湘教版九年级下第3章《圆》全章学案
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第三章 圆
3.1.1 圆的对称性（一）
一、自学导航
1、圆是平面内到一定点的 等于
的所有点组成的图形，这个定点叫做 ，
定长叫做 。
2、连结圆上任意两点的线段叫做 ，
经过圆心的弦叫做 。
3、圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转
都能与自身重合；圆也是中 ( http: / / www.21cnjy.com )心对称图形， 是它的对称中心；圆还是轴对称图形， 都是它的对称轴。
4、垂径定理：垂直于弦的直径 弦。
二、问题探究
1、在白纸的圆上画任意一条直径，把白纸沿着这条直径所在直线折叠，观察圆的两部分是否互相重合，这体现圆具有什么样的对称性？
2、如下图，你能利用圆的轴对称性证明：垂直于弦的直径平分这条弦吗？
三、综合运用
1．下列说法错误的是（ ）
A．圆是中心对称图形，圆心是对称中心
B．圆是旋转对称图形
C．圆是轴对称图形，直径是对称轴
D．圆有无数条对称轴
2、已知⊙O的半径为R,弦AB的长也是R,则∠AOB的度数是_________.
3、圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm.
4、如图3—1,半径为2cm的⊙O中有长为2cm的弦AB,则∠AOB的度数为( )
A. 60° B. 90°
C. 120° D. 150°
5．如图3—2,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
6．如图3—3,A是半径为5的⊙O内一点,且OA＝3,过点A且长小于8的弦有( )
A. 0条 B. 1条
C. 2条 D. 4条
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图3—1 图3—2
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图3—3
7．如图，⊙O中，弦AB的长为6cm，⊙O到AB的距离为4cm，求⊙O的半径。
图3—４
8．如图3—4,AB是⊙O的弦(非直径),C、D是AB上两点,并且AC＝BD.试判断OC与OD 的数量关系并说明理由.
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图3—５
９．如图3—5,AB是⊙O的直径,P是AB ( http: / / www.21cnjy.com )上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB＝DPB,且弧BD＝弧BC ,.则线段PC、PD相等吗？请说明理由。
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图3—６
10、如图3—7，株洲石峰公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB为24米，拱高CD为8米 ，求该石拱桥的圆弧半径。
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图3—7
3.1.1 圆的对称性（二）
一、自学导航
1.圆上任意两点间的部分叫 ，用符号“ ”表示，大于半径的弧叫 ，小于半径的弧叫 。
2.如下图，⊙O中，∠AOB叫做劣弧AB所对的 ，OD⊥AB，OD叫做弦AB的
。
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3.在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弦 ，所对弦的弦心距 。
4.垂直于弦的直径不但平分弦，而且平分弦所对的 。
二、问题探究
1.请你利用圆的旋转对称性探究：
如果同一圆中，有两个相等的圆心角，那么，这两个圆心角所对的弦相等吗？所对的弧相等吗？所对的弦的弦心距相等吗？
2.如下图，AB、CD是圆中两条平行的弦，你能利用垂径定理探究，劣弧AC、BD是否相等吗？
三、综合运用
1. 下列命题中，假命题是（ ）；
A. 平分弧的直径必平分这条弧所对的弦
B. 圆的任意两条弦的垂直平分线的交点是该圆的圆心
C. 平分弦的直径垂直于弦
D. 垂直平分一条弦的直线平分弦所对的两条弧
2. “圆材埋壁”是我国著名的数学著作《九 ( http: / / www.21cnjy.com )章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋于壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用现代的数学语言表达是：“如图3-8，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE ＝ 1寸，AB ＝ 1尺，求直径的长”. 依题意，CD长为（ ）.
A. 寸 B. 13寸
C. 25寸 D. 26寸
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3.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如上图所示，其中水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）．
A． 0.4米 B． 0.5米
C． 0.8米 D． 1米
4．P是⊙O半径上一点，OP ＝ 5, 经过点P的最短的弦长为24, 则⊙O的半径为 。
5．如图3-9，AB是⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )的直径，弦CD⊥AB, 垂足为P，若AP︰PB ＝ 1︰4, CD ＝ 8, 则AB 的长为＝ .
6．如图3-10，⊙O的半径为25cm，弦AB ＝ 48cm, OD⊥AB于C交⊙O于D, 则AD ＝ ；
7.如图3—11，已知的半径，，则所对的弧的长为（ ）
A． B．
C． D．
8.如图3—12，是的直径，是上一点，，则的度数为 ．
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图3—11 图3—12
9． 如图3-13，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB ＝ 10 cm, PA ＝ 4 cm, OP ＝ 5 cm, 求⊙O的半径.
10．已知：如图3-14，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为的中点，AB、OC相交于点P，试判断：四边形OACB是何种特殊的四边形.
11. 已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线的同侧，分别过这两点作的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连结AD、AE、DE，且∠AED＝90°。
（1）如图①，如果AB＝6,BC＝16,且BE:CE＝1:3，求AD的长。
（2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明。
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3.1.2 圆周角
一、自学导航
1.顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做 。
2.一条弧所对的圆周角等于它所对的
。
3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，反之亦成立。
4、直径或半圆所对的圆周角是 ，反之，90°的圆周角所对的弦是 ，所对的弧是 。
二、问题探究
如图1，圆心角∠BOC和圆周角∠BAC是什么关系？图2呢？图3呢？
你能从中得出什么结论。你能利用这三个图形证明你的结论吗？
三、综合运用
1．如图3—15，已知是⊙O的圆周角，，则圆心角 HYPERLINK "http://" 是（ ）
A． B. C. D.
