湘教版九年级下第1章《反比例函数》全章学案

第一章 反比例函数
§1.1建立反比例函数模型（1）
一.自学导航：
1.如果，那么成 关系。
2.一般地，如果两个变量与的关系可以表示成 （ ）
的形式，那么称是的 函数。
3. 也可以写成。
二、问题探究：
问题一：正确理解反比例函数的表达式。
例1.下列函数中，属于反比例函数的是（ ）
A． B．
C． D．
三、综合运用：
1．下列函数中，属于反比例函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如果反比例函数经过点（3，﹣2），那么m的值是（ ）
A．6 B．﹣6
C． D．1
3．函数中自变量x的取值范围是.
A．x≠﹣1 B．x＞﹣1
C．x≠1 D．x≠0
4. 已知函数是反比例函数，那么m的值是 。
5． 点（－3，5）在反比例函数的图象上，则k的值是 。
6. 反比例函数中，常数k的值应该是 。
7．从下列式子中写出关于的函数的解析式，并且指出其中哪些是一次函数，哪些是反比例函数？
⑴． ⑵.
⑶. ⑷.
8.若是反比例函数，那么，试求的表达式。
§1.1 建立反比例函数模型（2）
一.自学导航：
一般地，如果两个变量与的关系可以表示成 （ ）
的形式，那么称是的 函数。
二、问题探究：
问题一：根据实际问题中的变量关系，建立反比例函数的模型。
例1. 当矩形的面积的为时，它的相邻两条边长和有什么关系？是的反比例函数吗？
问题二：根据实际问题中反比例函数两个变量的实际意义，求出自变量的取值范围。
例2. 求出下列函数的自变量取值范围。
⑴． ⑵.
三、综合运用：
1.如果y与x＋2成反比例，且x＝4时，y＝1，那么，当x＝1时，y等于（ ）
A．０ B．１
C．２ D．3
2．在直角平面坐标系中，有六个点A(1，5)，B（﹣3，），C（﹣5，﹣1），D（﹣2，），E（3，），F（，2），其中有五个点在同一反比例函数图象上，那么不在这个反比例函数图象上的点是（ ）
A．点C B．点D
C．点E D．点F
3．函数的自变量x的取值范围是 。
4．汽车的油箱内装有60升的汽油，如果每 ( http: / / www.21cnjy.com )公里耗油量为x升，则行驶y公里就可以全部将汽油用完，那么用x表示y的式子是 。
5. 一个三角的面积为，则底边与这边上的高有什么关系？的反比例函数吗？
6．某一电路中，保持电压不变，电流I（安）电阻R（欧）成反比例函数，当电阻R=5时，电流I=2。
⑴．求I与R的函数关系式？
⑵．当电流I=0.5时，求电阻R的值？
§1.2 反比例函数的图象和性质（1）
一、自学导航：
用描点法画反比例函数图象的三个步骤是： 、 、 。
二、问题探究：
问题一：用描点法画反比例函数的图象。
例1.反比例函数的图象是什么样子呢？
分析：
步骤一：列表：由于自变量的取值范围是所有非零实数，因此，让取一些负数和正数值，并且计算出相应的函数值，列成下表：
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
步骤二：描点：在平面直角坐标系内，以 的值为横坐标，相应的 为纵坐标，描出相应的点。
观察与分析：轴右边的点，当横坐标逐渐增大时，纵坐标反而 ；轴左边的点也有这一性质，
步骤三：连线：把轴右边各点和左边各点，分别用一条 连接起来。
三、综合运用：
1．如果反比例函数的图象经过点那么函数的图象应在（ ）。
A．第一、三象限　 B．第一、二象限
C．第二、四象限　 D．第三、四象限
2.反比例函数的图象经过点（ ）
A．（2，3）； B．（1，6）；
C．（9，）； D．（﹣2，﹣3）．
3．反比例函数经过点(－１,２)，那么一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限　　 Ｂ．第二象限　　
Ｃ．第三象限　　Ｄ．第四象限
4．在同一坐标系内，画下列反比例函数和的图象，并观察它们的图象之间的关系。
§1.2 反比例函数的图象和性质（2）
一、自学导航：
1. 在平面直角坐标系中，两根坐标轴把平面分成四个部分，右上角部分称为 ，
左上角部分称为 ，右下角部分称为 ，左下角部分称为 。
2. 反比例函数的图象是由两支 组成的，这两支曲线称为 。
3. 反比例函数的图象中，两支曲线都与 不相交。
4.当＞0时，反比例函数的图象在 象限内，函数值随着自变量的增大而 ；
当＜0时，反比例函数的图象在 象限内，函数值随着自变量的增大而 。
二、问题探究：
问题一：根据反比例函数的表达式和图象，探究反比例函数的性质。
问题二：将反比例函数与一次函数的图像在同一平面直角坐标系内综合，解决有关问题。
例1．已知反比例函数的图象经过点A(2，3)。
⑴．求这个函数的解析式；
⑵．请判断点B(1，6)是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由。
三、综合运用：
1．反比例函数y= ﹣的图象位于（ ）
A．第一.二象限 B．.第一.三象限
C．.第二.三象限 D．第二.四象限
2．已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数的图象在（ ）
