湘教版七年级下第5章《轴对称与旋转》全章学案
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| 名称 | 湘教版七年级下第5章《轴对称与旋转》全章学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 447.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-07-22 16:55:14 | ||
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文档简介
第5章 轴对称图形
课时1 轴反射与轴对称图形
一、自学导航
1. 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直 ( http: / / www.21cnjy.com )线折叠，直线两旁的部分能够互相 ，那么这个图形叫做 。这条直线叫做它的 。
2. 如果一个图形关于一条直线做 ，能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这条直线 ，也称这两个图形 。这条直线也叫做 ，互相重合的两个点，其中一点叫作另一个点关于这条直线的 。
3. 轴反射不改变 。
二、问题探究
问题一：了解轴对称和轴对称图形的概念，判断轴对称图形。
例1. 如图所示的标志中，是轴对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
例2. 下列图形中是轴对称图形的为 （ ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
问题二：根据轴对称的知识补充或设计图案等操作。
例3. 已知：在下面两个方格中有△ABC．
操作：（1）（左图）平移△ABC，使点Ａ移到点M处．（2）（右图）作△ABC的轴对称图形△DEF，以图中虚线为对称轴．
三、综合运用：
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A B C D
2. 在下列四个图案中，属于轴对称图形的有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 在下列图案中，有且只有三条对称轴的是 ( )
4. 仔细观察下图中的图案，并按规则在横线上画出合适的图形．
5. 下列轴对称图形中，对称轴条数最少的图形是（ ）
A. 等边三角形 B. 正方形
C. 正五边形 D. 正六边形
6. 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称.
（1）结合图形指出对称点.
（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？
（3）延长线段AC与A′C′，它们的交 ( http: / / www.21cnjy.com )点与直线m有怎样的关系？其它对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流。
课时2 线段的垂直平分线
一、自学导航
1．定义：我们把 的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
2. 线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点 。
3. 逆定理： 的点在线段的垂直平分线上。
4. 三角形三边垂直平分线定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离 。
5. 用尺规作线段的垂直平分线（设线段AB，图略），作法如下：
⑴分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于C、D两点；
⑵作直线CD，则直线CD即为线段AB的垂直平分线。
二、问题探究
问题一：线段的垂直平分线性质定理与逆定理的应用。
【解析】：利用线段的垂直平分线的性质定理与逆定理，将未知线段转化为已知线段。
例1. 如图，已知AB＝AC＝10，DE垂直平分AC，三角形BCD的周长为18，求BC的长。
问题二：利用线段垂直平分线作图。
例2.如图，某市在滨河路旁修建了一个奶站，向A、B两个小区提供牛奶，奶站建在何处，才能使奶站到两个居民小区A、B的距离相等。
不要写做法，但要简单写出理由。
三、综合运用：
1.关于线段的垂直平分线有 ( http: / / www.21cnjy.com )下列说法：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这个线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴；④到线段两端点距离相等的点有无数个，它们都在线段的垂直平分线上。
其中正确的答案有（ ）个：
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 点P是△ABC中边AB的垂直平分线上的点，则一定有（ ）
A. PA＝PB B. PA＝PC C. PB＝PC D. 点P到∠ACB的两边的距离相等
3. 如图，在△ABC中，，BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E，则△AEC的周长等于（ ）
A. B.
C. D.
4. 作图题：把线段AB四等分。
5. 如图，∠A＝90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点和C点关于DE对称，求：∠ABC和∠C的度数。
课时3 三 角 形
一、自学导航
1.定义： 所组成的图形叫作三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边。
2. 三角形有 条边，有 个顶点，有 个内角。
3. 三角形的角平分线：三角形的一个角 ( http: / / www.21cnjy.com )的平分线与这个角的对边相交，这个角的 和 之间的线段叫作三角形的角平分线。
4.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的 叫作三角形的中线，三角形的中线可以把三角形分成面积相等的两个三角形。
5.三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线， 和 之间的线段叫作三角形的高。
6. 三角形中三边的关系定理：三角形任意两边之和 第三边；三角形任意两边之差 第三边。
二、问题探究
问题一：三角形三边的关系。
【解析】：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。
例1. 一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长的长为偶数，求这个三角形的周长。
问题二：作三角形的中线、高、角平分线。
【解析】：⑴三角形的高在三角形外部时要用虚线；⑵三角形中线平分对边；⑶三角形的角平分线平分对应角。
例2. 如图，三角形ABC中，⑴ 作BC边上的高和中线；⑵ 作∠A与∠C的平分线。
三、综合运用：
1. 若三角形的一边的中线把它分成的两个三角形的周长分别为9cm和6cm，则此三角形的另两边之差为 cm。
2. 如果一个三角形的两边长分别为23cm和10cm，第三边长与其中一边的长相等，那么第三边的长为 cm。
3. 一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，且第三边的长为一个整数，那么，这样的三角形的周长最小值为 cm 。
4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A.1cm，2cm，3cm B.2cm，3cm，4cm C.4cm，6cm，8cm D.5cm，6cm，12cm