2．如图3-16，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A． 45° B． 60°
C． 75° D． 90°
图3—15
3．圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ）
A． 30° B． 150°
C． 30°或150° D． 60°
4．如图3—17，A、B、C都在圆上，∠AOB＝100°，则∠ACB＝ 。
5．如图3—18，是⊙O的直径，点都在⊙O上，若∠C＝∠D＝∠E,
则 °。
6．如图3—19，已知⊙O中，，，则⊙O的半径为 ．
7、如图3—20，点在以为直径的上，，则的长为 ．
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8．如图3—21， AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝35 ，求∠BOC的度数。
图3—21
9．如图3—22，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．
（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．
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10、如图3—23，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若AD＝2，⊙O的半径为3，求BC的长．
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图3—23
3.1.3 过不在同一直线上的三点作圆
一、自学导航
1. 确定一个圆。
2.经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的 。该圆的圆心叫做这个三角形的 ，这个三角形叫做该圆的
。
3.三角形的外心是它 的交点，它到 的距离相等。
二、问题探究
1、过已知点A作圆，可以做多少个？
2、过已知点A、B作圆，又可以做多少个？这些圆的圆心在哪儿？
3、过已知点A、B、C作圆，可以作多少个圆？
三、综合运用
1．下列关于确定一个圆的说法正确的是（ ）
A．经过三个点一定能确定一个圆 B．以已知线段作为半径一定能确定一个圆
C．以已知线段作为直径一定能确定一个圆 D．经过菱形的四个顶点一定能确定一个圆
2．下列命题中，正确的个数有（ ）
①钝角三角形没有外心；②多边形没有外接圆；③三角形的外心到三个顶点的距离相等；
④无论什么形状的三角形，都一定有外接圆．
A． 1个 B． 2个
C． 3个 D． 4个
3．以下四边形中，一定有外接圆的是（ ）
A． 矩形 B． 菱形
C． 梯形 D．对角线相等的四边形
4．如图3—24，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO的度数是( )
A． 15° B． 30°
C． 45° D． 60°
5．如图，⊙ 是△的外接圆，是⊙的直径，若⊙的半径为，， 则的值是 （ ）
A． B．
C． D．
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图3—24 图3—25
6．一个三角形有___________个外接圆，一个圆有___________个圆内接三角形．
7．三角形的三边分别为3，4，5，则此三角形外接圆的直径是_________．
8．⊙O的内接△ABC中，弧AB、BC、CA的度数之比为2∶3∶5，则∠A＝_________．
9．如图3—26，等腰三角形ABC内接于半径为5的⊙O，AB＝AC，且tanB＝。
（1）求BC的长；
（2）求AB边上的高
10．如图3—27，P是△ABC的 ( http: / / www.21cnjy.com )外接圆弧AB上的一点，∠APC＝∠BPC＝60°,写出图中相等的角，并写出图中线段之间的关系（不包括比例线段）
11．如图3—28，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E．
（1）∠E＝ 度；
（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；
（3）求弦DE的长．
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图3—28
3.2.1 点、直线和圆的位置关系
一、自学导航
1.直线和圆有且只有三种位置关系，分别是 、 、 。
2.完成下列表格：
直线与圆位置关系 相离 相切 相交
圆心到直线距离d与半径r的关系 d>r
直线的名称 割线
直线与圆公共点的名称 无
二、问题探究
如图，圆O的半径为r ,直径所在直 ( http: / / www.21cnjy.com )线为AB，用一根直尺，使它一边贴着直线AB，然后把直尺慢慢向下平移，观察圆心O到直尺边缘的距离d与半径r的关系。
三、综合运用
1．如图3—29，半径为3cm的⊙O切AC于B，AB＝3cm,BC＝cm,则∠AOC的度数是（ ）
A、 45° B、 60°
C、 75° D、 90°
图3—29
2．已知直线m上一点P与⊙O圆心O之间的距离为5cm，⊙O的半径为3cm，则直线m与⊙O的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．相交、相切、相离都有可能。
3. ⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长为3，以3为半径的同心圆与AB的位置关系是（ ）
A． 相离 B． 相切
C． 相交 D． 无法确定
4．如图3—30，在平面直角坐标系中，⊙A与 ( http: / / www.21cnjy.com )y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是(—4，—2)，则点N的坐标为（ ）
A． B． C． D．
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图3—30
5.已知的半径，圆心到直线的距离为，当时，直线与的位置关系是（ ）
A． 相交 B． 相切
C． 相离 D． 以上都不对
6．点P到圆心O的距离d与半径r满足d＝r,则点P 圆上。（填在或不在）
7. Rt△ABC的斜边A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝6厘米，直角边AC＝3厘米，以C为圆心，2厘米为半径的圆和AB的位置关系是 ，4厘米为半径的圆和AB的位置关系是 ，若和AB相切，那么半径长为 。
8. ⊙O内最长弦的长为m，直线n与⊙O相离，设点O到n的距离为d，则d与m的关系是____________.
