析：
∵与均为正三角形，∴过点作交于点，
点为的重心（内心、外心）重合，
∴，点分别在平面与平面射影为，，
易知，∴，
∴，∴，∴当截面面积最小时，，∴此时圆的半径，∴，
当点在以为圆心的大圆上时，.∴选A.
12.答案：
D
解析：
∵，∴（为常数），
又∵，∴，
令，∴，∴，∴，
∴的图像关于直线对称，∴，（i）
且，又∵，（ii）
由（i）（ii）知，∴，∴，
∴，∴①正确；
又∵，∴的周期，，
∴，∴，，
，
∴，∴②正确；
对于③：，∴③错误；
对于④：，
又∵，
∴，故④正确；
∴选D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.答案：
解析：
由题设知：，∴，∴，∴.
14.答案：
解析：
①第一个括号取项时，则第二括号应该取为：系数为：,
②第一个括号取项时，则第二括号应该取常数为：系数为：,
常数项为：.
15.答案：
解析：
由，∴在如图所示圆上，由圆周角的性质可得，，，连接，可得，
所以当为与圆的交点时，取最小值，即，
又，中，，，,
根据余弦定理可知，
∴的最小值为.
16.答案：
解析：
由和互为反函数可知，
两条公切线和也互为反函数，
即满足，，即，，
设直线与和分别切于点和，
可得切线方程为和，
整理得：和，
则，，由，得，且
则，所以，
所以.
三、解答题：本大题共5个大题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.答案：
见解析
解析：
（1）因为，①
则当时，，即，
当时，，②
①②得，所以，
也满足，故对任意的，.
（2）证明：，
所以.
∵，∴，∴，即结论成立.
18.答案：
见解析
解析：
（1）记事件为“甲班每轮比赛得分”，事件为“甲班每轮比赛得分”，事件为“甲班每轮比赛得分”，则，
，.
（2）由题意可得，的所有取值可能为，，，，，
则由可得，，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以
（3）记事件为“甲班获胜”，
三轮比赛后，甲班累计得分高于乙班累计得分的情况有种(不分先后顺序)：，，；，，；，，；，，.
则由（1）可得，.
19.答案：
见解析
解析：
（1）由题设知：点为的重心，
延长交于点，∴点为的中点，连接，
由重心性质，∴，
∴，平面，∴平面.
（2）如图建立空间直角坐标系，设，∴，，，，，∴，∴，
设为平面的法向量，
∴，取，
设为平面的法向量，
∴，取，
∴，∴，
∴，，∴.
20.答案：
见解析
解析：
（1）依题意，笔尖到点的距离与它到直线的距离相等，
因此笔尖留下的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，
设其方程为，则，
由，，得，所以，
由得点的横坐标，而抛物线的准线方程为，则，解得，所以轨迹的方程为.
（2）由，
联想到角平分线的性质，∴，∴，
易知：，下证：当时，，
设：，联立，
∴，，
∴，
∴分子，∴存在点，使得成立.
21.答案：
见解析
解析：
（1）当时，，∴，
①当时，∵，
∴在恒成立，∴此时为上的增函数，
②当时，，
令，得，（），
∴此时当，，当，，当，，∴此时在，上单调递增，上单调递减.
（2）当时，，令，
令，
∴，则，
令，，，
∴恒成立，恒成立，∴为上的增函数，
∴当时，，，
∴只有一个解，即共有个零点.
四、选做题（二选一）
22.答案：
见解析
解析：
（1）消去得：直线的方程为：，
由，，，∴曲线：.
（2）将代入标准方程：代入，
整理得：，∴，
∴.
23.答案：
见解析
解析：
（1）记，
由一次函数的单调性知：，∴.
（2）由（1）知，，∴，
∴，
当其仅当时取“”号.