Ａ．第一、三象限　　Ｂ．.第二、四象限　　Ｃ．第三、四象限　 Ｄ．第一、二象限
3．下列函数中，当＞０时,随的增大而减小的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若反比例函数的图象上有两点），那么（填“＞”或“＝”或“＜”）。
5．已知反比例函数的图象经过点（﹣1，3），若点（2，m）也在这个函数的图象上，则m的值是 。
6．若反比例函数的图象经过点（1，﹣3），那么k的值是 。
7．反比例函数的图象中两个分支都与x、y轴 ；并且当k＞0时，
在第 象限内；当K＜0时，在第 象限内。
8．反比例函数的图象是________，经过点（－２, ________）,其图象两支分布在第_____象限。
9．已知：点既在反比例函数
的图象上，又在一次函数的图象上,则点的坐标是_ __。
10．如图，反比例函数的图象如图所示，则点在第 象限内。
11．反比例函数的图象的两个分支分别位于第 象限，当x=6时，y的值是 。
12．反比例函数的图象，当k＞0时，在一、三象限内函数值随自变量的增大而 ；当K＜0时，在二、四象限内，函数值随自变量的增大而 。
13．试写出图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数解析式 。
14．一个反比例函数图象过点P（，1）和Q（－，m），那么m＝_________。
15．已知的值随增大而增大,则函数的图象在____ ___象限.。
16．若反比例函数与一次函数的图象都经过点，试求m的值 。
17．已知直线和双曲线交于A、B两点，且A点的横坐标和B点的纵坐标都是2，求和的值。
18．在同一坐标系内，画函数与。
§1.2 反比例函数的图象和性质（3）
一、自学导航：
1.反比例函数的性质：
①＞0时，图象位于________ ___，在每一个象限内，随___________ ；
②＜0时，图象位于____ __ __；在每一个象限内，随 _____ ____；
③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。
2.反比例函数= (k≠0)中比例系数的几何意义：即过双曲线=(k≠0)上任意一点引轴、轴的垂线,所得矩形面积为 。
二、问题探究：
问题一：利用反比例函数的图像和性质解决有关问题。
例1.如图所示，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝ (m≠0)的图象在第一象限交于C点， CD垂直于x轴,垂足为D。若OA＝OB＝OD＝1。
(1)求点A、B、D的坐标；
(2)求一次函数和反比例函数的解析式。
三、综合运用：
1．若反比例函数的图象经过一点
A（﹣1，﹣2 )，则这个函数的图象一定经过点（ ）
A．(2，-1) B．(，2)
C．(﹣2，﹣1) D．(，2)
2．下列函数中，当＞０时，随的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
3.矩形面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）
4.如图，已知关于x的函数y＝k(x－1)和y＝﹣(k≠0)，它们在同一坐标系内的图象大致是下图中的( )
5．若点（﹣5，y1）、(﹣3，y2)、(3，y3)都在反比例函数y= ﹣ 的图象上，则（ ）
A．.y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2
6. 在同一坐标系内，一次函数
y＝（1﹣k）x＋2k＋1与反比例函数的
图像没有交点，则常数k的取值范围
是 。
7．已知反比例函数其图象在第一、
三象限内，则k值可为 （写出
满足条件的一个k的值即可）。
8．函数的图象在第 象限内，在每一个象限内，y随x的增大而 ；若在该图象上，则；若在该图象上，则。
9．如图，点A在反比例函数y=的图象上，AB垂直于x轴，若=2， 试求这个反比例函数的解析式。
10．已知反比例函数和一次函数的图象的一个交点的纵坐标
是－4，求的值。
11．已知成反比例，且
之间的关系。
12．已知函数
(1)在所给的坐标系中画出这两个函数的图象；
(2)求这两个函数的交点坐标；
(3)观察图象,当在什么范围内时,？
§1.3实际生活中的反比例函数（1）
一、自学导航：
1.反比例函数的应用：利用待定系数法确定反比例函数。
根据两变量之间的 关系，设y＝ ，由已知条件求出 的值，从而确定函数关系式。
二、问题探究：
问题一：如何判断两个变量之间是否成反比例关系？如何根据实际问题建立反比例函数解析式？实际问题涉及反比例函数的那条性质？
三、综合运用：
1．已知力F所作的功是15焦，则力F与物体在力的方向通过的距离S之间关系的图象大致是 （ ）。　　
2．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例。右图是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，
则电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）。
A.