9．如图3—31，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝13，AB＝5，O是AB上的点，以O为圆心，OB为半径作⊙O。
1）当OB＝2.5时，⊙O交AC于点D，求CD的长；
2）当OB＝2.4时，AC与⊙O的位置关系如何？
试说明你的结论。
10. 如图3—32所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，一只船以每小时40海里的速度从A点出发向东航行，一开始就发现一小岛B在A的北偏东60°的方向，半小时后到达C点，发现B在北偏东30°的方向，而且发现B的周围18海里内布满礁石群，问：船若沿原航向继续前进有无危险？如有危险，从C点出发至少还有多少时间；若无危险，请说明理由。
图3—32
3.2.2 圆的切线的判定、性质和画法
一、自学导航
1.圆的切线的判定定理：经过半径的 ，并 这条半径的直线是圆的切线。
2.圆的切线的性质定理：圆的切线
。
3.经过切点且垂直于切线的直线必过 。
4.经过直径两端点的切线互相 。
二、问题探究
1、画一个⊙O和它的一条半径OA，过点A作直线m与OA垂直，如下图：
此时，d＝r吗？直线m与⊙O相切吗？
2、如上图，直线m与⊙O相切，切点为A，连接OA，探究：直线m与半径OA垂直吗？
三、综合运用
1．若r＝5，d＝3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A． 相交 B． 相切
C． 相离 D． 无法确定
2．如图3—33，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝70°，则∠BAC＝（ ）
A、70° B、60° C、30° D、20° ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
（图3—33） ( 图3—34)
3．如图3—34，是圆的直径，是圆的切线，为切点，连结交圆于点，连结，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图3—35，是的直径，是的切线，点在上，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
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图3—35
5. 如图3—36，PA切⊙O于点A,PA＝4,OP＝5,则⊙O的半径是____.
6．如图3—37，已知AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，AC＝AB＝2，则BC＝_____.
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（图3—36） （图3—37）
7．如图3—38，已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，PA＝4，∠APB＝80°，则PB＝_____，∠APO＝___度.
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（图3—38） 图3—39
8．如图3—39，以O为圆心的两个同心 ( http: / / www.21cnjy.com )圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10cm，小圆半径为6cm，则弦AB的长为 cm．
9.如图3—40，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .
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图3—40
10．如图3—41,Rt△ABC中,∠C＝90°, AC＝3cm，BC＝4cm,
1）求AB边的高；
2）以点C为圆心,2.4cm为半径的圆与AB有怎样的位置关系
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（图3—41）
11．如图3—42，已知：AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过C作直线MN，AD⊥MN于D，且AC平分∠BAD．求证：MN与⊙O相切.
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（图3-42）
3.2.3 三角形的内切圆
一、自学导航
1.与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ,
这个三角形叫做圆的 。
2.三角形的内心是这个三角形的三条
的交点，它到 的距离相等。
3.若直角三角形的二条直角边长为a,b,斜边长为c，则它的内切圆半径 。
二、问题探究
1、如图，想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板，应当怎样剪？
2、如图，直角三角形ABC中，直角边长为a,b,斜边长为c，则它的内切圆半径r与a、b、c是什么关系？请将探究过程写出来。
三、综合运用
1．下列命题正确的是（ ）
A．三角形的内心到三角形三顶点的距离相等 B．等边三角形的内心，外心重合
C．三角形的内心不一定在三角形的内部 D．一个圆一定有唯一一个外切三角形
2. 如图3—43，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝（ ）
A．70° B．110°
C．120° D．130°
3.一个钢管放在V形架内，图3—44是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm，∠MPN ＝ 60，则OP ＝( )
A．50 cm B．25cm C．cm D．50cm
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（图3—43） （图3—44）
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ）
A．1.5，2.5 B．2，5
C．1，2.5 D．2，2.5
5. 如图，．
则△ABC的内切圆半径______．
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（图3—45） （图3—46）
6．如图3—46，△ABC中，∠A＝45°，I是内心，则∠BIC＝ 。
7．如图3—47，在△ABC中，AB＝AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．
（1）求证：BF＝CE；
（2）若∠C＝30°，CE＝2 HYPERLINK "http://www./" ，求AC的长．
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（图3—47）
8．如图3—48，△ABC中，∠A＝m°．
（1）如图（1），当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数；
（2）如图（2），当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数；
（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．
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（图3—48）
3.3 圆与圆的位置关系
一、自学导航
1.两个圆的位置关系有七种情况： 、
、 、 、 、
同心圆和重合。
2.两个圆的圆心之间的距离叫做 ，用d表示。
3.当两圆外切时，d＝r1+r2，当两圆内切时，
d＝ ，当两圆相交时，d＝ 。
4.两圆想切时， 必在连心线上；两圆相交时，连心线 公共弦。
5.同时与两个圆相切的直线叫做两圆的
。
二、问题探究
用纸板剪两个圆，将右边的圆固定，左边的圆按照从左至右的顺序运动，探究两个圆不同的位置关系，并观察两圆之间的圆心距与两圆半径之间的关系。
三、综合运用
1．图3—49是一张卡通图，图中两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外离
C．内切 D．内含
2.若半径为7和9的两圆相切，则这两圆的圆心距长一定为（ ）.
A 16 B 2
C 2或16 D 以上答案都不对
3．若两圆半径为7和5，圆心距为5，则两圆的公切线的条数是（ ）.
A 2条 B 3条
C 4条 D 5条
4．若两圆既有外公切线，又有内公切线，半径为R和r，圆心距为d，则下面各式中一定正确的是（ ）.
A d＜R+r B d≤R+r
C d＞R+r D d≥R+r
5. 若⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1和⊙O2的半径分别为2和，公共弦长为2，∠O1AO2的度数为（ ）.
A B 或
C 或 D
6.如图3—50，把⊙O1向右平移8个单位长度得⊙O2，两圆相交于A.B，且O1A⊥O2A，则图中阴影部分的面积是
A. 4π-8 B. 8π-16
C. 16π-16 D. 16π-32
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图3—50
7．两圆半径分别是9和12,两圆的圆心距是26,则两圆的位置关系是_________.。
8. 两圆的半径比是5:3,外切时圆心距是32cm的,当两圆内切时,圆心距为________cm.。
9. 若两圆的半径分别为2cm和7cm,圆心距为13cm,则两圆的一条外公切线的长是______cm.
