12.2 证明 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
12.2 证明
Proof
苏科版七年级下册第12章证明
教学目标
01
了解证明、定理与定理的推论的含义，认识九个基本事实
02
掌握证明的一般步骤与书写规范
知识精讲
情境引入
01
视觉误差~
是静的，还是动的？
知识精讲
情境引入
01
视觉误差~
左右两边处于中心位置的圆大小是否相等？
知识精讲
情境引入
01
观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，通过观察、操作、实验，常常可以探索发现一些结论，但是这些结论不一定正确，数学中，探索发现的结论需要加以证实．
知识精讲
情境引入
01
Q1：如图，两条线段AB与CD哪一条长一些？
通过度量线段AB、CD的长度，可以证实：线段CD比线段AB长，故以上结论不正确．
看上去线段AB比线段CD长
But
C B D
A
知识精讲
情境引入
01
Q2：把图(1)长方形草坪中间1m宽的直道，改成图(2)中处处1m宽的“曲径”，这两条小道的面积相等吗？
1m

1m

图(1) 图(2)
看上去不相等，但其实相等
知识精讲
情境引入
01
【分析】
如果将图(2)中小道左边的草坪向右平移1m，并将其与右边的草坪拼在一起，那么得到一个长为(a-1)m、宽为bm的长方形．
于是，“曲径”的面积，
即“原长方形的面积”-“现长方形的面积
=ab-b(a-1)=ab-ab+b=b(m )；
而“直道”的面积=1×b=b(m )；
1m