B.
C.
D.
3．矩形的面积为，它的长与宽
之间的函数关系用图象表示是（ ）。
A． B． C． D．
4.．已知矩形的面积为2，一条边的长为x，另一条边的长为y，则用x表示y的函数解析式是 （其中x＞0）。
5．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式是 。
6．某同学要到离家2000米处的学校去上学 ( http: / / www.21cnjy.com )，那么他每分钟走m米和所用时间t（分）之间的关系式为__ _ ，函数关系为 。
7．在电压一定的情况下，电流I（A）与电阻R（Ω）之间满足如图所示的反比例函数关系，试求：电流I关于R的函数表达式？
8．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），试求△AOC的面积。
9.某单位为响应政府发出的全民健身的号召, ( http: / / www.21cnjy.com )打算在长和宽分别为20m和11m的矩形大厅内修建一个60m2的矩形健身房ABCD。 该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁(如图为平面示意图),已知装修旧墙壁的费用为20元/m2，新建(含装修)墙壁的费用为80元/m2。设健身房的高为3m，一面旧墙壁AB 的长为xm，修建健身房墙壁的总投入为y元。
(1)求y与x的函数关系式。
(2)为了合理利用大厅,要求自变量x必须满足条件:8≤x≤12, 当投入的资金为4800元时,问利用旧墙壁的总长度为多少
10. 已知一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点为。
(1) 求点的坐标及一次函数解析式。
(2) 求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标。
11.如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点.
(1) 求反比例函数和一次函数的解析式；
(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.
§1.3实际生活中的反比例函数（2）
一、问题探究：
1.若存在点P是x轴上的一 ( http: / / www.21cnjy.com )个动点，过点P作x轴的垂线PQ交双曲线于点Q，连结OQ，当点P沿x轴正半方向运动时，Rt△QOP的面积( )
A.逐渐增大 B.逐渐减小
C.保持不变 D.无法确定
2.已知关于x的函数y＝k(x－1)和y＝﹣(k≠0)，它们在同一坐标系内的图象大致是下图中的( )
3.在函数y=(k>0)的图象上有三点，已知x1＜x2＜0＜x3,则下列各式中，正确的是( )
A. y1＜0＜y3 B. y3＜0＜y1
C.y2＜y1＜y3 D.y3＜y1＜y2
4.若反比例函数的图像在每个象限内y随x的增大而减小，则k的值可以是（ ）
A.﹣1 B.3
C.0 D.﹣3
4. 反比例函数y＝的图像经过（2，﹣3），则k的值是 。
5.若双曲线y＝ 的经过点(-1，2)，则直线y＝﹣kx＋2的一定不经过第___ 象限。
6．若正方形AOBC的边OA，OB在坐标轴上，顶点C在第一象限且在反比例函数的图像上，则点C的坐标是 。
7．如图，△OPQ是边长为2的等边三角形,若反比例函数的图象过点P,则它的解析式是____ _____。
8．在同一坐标系内，一次函数y＝（1﹣k）x＋2k＋1与反比例函数的图像没有交点，则常数k的取值范围是 .