10.如图3—51，.的圆心A.B在直线上，两圆的半径都为1cm，开始时圆心距，现.同时沿直线以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，运动的时间为 秒．
图3—51
11．如图3—52，在以O为圆心的两个 ( http: / / www.21cnjy.com )同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A.与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．
(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
(2)试判断线段AC.AD.BC之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π） ( http: / / www.21cnjy.com )
图3—52
9.已知：如图3—53，⊙O1与⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O2外切于P，AC是过P点的割线交⊙O1于A，交⊙O2于C，BC切⊙O2于C，过点O1作直线AB交BC于B.求证：AB⊥BC.
3.4.1 弧长和扇形的面积
一、自学导航
1.在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧 。
2.半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为 。
3. 半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S为 。
二、问题探究
1、探究半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长与圆的周长的关系：
2、探究半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S与圆的面积的关系：
三、综合运用
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）．
A．3 B．4
C．5 D．6
2．已知扇形的半径为3，扇形面积为 ，则扇形的圆心角为（ ）
A、90° B、150°
C、120° D、 180°
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(图3—54) (图3—55)
3．如图3—54，实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ）
A．12m B．18m
C．20m D．24m
4．如果一条弧长等于R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______，
当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．
5．如图3—55所示，OA＝3OB，则弧AD的长是弧BC的长的_____倍．
6.如图3—56，圆上有A、B、C、D四点，其中BAD＝80。若、的长度分别为7、11，则的长度为（ ）
A 4 B 8
C 10 D 15
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图3—56
7.如图3—57，△ABC是直角边长为a ( http: / / www.21cnjy.com )的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是
A． B．
C． D．
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图3—57
8. 如图3—58，有一长为4cm ( http: / / www.21cnjy.com )，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的顶点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A2C与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长为（ ）
A．10cm B．35cm
C．45cm D．25cm
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图3—58
8. 为庆祝祖国六十华诞，某单位排练的节目需用到如图所示的扇形布扇，布扇完全打开后，外侧两竹条、夹角为，的长为，贴布部分的长为，则贴布部分的面积约为__________．（取3）
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9．如图3—59，若⊙O的周长为20cm，⊙A、⊙B的周长都是4cm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？
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(图3—59)
10．已知如图3—60所示，弧AB所在圆的半径为R，弧AB的长为R，⊙O′和OA、OB分别相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长以及扇形OAB的面积。（用R表示）
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(图3—60)
3.4.2 圆锥的侧面积和全面积
一、自学导航
1.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形，其底面是一个 。
2.圆锥可看成是一个直角三角形绕它的一条
边所在直线旋转一周形成的图形。
3. 把圆锥沿着一条母线剪开，它的侧面可以展开成一个 ，这个图形的面积叫做圆锥的侧面积。
4.若圆锥母线长为b，底面半径为r，则圆锥侧面积计算公式为 ；圆锥全面积计算公式为 。
二、问题探究
1、如图，请将圆锥沿着它的一条母线剪开，得到什么图形，怎样计算这个展开图形的面积？
2、将下面直角三角形ABC分别绕它的直 ( http: / / www.21cnjy.com )角边AC、BC所在直线旋转一周，可以得到两个什么图形？若AC＝4，BC＝3，分别计算这两个图形的侧面积。
三、综合运用
1．已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为（ ）
A、 B、
C、 D、无法计算
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝1，以AC为轴旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的全面积等于（ ）
A、 B、
C、 D、
3．把一个半径为15cm的圆形铁片分成三个全等的扇形，用其中一个扇形做成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）
A、15cm B、cm
C、10cm D、5cm
4. 如图3—61，扇形的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ ）
A． B. C． D．
图3—61
5. 若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是
A 40° B 80°
C 120° D 150°
6．高为h，底面半径为r的圆柱体的侧面积是 ，全面积是 。
7. 圆锥母线长为a，底面半径为r，则圆锥的侧面积是 ，全面积是 。
8．圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的底面半径是 。
9．已知一圆锥的侧面积是cm2,圆锥的侧面展开图的扇形的弧长cm，则展开图扇形的圆心角所对的弦长是 。
10. 如图3—62，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留）．
图3—62
11. 如图3—63将绕点逆时针旋转到使在同一直线上，，，则图中阴影部分面积为 cm2．
8．如图，一个圆柱和一个圆锥的组合体，底面半径为2cm，圆柱和圆锥的母线长均为6cm，求这个几何体的表面积。
12．一个圆锥的高是12cm，侧面展开后为半圆，求这个圆锥的侧面积和全面积。
13. 如图3—64，圆心角都是90 的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若图中阴影部分的面积是，OA＝2cm，求OC的长．
图3—64
3.5 平行投影和中心投影
一、自学导航
1.物体在光线照射下，会在地面留下它的影子，把物体映成它的影子叫做 。
2.平行光线下的投影称为 ；从点光源发出的光线下的投影叫做 。
3. 我们一共学习了六种变换，它们是：
、 、 、位似变换、
相似变换、投影。
二、问题探究
1、探究：
一个与地面平行的圆盘，在与地面垂直的太阳光线照射下，影子是什么形状？还会是圆盘形状吗？
一根电线杆，当太阳光线与地面垂直时，它的影子是什么形状？当太阳光线与地面倾斜时，它的影子是什么形状
2、平行投影会改变物体形状吗？中心投影呢？比较投影与平移、轴反射、旋转等变换的区别？
三、综合运用
1．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小华的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A、小明的影子比小华影子长；
B、小明的影子比小华影子短；
C、小明的影子和小华影子一样长；
D、无法判断
2．小华拿一个矩形木框在阳光下玩耍，则木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
A、等腰梯形 B、 一条线段
C、矩形 D、平行四边形
3．某数学活动小组测量旗杆的高度，在同一时刻测得身高为1.5米的小明的影长为1米，旗杆的影长为8米，则旗杆的高为（ ）
A、8米 B、12米
C、5.3米 D、10.5米
4．物体在路灯灯光照射下影子的长短跟物体与路灯的 有关，影子的方向与路灯的 有关。
5．甲乙两人在太阳光下行走，同一时刻他们的身高与影长 ；若甲的身
高为1.75米，乙的身高为1.7米，甲的影长为2.0米，则乙的影长为 米。
6．如图3—65，这是圆桌上方 ( http: / / www.21cnjy.com )的一个灯泡（看做一点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成的阴影，已知桌面直径为1.2米，桌面距地面1米，灯泡距地面3米，则地面上阴影部分的面积为 。
图3—65
7. 如图3—66，（1）是某公司的图 ( http: / / www.21cnjy.com )标，它是由一个扇环形和圆组成，其设计方法如图（2）所示，ABCD是正方形，⊙O是该正方形的内切圆，E为切点，以B为圆心，分别以BA.BE为半径画扇形，得到如图所示的扇环形，图（1）中的圆与扇环的面积比为 。
( http: / / www.21cnjy.com )
8．如图3—67，小文站在30米高的塔上远眺前方的 广场，在离塔10米处有高5米的障碍物，求离塔多少米的范围内是小文的盲区。
图3—66
问题背景 如图3—67，在某次活动课中，甲 ( http: / / www.21cnjy.com )、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.
乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm.
丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm.
任务要求
（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；
（2）如图3，设太阳光线与相切于点.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段的影长；需要时可采用等式）.
图3—67
3.6 三视图
一、自学导航
1. 一个几何体的三视图是指 、
、 。
2.画几何体的三视图一般遵循“三等规则”，即 ， ， 。
3. 由若干个多边形围成的几何体叫做
，一个多面体如果有两个面互相平行，那么称这个多面体为 ，棱柱有
与 两类。
二、问题探究
如图，有一个底面半径为3cm，高为4cm的圆柱体，请你按照三等规则画出这个圆柱体的三视图。
主视图： 左视图：
俯视图：
三、综合运用
1． 如图3—68是某一立体图形的三视图，则这个立体图形是（ ）
A、正三棱柱 B、三棱锥
C、圆柱体 D、圆锥
图3—68
2. 三棱柱的左视图不可能是（ ）
A、长方形 B、正方形
C、三角形 D、圆
3．某几何体的主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是一个标有圆心的圆，则这个几何体可能是 。
4．请写出主视图、左视图和俯视图都一样的立体图形（至少两个） 、 。
5．画出底面半径为2cm，高为4cm的圆锥体的三视图。
主视图： 左视图：
俯视图：
6．用小正方体搭一个几何体，它的主视图和俯视图如图3—69所示，最多要多少个小正方体？最少呢？
SHAPE \* MERGEFORMAT HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
图3—69
7．如图3—70，圆柱高20cm，底面半径5cm，一只虫子从圆柱上A点处,绕圆柱爬到B处.你能说出它爬行的最短路线吗
SHAPE \* MERGEFORMAT HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
图3—70
如图3—71是一个几何体的三视图。
（1）写出这个几何体的名称；
（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积；
（3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程。
第三章《圆》单元自测题
(时间90分钟 满分100分)
一、选择题：(每小题3分,共30分)
1．下列命题中，错误的是（ ）
A、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；
B、相等的两个角是对顶角。
C、全等的两个三角形必定相似；
D、到圆心的距离等于半径的点在圆上；
2．如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB＝20,CD＝16,那么线段OE的长为 ( )
A 10. B 8. C 6. D 4.
3．已知点O为△ABC的外心，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B．80° C．160° D．120°
4．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠OBC的度数为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．70°
5、已知⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD,AB＝6cm,CD＝8cm,则AB与CD的距离是（ ）
A. 1cm B. 7cm C. 1cm或7cm D. 无法判断
6．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B＝60°，则∠A等于（ ）
A．80° B．50° C．40° D．30°
7．如图，P为⊙O外一点，P ( http: / / www.21cnjy.com )A、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
8．已知圆锥的侧面积是，底面半径是，则这个圆锥的母线长是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
9、已知⊙O的半径为4cm，A为线段OP的中点，当OP＝7cm时，点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．不能确定
10．如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD＝13，PC＝4，则两圆组成的圆环的面积是（ ）
A．16π B．36π C．52π D．81π
二、填空题(每小题3分,共30分)
11．如图，在⊙O中，弦AB等于⊙O的半径，OC⊥AB交⊙O于点C，则∠AOC＝ 。
12．如图，AB、AC与⊙O相切于点B、C，∠A＝50゜，P为⊙O上异于B、C的一个动点，则∠BPC的度数为 。
13．已知⊙O的半径为2，点P为⊙O外一点，OP长为3，那么以P为圆心且与⊙O相切的圆的半径为 。
14．若圆锥的母线长为，底面半径为，则圆锥的侧面展开图的面积是 ．
15、已知两圆半径分别为1与5，圆心距为4，则这两圆的位置关系是 。
16．扇形的弧长为20πcm，面积为240πcm2，则扇形的半径为 cm。
17．如图，已知∠AOB＝30°，M为 ( http: / / www.21cnjy.com )OB边上一点，以M为圆心，2cm长为半径作⊙M，若点M在OB边上运动，则当 OM＝ cm时，⊙M与OA相切。
18．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为 。
19．如图，已知圆内接五边形中，对角线是⊙O的直径，，是AD的中点，则的面积是 ．
20．有一个边长是的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，则这个圆形纸片的最小半径是____________．
三、解答题：(共40分)
21．（10分）如图8是不倒翁的正视图 ( http: / / www.21cnjy.com ),不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相切于点A、B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O,若∠OAB＝25°,求∠APB的度数.。
22．（10分）如图22，已知⊙O的半径为8cm，点A为半径OB的延长线上一点，射线AC切⊙O于点C，弧BC的长为，求线段AB的长。
23、（10分）如图23，已知△ABC内接于⊙O,AB是直径，D是BC的中点，连接DO并延长到F使AF＝OC.