5. 已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列四条线段中能作为第三边的是（ ）
A. 13cm B.6cm
C. 5cm D. 4cm
6. 已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是（ ）
A. 3 B.5
C. 7 D. 9
7. 如果三角形的两边分别是3和5，那么这个三角形的周长可能是（ ）
A.15 B.16
C. 8 D.7
8. 现有2厘米、4厘米、5厘米、8厘米的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（ ）
A.1个 B.2个
C. 3个 D.4个
9.若△ABC的三边长是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长是（ ）
A. 7 B. 6
C. 5 D. 4
10.1.如果线段能组成一个三角形，则他们的长度之比可能是（ ）
A. B.
C. D.
课时4 三角形的内角和（1）
一、自学导航
1．三角形的内角和定理：
。
2. 探究三角形内角和定理的办法：
⑴通过作平行线，把三角形转化到一个顶点上去，利用平角得证；
⑵通过作平行线，把三角形放到一组平行的同旁内角里得证；
⑶把三个角同时移到某边的一点上，利用平角得证。
3. 三角形的分类：三角形的分类：
4. 直角三角形的两锐角 。
5. 多边形内角和定理：
二、问题探究
问题一：利用三角形内角和定理进行有关角度的计算。
【解析】：灵活运用内角和定理，注意体会等量代换在解数学题中的妙用。
例1.
例2.
三、当综合运用：
1. 在
2.
3. 一个三角形中最多有 个直角，最多有 个钝角，最多有 个锐角。
4. 三角形三个内角的度数之比为2︰3︰7，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
5. 在
A． B．
C． D．
6. 如图，已知在直角三角形ABC中，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2的度数等于（ ）
A．
B．
C．
D．
7. 如图，中，，过点且平行于，若，则的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
四、拓展提高：
1. 如图，在三角形ABC中，∠BAC＝80°，AE平分BAC，∠B＝60°。求∠AEC的度数。
课时5. 三角形的内角和（2）
一、自学导航
1. 三角形的外角：三角形的一边与另一边的 组成的角，叫作三角形的外角。
2. 三角形外角的性质：
⑴三角形的外角与相邻内角 ；
⑵三角形的一个外角 和它不相邻的两个内角的和；
⑶三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角。
3. 三角形外角和定理：三角形的三个外角和为 。
4. 多边形外角和定理：三角形的三个外角和为 。
二、问题探究
问题一：利用三角形外角性质计算。
【解析】：将已知角和未知角集中在一个三角形中进行研究，是解决问题的常用方法。
例1. 如图， 已知∠1＝27.5°∠2＝95°，∠3＝38.5°，求∠4的度数。
问题二： 利用三角形外交和的应用。
【解析】：因为三角形的一个外角与它相邻的内角是互补关系，所以可由三角形的外角和、内角和定理交互运用解决。
例2. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的外角的度数比为，求∠A，∠B，∠C的度数。
三、综合运用：
1. 已知△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A＝∠B，则∠C的外角大小是 。
2. 如图，已知∠1=100°，
∠2=140°，那么∠3=___ _。
3.下列命题：①一个外角小于内角的 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形是钝角三角形；②一个外角大于内角的三角形是锐角三角形；③菱形的四条边都相等；④等腰三角形的底角必定是锐角；⑤等腰三角形一边上的高就是这样上的中线,其中正确说法有（ ）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
4. 下列命题中假命题是（ ）
A. 一个三角形中至少有一个角不大于60度；
B. 有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形；
C. 锐角三角形中，两个角的和小于直角；
D. 直角三角形中，有一个外角等于和它的相邻的内角。
5. 一多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形是（ ）
A. 十二边形 B. 十边形
C. 八边形 D. 六边形
6. 如图所示，三角形纸片ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠A＝65 ，∠B＝75 ，将纸片的一角折叠，顶点C落在△ABC内，若∠1＝20 ，则∠2的度数为___ ___。
3. 如图，P为三角形ABC内任意一点，试比较∠BPC与∠A的大小。
课时6 角平分线的性质
一、自学导航
1. 角平分线的定义：把一个角分成两个 的角的 ，叫作角平分线。
2. 角平分线性质定理：角平分线上的
点 。
逆定理：到角的两边距离相等的点
在 。
3. 三角形的角平分线性质：三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到三边的距离 。
4. 角是轴对称图形，它的对称轴是 。
二、问题探究
问题一：有关角平分线的性质计算和解决问题。
【解析】：运用角平分线的性质计算角度和解决问题时，关键是要抓住符合该性质的条件，进而准确的把线段进行转移。
例1. 在△ABC中，∠C=90 ，BD是∠ABC的平分线，∠A=20 ，求∠BDC的度数。
例2. 如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠ ( http: / / www.21cnjy.com )B＝90°，EF⊥DC，DE平分∠AEF，CE平分∠BEF，请你说明AD＋BC与CD的关系，并说明理由。
三、当堂训练：
1. 如图，点P是∠AOB平分线OM上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D，若PC＝3，那么PD的长为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
2. 如图（与1题同图）， ( http: / / www.21cnjy.com )点P是∠AOB平分线OM上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D，若∠AOB＝66°，那么∠CPO的度数为（ ）
A. 45° B.50°
C. 57° D. 66°
3. 如图（与1题同图），点P是∠AOB平分线OM上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D，若OC＝6cm，PC＝2cm，那么 。
4. 如图（与1题同图），点P是∠AOB平分线OM上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D，若
，则PD＝ 。
5. 近年来，国家实施“ ( http: / / www.21cnjy.com )村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村座落在两相交公路内(如图所示)。医疗站必须满足下列条件：