9．在对物体做功一定的情况下，力F（牛）与此物体在力的方向上移动的距离s（米）成反比例函数关系，其图象如图所示P（5，1）在图象上。
⑴．请求F与S的函数关系式。
⑵．求当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是多少米？
10.如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点。（9分）
（1）．利用图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式； 　
（2）．根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围。
11．为了预防甲流感，我市某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示．根据图中信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，与之间的两个函数关系式及自变量的取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量 ( http: / / www.21cnjy.com )降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
第一章《反比例函数》单元自测题
（满分100分， 时量90分钟）
一．选择题 (每小题3分，共30分）
1.下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.。
2． 下列一些点中，不在反比例函数的图象上的点为 （ ）
A.（2，7.5） B.（﹣3，5） C.（﹣5，﹣3） D.（3，5）
3． 如果反比例函数的图象经过点（－2，－1），那么k的值为（ ）　
A. B.－ C.2 D.－2
4． 已知双曲线y＝与直线y＝x－1有两个交点，则k的取值范围是（ ）
A.k＜－ B.k＞－ C.k＞－且k≠0 D.k＜－且k≠0
5．已知，反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则y1－y2的值是 （ ）
A.正数 B.负数 C.非正数 D.不能确定
6． 正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的图象不可能是（ ）
A B C D
7．已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A.≤2 　 B.≥2 C.＜2 D.＞2
8．已知反比例函数的图象在一.三象限，则直线的图象经过（ ）
A.一.二.三象限 B.二.三.四象限 C.一.三.四象限 D.一.二.四象限
9．反比例函数的图象经过点（2，5），若点（1，n）在反比例函数的图象上，则n等于 （ ）
A.10 B.5 C.2 D.
10．若点（3,4）在反比例函数图象上，则此函数图象必须经过（ ）
A.（ 2，6） B.（2，-6） C.（4，-3） D.（3，-4）
二、填空题 （每小题3分，共30分)
11． 函数y=中，自变量x的取值范围是___________。
12．函数与函数的图象有 个交点。
13．某工厂现有流动资金80万元,准备从下月开始,每月拨出10万元作为流动资金,那么个月后,该工厂有流动资金万元,之间的函数关系是_______,二者关系是_______。
14．已知双曲线y＝和一次函数y＝ax＋b的图象的两个交点分别是A(－1，－4)，B(2，m)，则a＋2b＝____________。
15．试写出图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数解析式 。
16．某乡镇去年的工农业的总产值为20亿元人民币,那么该乡人口数(万人)与人均工农业产值(万)之间的函数关系为 ，函数关系为 。
17．函数的自变量x的取值范围是____________________；
18．一个反比例函数图象过点P（，1）和Q（－，m），那么m＝________ 。
19．若反比例函数y=经过点（-1，2），则一次函数y=-kx+2的图象一定不经过第 象限。
20．反比例函数，当时，随着的增大而增大，则的取值范围是 。
三.解答题 （共40分)
21．(本题6分)已知正比例函数y=kx与反比例函数的图象都经过A（m，1），求赐正比例函数的解析式和另一个交点坐标。
22．(本题8分)已知，与(x－1)成正比，与成反比例。并且当x＝－1时，y的值是－5，当x＝2时，y的值是1。求y与x之间的函数关系式？
23．(本题8分)已知反比例函数的图象经过点，若一次函数的图象平移后经过该 反比例函数图象上的点,求平移后的一次函数图象与轴的交点坐标。
24．(本题8分)如图，已知△的锐角顶点在反比例函数的图象上，且△的面积为,。
求: （1）点的坐标；
（2）函数的解析式；
（3）直线的函数关系式为,求△的面积？
25．(本题10分) 某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间(分钟)成正比例，药物燃烧后成反比例(如图所示)，现测得药物min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为mg，请你根据所提供的信息，解答下列问题。
(1).药物燃烧时的函数关系式为___ ____，自变量的取值范围是___ _____；药物燃烧后的函数关系式为____ ___。
(2).研究表明，当空气中每立方米的含药量低于mg时学生可以进教室,那么从消毒开始，至少多少分钟后学生才能回到教室？
(3)、研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于mg且持续时间不低于min时, 才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效 为什么
o
x
y
O
I（A）
R（Ω）
B(3,2)
第2题图
2
3
O
9
（毫克）
12
（分钟）
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
/min
8
/mg
O
6