(1)写出途中所有全等的三角形（不用证明）；
(2)探究：当∠1等于多少度时，四边形OCAF是菱形？请回答并
给予证明.
24、（10分）如图，点在圆上，弦的延长线与弦的延长线相交于点．
给出下列三个条件：
①是圆的直径；
②是的中点；
③．
请在上述条件中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明．
条件： ．
结论： ．
证明：
D
A
B
C
D
E
F
O
D
E
B
A
C
3-8
3-10
O
D
B
A
C
O
3-9
P
D
C
B
A
C
B
A
O
O
P
B
A
图3-13
O
P
B
A
C
图3-14
D
C
A
B
B
C
O
A
O
图2
图1
A
B
O
C
D
图3
图3—16
3—12
A
B
O
C
图3—17
3—18
·A
·B
·A
·B
·C
·A
A
B
C
O
图3—26
A
B
P
D
C
图3—27
A
B
图3—31
O
m
A
a
b
c
d
r1
r2
图3—49
A
B
l
图3—53
h
l
r
A
B
C
30°
C
B
A
30°
（3—63）
图3—66
D
D
F
E
900cm
2
B
C
A
60cm
80cm
1
G
H
NE
156cm
ME
OE
200cm
3
KE
3cm
4cm
主视图
俯视图
图3—71
7题图
10题图
4题图
6题图
11题图
12题图
B
A
（第19题图）
O
C
D
E
17题图
22题图
3.1.1 圆的对称性（一）
一、自学导航
1、圆是平面内到一定点的 等于
的所有点组成的图形，这个定点叫做 ，
定长叫做 。
2、连结圆上任意两点的线段叫做 ，
经过圆心的弦叫做 。
3、圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转
都能与自身重合；圆也是中 ( http: / / www.21cnjy.com )心对称图形， 是它的对称中心；圆还是轴对称图形， 都是它的对称轴。
4、垂径定理：垂直于弦的直径 弦。
二、问题探究
1、在白纸的圆上画任意一条直径，把白纸沿着这条直径所在直线折叠，观察圆的两部分是否互相重合，这体现圆具有什么样的对称性？
2、如下图，你能利用圆的轴对称性证明：垂直于弦的直径平分这条弦吗？
三、综合运用
1．下列说法错误的是（ ）
A．圆是中心对称图形，圆心是对称中心
B．圆是旋转对称图形
C．圆是轴对称图形，直径是对称轴
D．圆有无数条对称轴
2、已知⊙O的半径为R,弦AB的长也是R,则∠AOB的度数是_________.
3、圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm.
4、如图3—1,半径为2cm的⊙O中有长为2cm的弦AB,则∠AOB的度数为( )
A. 60° B. 90°
C. 120° D. 150°
5．如图3—2,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
6．如图3—3,A是半径为5的⊙O内一点,且OA＝3,过点A且长小于8的弦有( )
A. 0条 B. 1条
C. 2条 D. 4条
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图3—1 图3—2
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图3—3
7．如图，⊙O中，弦AB的长为6cm，⊙O到AB的距离为4cm，求⊙O的半径。
图3—４
8．如图3—4,AB是⊙O的弦(非直径),C、D是AB上两点,并且AC＝BD.试判断OC与OD 的数量关系并说明理由.
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图3—５
９．如图3—5,AB是⊙O的直径,P是AB ( http: / / www.21cnjy.com )上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB＝DPB,且弧BD＝弧BC ,.则线段PC、PD相等吗？请说明理由。
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图3—６
10、如图3—7，株洲石峰公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB为24米，拱高CD为8米 ，求该石拱桥的圆弧半径。
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图3—7
3.1.1 圆的对称性（二）
一、自学导航
1.圆上任意两点间的部分叫 ，用符号“ ”表示，大于半径的弧叫 ，小于半径的弧叫 。
2.如下图，⊙O中，∠AOB叫做劣弧AB所对的 ，OD⊥AB，OD叫做弦AB的
。
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3.在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弦 ，所对弦的弦心距 。
4.垂直于弦的直径不但平分弦，而且平分弦所对的 。
二、问题探究
1.请你利用圆的旋转对称性探究：
如果同一圆中，有两个相等的圆心角，那么，这两个圆心角所对的弦相等吗？所对的弧相等吗？所对的弦的弦心距相等吗？
2.如下图，AB、CD是圆中两条平行的弦，你能利用垂径定理探究，劣弧AC、BD是否相等吗？
三、综合运用
1. 下列命题中，假命题是（ ）；
A. 平分弧的直径必平分这条弧所对的弦
B. 圆的任意两条弦的垂直平分线的交点是该圆的圆心
C. 平分弦的直径垂直于弦
D. 垂直平分一条弦的直线平分弦所对的两条弧
2. “圆材埋壁”是我国著名的数学著作《九 ( http: / / www.21cnjy.com )章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋于壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用现代的数学语言表达是：“如图3-8，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE ＝ 1寸，AB ＝ 1尺，求直径的长”. 依题意，CD长为（ ）.