①使其到两公路距离相等；
②到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确定P点的位置。
6. 如图，将三角形纸片ABC折叠，使点C落在AB边E处，折痕为AD，若∠B＝40°,∠CAD＝25°，AC＝8cm，求AE的长。
课时7 等腰三角形的性质
一、自学导航
1. 定义：有 的三角形叫做等腰三角形，其中，相等的两边叫做 ，另一边叫做 ，两腰的夹角叫做 ，底边与腰的夹角叫做 。
2. 等腰三角形的性质定理：
⑴ 等腰三角形的两底角 。（简写成“等边对等角”）。
⑵ 等腰三角形 的平分线平分 ，并且垂直于 。（简称“三线合一”）
⑶ 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是 。
3. 等腰三角形三边，三角的关系：
⑴ 设腰长为，底边为，则0＜＜； ⑵ 设底角为α，顶角为β，则。
4. 等腰三角形常用的辅助线：
⑴ 作底边的高、中线或顶角的平分线；
⑵ 底边有中点，作底边的高；
⑶ 作底边的平行线。
二、问题探究
问题一：利用等腰三角形的性质求边或角的应用。
例1. 等腰三角形的周长为30，腰上的中线把它分成两个三角形的周长差为6，求各边的长。
例2. 在
三、综合训练：
1. 若等腰三角形的一个外角等于70°，这它的底角为 度。
2. 若等腰三角形一个角为72°，那么顶角为 。
3. 若等腰三角形一边为2，一边为5，则第三边为 。
4. △ABC中，AB＝AC，AD是它的顶角平分线，如果AD＝5，△ABC的周长为13，那么
5. 若某等腰三角形的周长为24，一腰上的中线把这个等腰三角形分成周长之差为3的两个三角形，则此等腰三角形的腰长为（ ）
A．7 B．8
C．9 D．7或9
6. 如图，中，的平分线相交于点，过作，若，则等于（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
7. 已知：如图△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E，试判断三角形EDC的形状，并说明理由。
8.如右图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC边上一点，且BD＝BC＝AD，试求∠A的度数。
9. 如图，等腰直角三角形ABC直角边长为1，以它的斜边上的高为腰做第一个等腰直角三角形；再以所做的第一个等腰直角三角形的斜边上的高为腰做第二个等腰直角三角形；……以此类推，这样所做的第个等腰直角三角形的腰长为 。
10. 在在△ABC中，AB＝AC，D为CA的延长线上一点，DF⊥BC，试说明∠ADE＝∠AED。
课时8 等腰三角形的判定
一、自学导航
1. 等腰三角形的判定定理：在一个三角形中，相等的角，所对的边 简写成（“等角对等边”）。
作用：是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。
2. 等腰三角形的尺规作图：
利用线段的垂直平分线性质作为依据作等腰三角形。
3. 等腰直角三角形的有关知识：
⑴ 等腰直角三角形的两个底角相等，并且都等于 °；
⑵ 等腰直角三角形的斜边上的中点到两直角边的距离相等，且斜边上的中线等于斜边的一半。
二、问题探究
问题一：等腰三角形判定定理的运用。
【解析】：判断等腰三角形，除利用定义外，能找到相等的角也可。
例1. 如图，中，的平分线相交于点，过作，交AB于D，交AC于E，若的两边AB、AC的长分别为12cm，10cm，求的周长。
问题二、等腰三角形的性质与判定的综合运用。
例2. 如图，,试求：BC＝DC。
问题三：等腰三角形的性质与判定定理在实际生活中的运用。
例2. 一轮船由西向东航行，在A处测得小
岛P的方位是北偏东75°，又航行7海里后，
在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，问
此时轮船距小岛多少海里？
问题四：利用尺规作图，根据已知条件（已知线段）作等腰三角形。
例1. 已知：线段，
求作:等腰△ABC，使，.（可参见教材）
三、综合运用：
1. 如图，在△ABC中， ，，那么：
⑴
⑵
⑶ 图中的等腰三角形分别有 。
2. 等腰直角三角形的面积为4，那么底边上
的高位 。
3. 如图，中，，D、
E是BC上两点，且，则图
中等腰三角形
的个数有（ ）
A．6个
B．5个 C．4个 D．3个
4. 已知一等腰三角形的一个外角为110°，则这个等腰三角形的底角为 。
5. 如图，已知：AB∥EF，CE=CA，∠E=，则∠CAB的度数为（ ）
A. 25°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
6. 如图，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点
F是CD的中点。⑴求证：AF⊥CD．
⑵在你连接BE
后，还能得出什么
新的结论？请写
出三个．（不用证
明）
7. 在四边形ABCD中，，试说明。
8. 如图在Rt△ABC中，∠B=90°，ED垂直平分AC交AC于D，BC于E，，
求：∠C的度数。
9. 已知腰长和底边上的高，作等腰三角形。
已知：线段，
求作：等腰△ABC，使腰AB＝AC＝ ，底边BC的高AD＝，
课时9 等边三角形
一、自学导航
1. 等边三角形： 的三角形叫作等边三角形。
2. 等边三角形的性质：
⑴ 等边三角形的三条边都 ；
⑵ 等边三角形的三个角都 ，并且每个角都等于 ；
⑶ 等边三角形每条边上的都有“三线合一”；
⑷ 等边三角形是 对称图形，有 条对称轴。
3.等边三角形的判定：
⑴ 三条边都 的三角形是等边三角形；
⑵ 三个角都 的三角形是等边三角形，或三个角都是60°的三角形是等边三角形；
⑶ 有一个角是60°的 是等边三角形。
4. 直角三角形的性质：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的 。
二、问题探究
问题一：等边三角形的性质与判定的运用。
【解析】：解决此类问题，需要充分利用“等边对等角，等角对等边”及等边三角形内角都是60°的性质。
例1. 在等边三角形ABC中，D是AC的中点，延长BC大点E，使，
求：⑴ BE的长；
⑵ BD＝ED吗？为什么？
问题二：含30°的角的直角三角形的应用。
【解析】：准确作出高并利用直角三角形的性质是解决本类问题的关键，含30°角的直角三角形的性质在计算中应用十分广泛。
例2. 如图，，求腰AB上的高。
三、综合运用：
1. 有一个角为60°的等腰三角形是 三角形。
2. 若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2，则该三角形底边上的高为 。
3. 已知，在△ABC中，
的平分线交BC于点D ，则BD＝ 。
5. 已知等腰三角形的周长为40cm，以一腰为边的等腰三角形，其周长为45cm，则原三角形的底边长为（ ）
A. 5cm B. 10cm
C. 15cm D. 20cm
6. 在等边三角形ABC所在平面内求一点p，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点一共有（ ）
A.1个 B. 4个
C. 7个 D. 10个
7. △ABC的三边满足关系式
，则这个三角形是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
8.如图，P、Q是△ABC的边BC上两点，且
，
则的大小为 。
9. 已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，CD⊥AB。