图(2)
∴通过图形的平移与计算可得：
两条小道的面积相等．
知识精讲
情境引入
01
Q3：当x=-5、-0.5、0、2、3时，分别计算代数式x -2x+2的值，你发现了什么？
x取不同的值，
x -2x+2的值都是正数
x x -2x+2
-5 37
-0.5 3.25
0 2
2 2
3 5
知识精讲
情境引入
01
【分析】
x -2x+2=(x -2x+1)+1=(x-1) +1,
∵(x-1) ≥0，
∴(x-1) +1≥1．
∴通过将x -2x+2变形为(x-1) +1可证：
不管x取何值，代数式的值都不小于1．
知识精讲
情境引入
01
Q4：图(1)是一张8×8的正方形纸片，把它剪成4块，按图(2)重新拼合.
这4块纸片恰好能拼成一个长为13、宽为5的长方形吗？
看上去能，但其实不能，图(2)本身就画得不对
知识精讲
情境引入
01
【分析】
∵8×8的正方形的面积为64，
而长为13、宽为5的长方形的面积为65，
∴这4块纸片不能拼成一个长为13、宽为5的长方形．
02
知识精讲
2000多年前，古希腊数学家欧几里得对前人在数学上的成果进行了系统整理，他把人们公认的一些真命题作为公理，并以此为出发点，用推理的方法证实了一系列命题，编纂成了人类文明史上具有里程碑意义的数学巨著——《原本》．
这学期，我们也曾把一些真命题作为基本事实，并从基本事实出发证实了有关余角、补角、对顶角、平行线的一些结论．
02
知识精讲
【证明与定理】
根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明．
经过证明的真命题称为定理．
证明与定理
02
知识精讲
【探究1】填空完成推理过程：如图：已知∠CGD=∠CAB，∠ADE+∠CEF=180°，求证：∠1=∠2．
证明：∵∠ADE+∠CEF=180°（__________________________）；
∴EF∥AD（__________________________）；
∴∠2=∠3（__________________________）；
∵∠CGD=∠CAB（__________________________）；
∴DG∥AB（__________________________）；
∴∠1=∠3（__________________________）；
∵∠2=∠3（__________________________）；
∴∠1=∠2（__________________________）．
已知
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等
已知
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
等量代换
已证
等量代换：
一个量用与它相等的量代替
02
知识精讲
证明过程通常包含几个推理，每个推理应包括因、果和由因得果的依据．
其中，（1）“因”是已知事项；
（2）“果”是推得的结论；
（3）“由因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质等．
证明过程必须做到言必有据~
02
知识精讲
【公理（九个基本事实）】
（1）两点确定一条直线；
（2）两点之间，线段最短；
（3）过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（6）全等三角形的对应边、对应角分别相等；
（7）边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等；
（8）两直线平行，同位角相等；
（9）不共线三点确定一个圆．
公理（基本事实）
02
知识精讲
为了使证明过程表达得更加简明，前面推理所得的“果”作为下一个推理的“因”，通常可以省略不写．
eg： ∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）；
∵∠CGD=∠CAB（已知）；
∴DG∥AB（同位角相等，两直线平行）；
∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）；
∵∠2=∠3（已证）；
∴∠1=∠2（等量代换）．
前面已证，这边可省略
02
知识精讲
【证明与图形有关的命题，一般有以下步骤】
（1）根据题意，画出图形；
（2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；
（3）写出证明过程．
证明的一般步骤
02
知识精讲
【探究2】证明：三角形的内角和定理（三角形三个内角的和等于180°）．
已知：ABC．
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
B
C
A
（1）根据题意，画出图形
（2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证
02
知识精讲
证明：如图，画ABC的边BC的延长线CD,过点C画CE // AB．
B
C
A
（3）写出证明过程
D
E
2
1
这样的辅助线是从拼图得到的启发
02
知识精讲
∵CE // AB（辅助线画法），
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．
（3）写出证明过程
证明：如图，画ABC的边BC的延长线CD,过点C画CE // AB．
B
C
A
D
E
2
1
02
知识精讲
【探究3】三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角有怎样的数量关系？
已知：ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°．
求证：∠ACD=∠A+∠B．
（1）根据题意，画出图形
（2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证
B
C
A
D
02
知识精讲
证明：
∵∠A+∠B+∠ACB=180°（已知），
且∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义），
∴∠ACB=∠A+∠B（等量代换）．
（3）写出证明过程
B
C
A
D
02
知识精讲
由三角形内角和定理，可以推出：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【定理的推论】
像这样，由一个定理直接推出的正确结论，叫做这个定理的推论，它和定理一样，可以作为进一步证明的依据．
定理的推论
例1、4个人进行游泳比赛，赛前A，B，C，D等4名选手进行预测，A说：“我肯定得第一名”，B说：“我绝对不会得最后一名”，C说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名”，D说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误，预测错误的人是________．
A
【推理】
【分析】
如果A错，则B为第一，C为第二，D为最后一名，所以A是错的；
如果B错，则B最后，D也错，出现矛盾；
如果C错，则C是第一或最后一名，与A第一、D最后，矛盾；
如果D错，其他都对的话，则没有最后一名．
例2、下列命题，不是基本事实的是（　　）
A．过平面上两点，有且只有一条直线
B．两点之间的连线中，线段最短
C．在等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍为等式
D．同角的补角相等
D
【公理（基本事实】
【分析】
D、同角的补角相等，是由等量代换推理得出的，是定理不是基本事实．
例3、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠A，试说明：BE∥CF．
完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：
∵∠3=∠4（已知）
∴AE∥______（________________________）
∴∠EDC=∠5（________________________）
∵∠5=∠A（已知）
∴∠EDC=______（等量代换）
∴DC∥AB（________________________）
∴∠5+∠ABC=180°（________________________），即∠5+∠2+∠3=180°
∵∠1=∠2（已知）
∴∠5+∠1+∠3=180°（________________________），即∠BCF+∠3=180°
∴BE∥CF（________________________）．
【证明】
BC
内错角相等，两直线平行
∠A
两直线平行，内错角相等
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
等量代换
同旁内角互补，两直线平行
例4、数学中的两位数乘法藏着许多的运算规律，现请观察下列几个等式：
23×83=（2×8+3）×100+3×3=1909；
38×78=（3×7+8）×100+8×8=2964；
45×65=（4×6+5）×100+5×5=2925．
（1）请你类比上面的等式，计算：①84×24；②562；
（2）请你写出以上等式所体现一般的规律，并用所学知识证明．
（2）一般规律为：
(10a+c)×[10×(10-a)+c]=[a×(10-a)+c]×100+c×c,
证明如下：左边=10a×10×(10-a)+10a×c+c×10×(10-a)+c×c
=100a×(10-a)+10ac+10c×(10-a)+c×c
=100a×(10-a)+100c+c×c
=[a×(10-a)+c]×100+c×c=右边．
【分析】
（1）①84×24
=(8×2+4)×100+4×4=2016；
②562=56×56
=(5×5+6)×100+6×6=3100+36=3136；
例5、如图，ABC中，D，E，F三点分别在AB，AC，BC三边上，过点D的直线与线段EF的交点为点H，请从以下给出三个条件①∠1+∠2=180°；②∠3=∠C；③DE∥BC再选取两个为条件，剩下的一个作为结论，并请完成证明．
条件（已知）________________________；结论（求证）__________．
【证明】
∵∠1是DEH的外角（已知），
∴∠1=∠3+∠4（外角的性质）．
又∵∠1+∠2=180°（已知），
∴∠3+∠4+∠2=180°（等量代换），
∵∠3=∠C（已知），
∴∠C+∠4+∠2=180°（等量代换），即∠DEC+∠C=180°，
∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
∠1+∠2=180°，∠3=∠C
DE∥BC
课后总结
【证明与定理】
根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明．
经过证明的真命题称为定理．
【公理（九个基本事实）】
（1）两点确定一条直线；
（2）两点之间，线段最短；
（3）过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（6）全等三角形的对应边、对应角分别相等；
（7）边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等；
（8）两直线平行，同位角相等；
（9）不共线三点确定一个圆．
课后总结
【证明与图形有关的命题，一般有以下步骤】
（1）根据题意，画出图形；
（2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；
（3）写出证明过程．
【定理的推论】
由一个定理直接推出的正确结论，叫做这个定理的推论，它和定理一样，可以作为进一步证明的依据．
谢谢学习
Thank you for learning