A. 寸 B. 13寸
C. 25寸 D. 26寸
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3.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如上图所示，其中水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）．
A． 0.4米 B． 0.5米
C． 0.8米 D． 1米
4．P是⊙O半径上一点，OP ＝ 5, 经过点P的最短的弦长为24, 则⊙O的半径为 。
5．如图3-9，AB是⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )的直径，弦CD⊥AB, 垂足为P，若AP︰PB ＝ 1︰4, CD ＝ 8, 则AB 的长为＝ .
6．如图3-10，⊙O的半径为25cm，弦AB ＝ 48cm, OD⊥AB于C交⊙O于D, 则AD ＝ ；
7.如图3—11，已知的半径，，则所对的弧的长为（ ）
A． B．
C． D．
8.如图3—12，是的直径，是上一点，，则的度数为 ．
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图3—11 图3—12
9． 如图3-13，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB ＝ 10 cm, PA ＝ 4 cm, OP ＝ 5 cm, 求⊙O的半径.
10．已知：如图3-14，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为的中点，AB、OC相交于点P，试判断：四边形OACB是何种特殊的四边形.
11. 已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线的同侧，分别过这两点作的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连结AD、AE、DE，且∠AED＝90°。
（1）如图①，如果AB＝6,BC＝16,且BE:CE＝1:3，求AD的长。
（2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明。
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3.1.2 圆周角
一、自学导航
1.顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做 。
2.一条弧所对的圆周角等于它所对的
。
3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，反之亦成立。
4、直径或半圆所对的圆周角是 ，反之，90°的圆周角所对的弦是 ，所对的弧是 。
二、问题探究
如图1，圆心角∠BOC和圆周角∠BAC是什么关系？图2呢？图3呢？
你能从中得出什么结论。你能利用这三个图形证明你的结论吗？
三、综合运用
1．如图3—15，已知是⊙O的圆周角，，则圆心角 HYPERLINK "http://" 是（ ）
A． B. C. D.
2．如图3-16，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A． 45° B． 60°
C． 75° D． 90°
图3—15
3．圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ）
A． 30° B． 150°
C． 30°或150° D． 60°
4．如图3—17，A、B、C都在圆上，∠AOB＝100°，则∠ACB＝ 。
5．如图3—18，是⊙O的直径，点都在⊙O上，若∠C＝∠D＝∠E,
则 °。
6．如图3—19，已知⊙O中，，，则⊙O的半径为 ．
7、如图3—20，点在以为直径的上，，则的长为 ．
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8．如图3—21， AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝35 ，求∠BOC的度数。
图3—21
9．如图3—22，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．
（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．
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10、如图3—23，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若AD＝2，⊙O的半径为3，求BC的长．
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图3—23
3.1.3 过不在同一直线上的三点作圆
一、自学导航
1. 确定一个圆。
2.经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的 。该圆的圆心叫做这个三角形的 ，这个三角形叫做该圆的
。
3.三角形的外心是它 的交点，它到 的距离相等。
二、问题探究
1、过已知点A作圆，可以做多少个？
2、过已知点A、B作圆，又可以做多少个？这些圆的圆心在哪儿？
3、过已知点A、B、C作圆，可以作多少个圆？
三、综合运用
1．下列关于确定一个圆的说法正确的是（ ）
A．经过三个点一定能确定一个圆 B．以已知线段作为半径一定能确定一个圆
C．以已知线段作为直径一定能确定一个圆 D．经过菱形的四个顶点一定能确定一个圆
2．下列命题中，正确的个数有（ ）
①钝角三角形没有外心；②多边形没有外接圆；③三角形的外心到三个顶点的距离相等；
④无论什么形状的三角形，都一定有外接圆．
A． 1个 B． 2个
C． 3个 D． 4个
3．以下四边形中，一定有外接圆的是（ ）
A． 矩形 B． 菱形
C． 梯形 D．对角线相等的四边形
4．如图3—24，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO的度数是( )
A． 15° B． 30°
C． 45° D． 60°
5．如图，⊙ 是△的外接圆，是⊙的直径，若⊙的半径为，， 则的值是 （ ）
A． B．
C． D．
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图3—24 图3—25
6．一个三角形有___________个外接圆，一个圆有___________个圆内接三角形．
7．三角形的三边分别为3，4，5，则此三角形外接圆的直径是_________．
8．⊙O的内接△ABC中，弧AB、BC、CA的度数之比为2∶3∶5，则∠A＝_________．
9．如图3—26，等腰三角形ABC内接于半径为5的⊙O，AB＝AC，且tanB＝。
（1）求BC的长；
（2）求AB边上的高
10．如图3—27，P是△ABC的 ( http: / / www.21cnjy.com )外接圆弧AB上的一点，∠APC＝∠BPC＝60°,写出图中相等的角，并写出图中线段之间的关系（不包括比例线段）
11．如图3—28，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E．
（1）∠E＝ 度；
（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；
（3）求弦DE的长．
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图3—28
3.2.1 点、直线和圆的位置关系
一、自学导航
1.直线和圆有且只有三种位置关系，分别是 、 、 。
2.完成下列表格：
直线与圆位置关系 相离 相切 相交
圆心到直线距离d与半径r的关系 d>r
直线的名称 割线
直线与圆公共点的名称 无
二、问题探究
如图，圆O的半径为r ,直径所在直 ( http: / / www.21cnjy.com )线为AB，用一根直尺，使它一边贴着直线AB，然后把直尺慢慢向下平移，观察圆心O到直尺边缘的距离d与半径r的关系。
三、综合运用
1．如图3—29，半径为3cm的⊙O切AC于B，AB＝3cm,BC＝cm,则∠AOC的度数是（ ）
A、 45° B、 60°
C、 75° D、 90°
图3—29
2．已知直线m上一点P与⊙O圆心O之间的距离为5cm，⊙O的半径为3cm，则直线m与⊙O的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．相交、相切、相离都有可能。
3. ⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长为3，以3为半径的同心圆与AB的位置关系是（ ）
A． 相离 B． 相切
C． 相交 D． 无法确定
4．如图3—30，在平面直角坐标系中，⊙A与 ( http: / / www.21cnjy.com )y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是(—4，—2)，则点N的坐标为（ ）
A． B． C． D．
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图3—30
5.已知的半径，圆心到直线的距离为，当时，直线与的位置关系是（ ）
A． 相交 B． 相切
C． 相离 D． 以上都不对
6．点P到圆心O的距离d与半径r满足d＝r,则点P 圆上。（填在或不在）
7. Rt△ABC的斜边A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝6厘米，直角边AC＝3厘米，以C为圆心，2厘米为半径的圆和AB的位置关系是 ，4厘米为半径的圆和AB的位置关系是 ，若和AB相切，那么半径长为 。
8. ⊙O内最长弦的长为m，直线n与⊙O相离，设点O到n的距离为d，则d与m的关系是____________.