求证：（1）AB＝2BC；
（2）CE＝AE＝EB
10. 如图，
，试求 的度数。
11. 如图，在△ABC中，AD交BC ( http: / / www.21cnjy.com )边于点D，CE⊥AD于点E，连接BE，∠ABC＝45°,∠ADC＝60°,DC＝2BD，试求∠C的度数。
第5章单元测试题
一、选择题(每小题3分，满分24分)
1. 下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2. 已知直线MN是线段AB的垂直平分线，下列说法中正确的是（ ）
A、与线段AB距离相等的点在直线MN上 B、与点A和点B距离相等的点在直线MN上
C、与直线MN距离相等的点在直线AB上 D、线段AB的垂直平分线MN
3. 点P为∠AOB的角平分线OM上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D，则下列结论中错误的是（ ）
A．PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝PD
4. 已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的线段中能作为第三条边的是（ ）
A．13cm B．6cm C． 5cm D． 4cm
5. 如图，中，，D、E是BC上两点，且，则图中等腰三角形的个数有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
6. 等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为7cm，则其周长为（ ）
A．12cm B．17cm C． 19cm D． 17cm或19cm
7. 如图，中，的平分线相交于点，过作，若，则等于（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
8. 已知等腰三角形ABC的 底边BC＝8㎝，且∣AC－BC∣＝2㎝，则腰AC的长为（ ）
A．10㎝或6 ㎝ B. 10 ㎝ C. 6 ㎝ D. 8㎝或6 ㎝
二、填空题(每小题3分，满分30分)
9. 角是轴对称图形，其对称轴是________________________所在的直线．
10.如图，在△ABC中，AB=A ( http: / / www.21cnjy.com )C，CD平分∠ACB交AB于D点，AE∥DC交BC的延长线于点E，已知∠E=36°，则∠B= 度．
11.若在四条长度分别为1cm，2cm， ( http: / / www.21cnjy.com )3cm，4cm的线段中任选其中三条组成三角形，则所组成的三角形中周长最小为 。
12.若三角形的一边的中线把它分成的两个三角形的周长分别为9cm和6cm，则此三角形的另两边之差为 cm。
13.△ABC中，AB=AC，BD是三角形的角平分线，∠BDC=75°，则∠A= 。
14. 已知，P为等边△ABC所在平面上一点,且△PAB,△PBC,△PCA都是等腰三角形,这样的点P有___ ____个。
15. 等腰三角形的一个底角为，则顶角的度数是 度．
16. 如图，△ABC中，AB=AC ( http: / / www.21cnjy.com )，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC中点。其中正确的命题序号是 。
三、解答题：（共5个小题，满分52分）
21. （10分）如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠C=90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB，BC于D，E。若∠CAE=∠B+30°，求∠AEB。
22. （10分）如图，P、Q是△ABC的边BC上两点，且
，试求的大小。
24.（10分）某玫举行文艺晚 ( http: / / www.21cnjy.com )会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，BO桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？（尺规作图，并写出作法）
23.（10分）如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连结AF。求证：∠B=∠CAF。
25．（12分）如图，△DEF中，DE=DF，过EF上一点A作直线分别与DE、DF的延长线交于点B，C，且BE=CF。
（1）求证：AB=AC。
（2）若AB=AC，则BE、CF之间有何关系？为什么？
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
M
C
B
A
C
B
A
A
B
E
D
C
A小区
B小区
滨河路
A
B
A
B
E
D
C
A
B
C
A
B
C
1
2
A
B
C
E
F
A
B
C
E
D
1
3
4
2
A
1
2
B
A
B
C
P
B
A
C
D
F
E
B
P
D
A
0
C
D
E
B
A
C
D
B
A
C
D
C
B
A
A
E
D
C
B
F
C
B
A
D
D
C
B
A
E
D
B
A
C
F
B
C
E
A
D
B
A
C
E
D
B
A
C
B
A
C
Q
B
A
C
P
D
B
A
C
A
C
B
D
E
E
D
B
A
C
C
B
D
E
A
E
B
D
C
A
Q
B
A
C
P
O
C ·
B
A
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
课时1 轴反射与轴对称图形
一、自学导航
1. 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直 ( http: / / www.21cnjy.com )线折叠，直线两旁的部分能够互相 ，那么这个图形叫做 。这条直线叫做它的 。
2. 如果一个图形关于一条直线做 ，能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这条直线 ，也称这两个图形 。这条直线也叫做 ，互相重合的两个点，其中一点叫作另一个点关于这条直线的 。
3. 轴反射不改变 。
二、问题探究
问题一：了解轴对称和轴对称图形的概念，判断轴对称图形。
例1. 如图所示的标志中，是轴对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
例2. 下列图形中是轴对称图形的为 （ ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
问题二：根据轴对称的知识补充或设计图案等操作。
例3. 已知：在下面两个方格中有△ABC．
操作：（1）（左图）平移△ABC，使点Ａ移到点M处．（2）（右图）作△ABC的轴对称图形△DEF，以图中虚线为对称轴．
三、综合运用：
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A B C D
2. 在下列四个图案中，属于轴对称图形的有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 在下列图案中，有且只有三条对称轴的是 ( )
4. 仔细观察下图中的图案，并按规则在横线上画出合适的图形．
5. 下列轴对称图形中，对称轴条数最少的图形是（ ）
A. 等边三角形 B. 正方形
C. 正五边形 D. 正六边形
6. 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称.
（1）结合图形指出对称点.
（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？
（3）延长线段AC与A′C′，它们的交 ( http: / / www.21cnjy.com )点与直线m有怎样的关系？其它对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流。
课时2 线段的垂直平分线
一、自学导航
1．定义：我们把 的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
2. 线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点 。
3. 逆定理： 的点在线段的垂直平分线上。
4. 三角形三边垂直平分线定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离 。
5. 用尺规作线段的垂直平分线（设线段AB，图略），作法如下：
⑴分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于C、D两点；
⑵作直线CD，则直线CD即为线段AB的垂直平分线。
二、问题探究
问题一：线段的垂直平分线性质定理与逆定理的应用。
【解析】：利用线段的垂直平分线的性质定理与逆定理，将未知线段转化为已知线段。
例1. 如图，已知AB＝AC＝10，DE垂直平分AC，三角形BCD的周长为18，求BC的长。
问题二：利用线段垂直平分线作图。
例2.如图，某市在滨河路旁修建了一个奶站，向A、B两个小区提供牛奶，奶站建在何处，才能使奶站到两个居民小区A、B的距离相等。
不要写做法，但要简单写出理由。
三、综合运用：
1.关于线段的垂直平分线有 ( http: / / www.21cnjy.com )下列说法：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这个线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴；④到线段两端点距离相等的点有无数个，它们都在线段的垂直平分线上。
其中正确的答案有（ ）个：
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 点P是△ABC中边AB的垂直平分线上的点，则一定有（ ）
A. PA＝PB B. PA＝PC C. PB＝PC D. 点P到∠ACB的两边的距离相等
3. 如图，在△ABC中，，BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E，则△AEC的周长等于（ ）
A. B.
C. D.
4. 作图题：把线段AB四等分。
5. 如图，∠A＝90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点和C点关于DE对称，求：∠ABC和∠C的度数。
课时3 三 角 形
一、自学导航
1.定义： 所组成的图形叫作三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边。
2. 三角形有 条边，有 个顶点，有 个内角。
3. 三角形的角平分线：三角形的一个角 ( http: / / www.21cnjy.com )的平分线与这个角的对边相交，这个角的 和 之间的线段叫作三角形的角平分线。
4.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的 叫作三角形的中线，三角形的中线可以把三角形分成面积相等的两个三角形。
5.三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线， 和 之间的线段叫作三角形的高。
6. 三角形中三边的关系定理：三角形任意两边之和 第三边；三角形任意两边之差 第三边。
二、问题探究
问题一：三角形三边的关系。
【解析】：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。
例1. 一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长的长为偶数，求这个三角形的周长。
问题二：作三角形的中线、高、角平分线。
【解析】：⑴三角形的高在三角形外部时要用虚线；⑵三角形中线平分对边；⑶三角形的角平分线平分对应角。
例2. 如图，三角形ABC中，⑴ 作BC边上的高和中线；⑵ 作∠A与∠C的平分线。
三、综合运用：
1. 若三角形的一边的中线把它分成的两个三角形的周长分别为9cm和6cm，则此三角形的另两边之差为 cm。
2. 如果一个三角形的两边长分别为23cm和10cm，第三边长与其中一边的长相等，那么第三边的长为 cm。
3. 一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，且第三边的长为一个整数，那么，这样的三角形的周长最小值为 cm 。
4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A.1cm，2cm，3cm B.2cm，3cm，4cm C.4cm，6cm，8cm D.5cm，6cm，12cm
5. 已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列四条线段中能作为第三边的是（ ）
A. 13cm B.6cm
C. 5cm D. 4cm
6. 已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是（ ）
A. 3 B.5
C. 7 D. 9
7. 如果三角形的两边分别是3和5，那么这个三角形的周长可能是（ ）
A.15 B.16
C. 8 D.7
8. 现有2厘米、4厘米、5厘米、8厘米的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（ ）
A.1个 B.2个
C. 3个 D.4个
9.若△ABC的三边长是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长是（ ）
A. 7 B. 6
C. 5 D. 4
10.1.如果线段能组成一个三角形，则他们的长度之比可能是（ ）
A. B.
C. D.
课时4 三角形的内角和（1）
一、自学导航
1．三角形的内角和定理：
。
2. 探究三角形内角和定理的办法：
⑴通过作平行线，把三角形转化到一个顶点上去，利用平角得证；
⑵通过作平行线，把三角形放到一组平行的同旁内角里得证；
⑶把三个角同时移到某边的一点上，利用平角得证。
3. 三角形的分类：三角形的分类：
4. 直角三角形的两锐角 。
5. 多边形内角和定理：
二、问题探究
问题一：利用三角形内角和定理进行有关角度的计算。
【解析】：灵活运用内角和定理，注意体会等量代换在解数学题中的妙用。
例1.
例2.
三、当综合运用：
1. 在
2.
3. 一个三角形中最多有 个直角，最多有 个钝角，最多有 个锐角。
4. 三角形三个内角的度数之比为2︰3︰7，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
5. 在
A． B．
C． D．
6. 如图，已知在直角三角形ABC中，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2的度数等于（ ）
A．
B．
C．
D．
7. 如图，中，，过点且平行于，若，则的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
四、拓展提高：
1. 如图，在三角形ABC中，∠BAC＝80°，AE平分BAC，∠B＝60°。求∠AEC的度数。
课时5. 三角形的内角和（2）
一、自学导航
1. 三角形的外角：三角形的一边与另一边的 组成的角，叫作三角形的外角。
2. 三角形外角的性质：
⑴三角形的外角与相邻内角 ；
⑵三角形的一个外角 和它不相邻的两个内角的和；
⑶三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角。
3. 三角形外角和定理：三角形的三个外角和为 。
4. 多边形外角和定理：三角形的三个外角和为 。
二、问题探究
问题一：利用三角形外角性质计算。
【解析】：将已知角和未知角集中在一个三角形中进行研究，是解决问题的常用方法。
例1. 如图， 已知∠1＝27.5°∠2＝95°，∠3＝38.5°，求∠4的度数。
问题二： 利用三角形外交和的应用。
【解析】：因为三角形的一个外角与它相邻的内角是互补关系，所以可由三角形的外角和、内角和定理交互运用解决。
例2. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的外角的度数比为，求∠A，∠B，∠C的度数。
三、综合运用：
1. 已知△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A＝∠B，则∠C的外角大小是 。
2. 如图，已知∠1=100°，
∠2=140°，那么∠3=___ _。
3.下列命题：①一个外角小于内角的 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形是钝角三角形；②一个外角大于内角的三角形是锐角三角形；③菱形的四条边都相等；④等腰三角形的底角必定是锐角；⑤等腰三角形一边上的高就是这样上的中线,其中正确说法有（ ）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
4. 下列命题中假命题是（ ）
A. 一个三角形中至少有一个角不大于60度；
B. 有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形；
C. 锐角三角形中，两个角的和小于直角；
D. 直角三角形中，有一个外角等于和它的相邻的内角。
5. 一多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形是（ ）
A. 十二边形 B. 十边形
C. 八边形 D. 六边形
6. 如图所示，三角形纸片ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠A＝65 ，∠B＝75 ，将纸片的一角折叠，顶点C落在△ABC内，若∠1＝20 ，则∠2的度数为___ ___。
3. 如图，P为三角形ABC内任意一点，试比较∠BPC与∠A的大小。
课时6 角平分线的性质
一、自学导航
1. 角平分线的定义：把一个角分成两个 的角的 ，叫作角平分线。
2. 角平分线性质定理：角平分线上的
点 。
逆定理：到角的两边距离相等的点
在 。
3. 三角形的角平分线性质：三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到三边的距离 。
4. 角是轴对称图形，它的对称轴是 。
二、问题探究
问题一：有关角平分线的性质计算和解决问题。
【解析】：运用角平分线的性质计算角度和解决问题时，关键是要抓住符合该性质的条件，进而准确的把线段进行转移。
例1. 在△ABC中，∠C=90 ，BD是∠ABC的平分线，∠A=20 ，求∠BDC的度数。
例2. 如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠ ( http: / / www.21cnjy.com )B＝90°，EF⊥DC，DE平分∠AEF，CE平分∠BEF，请你说明AD＋BC与CD的关系，并说明理由。
三、当堂训练：
1. 如图，点P是∠AOB平分线OM上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D，若PC＝3，那么PD的长为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
2. 如图（与1题同图）， ( http: / / www.21cnjy.com )点P是∠AOB平分线OM上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D，若∠AOB＝66°，那么∠CPO的度数为（ ）
A. 45° B.50°
C. 57° D. 66°
3. 如图（与1题同图），点P是∠AOB平分线OM上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D，若OC＝6cm，PC＝2cm，那么 。
4. 如图（与1题同图），点P是∠AOB平分线OM上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D，若
，则PD＝ 。
5. 近年来，国家实施“ ( http: / / www.21cnjy.com )村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村座落在两相交公路内(如图所示)。医疗站必须满足下列条件：
①使其到两公路距离相等；
②到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确定P点的位置。
6. 如图，将三角形纸片ABC折叠，使点C落在AB边E处，折痕为AD，若∠B＝40°,∠CAD＝25°，AC＝8cm，求AE的长。
课时7 等腰三角形的性质
一、自学导航
1. 定义：有 的三角形叫做等腰三角形，其中，相等的两边叫做 ，另一边叫做 ，两腰的夹角叫做 ，底边与腰的夹角叫做 。
2. 等腰三角形的性质定理：
⑴ 等腰三角形的两底角 。（简写成“等边对等角”）。
⑵ 等腰三角形 的平分线平分 ，并且垂直于 。（简称“三线合一”）
⑶ 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是 。
3. 等腰三角形三边，三角的关系：
⑴ 设腰长为，底边为，则0＜＜； ⑵ 设底角为α，顶角为β，则。
4. 等腰三角形常用的辅助线：
⑴ 作底边的高、中线或顶角的平分线；
⑵ 底边有中点，作底边的高；
⑶ 作底边的平行线。
二、问题探究
问题一：利用等腰三角形的性质求边或角的应用。
例1. 等腰三角形的周长为30，腰上的中线把它分成两个三角形的周长差为6，求各边的长。
例2. 在
三、综合训练：
1. 若等腰三角形的一个外角等于70°，这它的底角为 度。
2. 若等腰三角形一个角为72°，那么顶角为 。
3. 若等腰三角形一边为2，一边为5，则第三边为 。
4. △ABC中，AB＝AC，AD是它的顶角平分线，如果AD＝5，△ABC的周长为13，那么
5. 若某等腰三角形的周长为24，一腰上的中线把这个等腰三角形分成周长之差为3的两个三角形，则此等腰三角形的腰长为（ ）
A．7 B．8
C．9 D．7或9
6. 如图，中，的平分线相交于点，过作，若，则等于（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
7. 已知：如图△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E，试判断三角形EDC的形状，并说明理由。
8.如右图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC边上一点，且BD＝BC＝AD，试求∠A的度数。
9. 如图，等腰直角三角形ABC直角边长为1，以它的斜边上的高为腰做第一个等腰直角三角形；再以所做的第一个等腰直角三角形的斜边上的高为腰做第二个等腰直角三角形；……以此类推，这样所做的第个等腰直角三角形的腰长为 。
10. 在在△ABC中，AB＝AC，D为CA的延长线上一点，DF⊥BC，试说明∠ADE＝∠AED。
课时8 等腰三角形的判定
一、自学导航
1. 等腰三角形的判定定理：在一个三角形中，相等的角，所对的边 简写成（“等角对等边”）。
作用：是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。
2. 等腰三角形的尺规作图：
利用线段的垂直平分线性质作为依据作等腰三角形。
3. 等腰直角三角形的有关知识：
⑴ 等腰直角三角形的两个底角相等，并且都等于 °；
⑵ 等腰直角三角形的斜边上的中点到两直角边的距离相等，且斜边上的中线等于斜边的一半。
二、问题探究
问题一：等腰三角形判定定理的运用。
【解析】：判断等腰三角形，除利用定义外，能找到相等的角也可。
例1. 如图，中，的平分线相交于点，过作，交AB于D，交AC于E，若的两边AB、AC的长分别为12cm，10cm，求的周长。
问题二、等腰三角形的性质与判定的综合运用。
例2. 如图，,试求：BC＝DC。
问题三：等腰三角形的性质与判定定理在实际生活中的运用。
例2. 一轮船由西向东航行，在A处测得小
岛P的方位是北偏东75°，又航行7海里后，
在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，问
此时轮船距小岛多少海里？
问题四：利用尺规作图，根据已知条件（已知线段）作等腰三角形。
例1. 已知：线段，
求作:等腰△ABC，使，.（可参见教材）
三、综合运用：
1. 如图，在△ABC中， ，，那么：
⑴
⑵
⑶ 图中的等腰三角形分别有 。
2. 等腰直角三角形的面积为4，那么底边上
的高位 。
3. 如图，中，，D、
E是BC上两点，且，则图
中等腰三角形
的个数有（ ）
A．6个
B．5个 C．4个 D．3个
4. 已知一等腰三角形的一个外角为110°，则这个等腰三角形的底角为 。
5. 如图，已知：AB∥EF，CE=CA，∠E=，则∠CAB的度数为（ ）
A. 25°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
6. 如图，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点
F是CD的中点。⑴求证：AF⊥CD．
⑵在你连接BE
后，还能得出什么
新的结论？请写
出三个．（不用证
明）
7. 在四边形ABCD中，，试说明。
8. 如图在Rt△ABC中，∠B=90°，ED垂直平分AC交AC于D，BC于E，，
求：∠C的度数。
9. 已知腰长和底边上的高，作等腰三角形。
已知：线段，
求作：等腰△ABC，使腰AB＝AC＝ ，底边BC的高AD＝，
课时9 等边三角形
一、自学导航
1. 等边三角形： 的三角形叫作等边三角形。
2. 等边三角形的性质：
⑴ 等边三角形的三条边都 ；
⑵ 等边三角形的三个角都 ，并且每个角都等于 ；
⑶ 等边三角形每条边上的都有“三线合一”；
⑷ 等边三角形是 对称图形，有 条对称轴。
3.等边三角形的判定：
⑴ 三条边都 的三角形是等边三角形；
⑵ 三个角都 的三角形是等边三角形，或三个角都是60°的三角形是等边三角形；
⑶ 有一个角是60°的 是等边三角形。
4. 直角三角形的性质：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的 。
二、问题探究
问题一：等边三角形的性质与判定的运用。
【解析】：解决此类问题，需要充分利用“等边对等角，等角对等边”及等边三角形内角都是60°的性质。
例1. 在等边三角形ABC中，D是AC的中点，延长BC大点E，使，
求：⑴ BE的长；
⑵ BD＝ED吗？为什么？
问题二：含30°的角的直角三角形的应用。
【解析】：准确作出高并利用直角三角形的性质是解决本类问题的关键，含30°角的直角三角形的性质在计算中应用十分广泛。
例2. 如图，，求腰AB上的高。
三、综合运用：
1. 有一个角为60°的等腰三角形是 三角形。
2. 若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2，则该三角形底边上的高为 。
3. 已知，在△ABC中，
的平分线交BC于点D ，则BD＝ 。
5. 已知等腰三角形的周长为40cm，以一腰为边的等腰三角形，其周长为45cm，则原三角形的底边长为（ ）
A. 5cm B. 10cm
C. 15cm D. 20cm
6. 在等边三角形ABC所在平面内求一点p，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点一共有（ ）
A.1个 B. 4个
C. 7个 D. 10个
7. △ABC的三边满足关系式
，则这个三角形是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
8.如图，P、Q是△ABC的边BC上两点，且
，
则的大小为 。
9. 已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，CD⊥AB。
求证：（1）AB＝2BC；
（2）CE＝AE＝EB
10. 如图，
，试求 的度数。
11. 如图，在△ABC中，AD交BC ( http: / / www.21cnjy.com )边于点D，CE⊥AD于点E，连接BE，∠ABC＝45°,∠ADC＝60°,DC＝2BD，试求∠C的度数。
第5章单元测试题
一、选择题(每小题3分，满分24分)
1. 下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2. 已知直线MN是线段AB的垂直平分线，下列说法中正确的是（ ）
A、与线段AB距离相等的点在直线MN上 B、与点A和点B距离相等的点在直线MN上
C、与直线MN距离相等的点在直线AB上 D、线段AB的垂直平分线MN
3. 点P为∠AOB的角平分线OM上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D，则下列结论中错误的是（ ）
A．PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝PD
4. 已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的线段中能作为第三条边的是（ ）
A．13cm B．6cm C． 5cm D． 4cm
5. 如图，中，，D、E是BC上两点，且，则图中等腰三角形的个数有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
6. 等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为7cm，则其周长为（ ）
A．12cm B．17cm C． 19cm D． 17cm或19cm
7. 如图，中，的平分线相交于点，过作，若，则等于（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
8. 已知等腰三角形ABC的 底边BC＝8㎝，且∣AC－BC∣＝2㎝，则腰AC的长为（ ）
A．10㎝或6 ㎝ B. 10 ㎝ C. 6 ㎝ D. 8㎝或6 ㎝
二、填空题(每小题3分，满分30分)
9. 角是轴对称图形，其对称轴是________________________所在的直线．
10.如图，在△ABC中，AB=A ( http: / / www.21cnjy.com )C，CD平分∠ACB交AB于D点，AE∥DC交BC的延长线于点E，已知∠E=36°，则∠B= 度．
11.若在四条长度分别为1cm，2cm， ( http: / / www.21cnjy.com )3cm，4cm的线段中任选其中三条组成三角形，则所组成的三角形中周长最小为 。
12.若三角形的一边的中线把它分成的两个三角形的周长分别为9cm和6cm，则此三角形的另两边之差为 cm。
13.△ABC中，AB=AC，BD是三角形的角平分线，∠BDC=75°，则∠A= 。
14. 已知，P为等边△ABC所在平面上一点,且△PAB,△PBC,△PCA都是等腰三角形,这样的点P有___ ____个。
15. 等腰三角形的一个底角为，则顶角的度数是 度．
16. 如图，△ABC中，AB=AC ( http: / / www.21cnjy.com )，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC中点。其中正确的命题序号是 。
三、解答题：（共5个小题，满分52分）
21. （10分）如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠C=90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB，BC于D，E。若∠CAE=∠B+30°，求∠AEB。
22. （10分）如图，P、Q是△ABC的边BC上两点，且
，试求的大小。
24.（10分）某玫举行文艺晚 ( http: / / www.21cnjy.com )会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，BO桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？（尺规作图，并写出作法）
23.（10分）如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连结AF。求证：∠B=∠CAF。
25．（12分）如图，△DEF中，DE=DF，过EF上一点A作直线分别与DE、DF的延长线交于点B，C，且BE=CF。
（1）求证：AB=AC。
（2）若AB=AC，则BE、CF之间有何关系？为什么？
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
M
C
B
A
C
B
A
A
B
E
D
C
A小区
B小区
滨河路
A
B
A
B
E
D
C
A
B
C
A
B
C
1
2
A
B
C
E
F
A
B
C
E
D
1
3
4
2
A
1
2
B
A
B
C
P
B
A
C
D
F
E
B
P
D
A
0
C
D
E
B
A
C
D
B
A
C
D
C
B
A
A
E
D
C
B
F
C
B
A
D
D
C
B
A
E
D
B
A
C
F
B
C
E
A
D
B
A
C
E
D
B
A
C
B
A
C
Q
B
A
C
P
D
B
A
C
A
C
B
D
E
E
D
B
A
C
C
B
D
E
A
E
B
D
C
A
Q
B
A
C
P
O
C ·
B
A
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A