9．如图3—31，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝13，AB＝5，O是AB上的点，以O为圆心，OB为半径作⊙O。
1）当OB＝2.5时，⊙O交AC于点D，求CD的长；
2）当OB＝2.4时，AC与⊙O的位置关系如何？
试说明你的结论。
10. 如图3—32所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，一只船以每小时40海里的速度从A点出发向东航行，一开始就发现一小岛B在A的北偏东60°的方向，半小时后到达C点，发现B在北偏东30°的方向，而且发现B的周围18海里内布满礁石群，问：船若沿原航向继续前进有无危险？如有危险，从C点出发至少还有多少时间；若无危险，请说明理由。
图3—32
3.2.2 圆的切线的判定、性质和画法
一、自学导航
1.圆的切线的判定定理：经过半径的 ，并 这条半径的直线是圆的切线。
2.圆的切线的性质定理：圆的切线
。
3.经过切点且垂直于切线的直线必过 。
4.经过直径两端点的切线互相 。
二、问题探究
1、画一个⊙O和它的一条半径OA，过点A作直线m与OA垂直，如下图：
此时，d＝r吗？直线m与⊙O相切吗？
2、如上图，直线m与⊙O相切，切点为A，连接OA，探究：直线m与半径OA垂直吗？
三、综合运用
1．若r＝5，d＝3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A． 相交 B． 相切
C． 相离 D． 无法确定
2．如图3—33，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝70°，则∠BAC＝（ ）
A、70° B、60° C、30° D、20° ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
（图3—33） ( 图3—34)
3．如图3—34，是圆的直径，是圆的切线，为切点，连结交圆于点，连结，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图3—35，是的直径，是的切线，点在上，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
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图3—35
5. 如图3—36，PA切⊙O于点A,PA＝4,OP＝5,则⊙O的半径是____.
6．如图3—37，已知AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，AC＝AB＝2，则BC＝_____.
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（图3—36） （图3—37）
7．如图3—38，已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，PA＝4，∠APB＝80°，则PB＝_____，∠APO＝___度.
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（图3—38） 图3—39
8．如图3—39，以O为圆心的两个同心 ( http: / / www.21cnjy.com )圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10cm，小圆半径为6cm，则弦AB的长为 cm．
9.如图3—40，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .
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图3—40
10．如图3—41,Rt△ABC中,∠C＝90°, AC＝3cm，BC＝4cm,
1）求AB边的高；
2）以点C为圆心,2.4cm为半径的圆与AB有怎样的位置关系
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（图3—41）
11．如图3—42，已知：AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过C作直线MN，AD⊥MN于D，且AC平分∠BAD．求证：MN与⊙O相切.
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（图3-42）
3.2.3 三角形的内切圆
一、自学导航
1.与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ,
这个三角形叫做圆的 。
2.三角形的内心是这个三角形的三条
的交点，它到 的距离相等。
3.若直角三角形的二条直角边长为a,b,斜边长为c，则它的内切圆半径 。
二、问题探究
1、如图，想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板，应当怎样剪？
2、如图，直角三角形ABC中，直角边长为a,b,斜边长为c，则它的内切圆半径r与a、b、c是什么关系？请将探究过程写出来。
三、综合运用
1．下列命题正确的是（ ）
A．三角形的内心到三角形三顶点的距离相等 B．等边三角形的内心，外心重合
C．三角形的内心不一定在三角形的内部 D．一个圆一定有唯一一个外切三角形
2. 如图3—43，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝（ ）
A．70° B．110°
C．120° D．130°
3.一个钢管放在V形架内，图3—44是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm，∠MPN ＝ 60，则OP ＝( )
A．50 cm B．25cm C．cm D．50cm
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（图3—43） （图3—44）
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ）
A．1.5，2.5 B．2，5
C．1，2.5 D．2，2.5
5. 如图，．
则△ABC的内切圆半径______．
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（图3—45） （图3—46）
6．如图3—46，△ABC中，∠A＝45°，I是内心，则∠BIC＝ 。
7．如图3—47，在△ABC中，AB＝AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．
（1）求证：BF＝CE；
（2）若∠C＝30°，CE＝2 HYPERLINK "http://www./" ，求AC的长．
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（图3—47）
8．如图3—48，△ABC中，∠A＝m°．
（1）如图（1），当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数；
（2）如图（2），当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数；
（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．
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（图3—48）
3.3 圆与圆的位置关系
一、自学导航
1.两个圆的位置关系有七种情况： 、
、 、 、 、
同心圆和重合。
2.两个圆的圆心之间的距离叫做 ，用d表示。
3.当两圆外切时，d＝r1+r2，当两圆内切时，
d＝ ，当两圆相交时，d＝ 。
4.两圆想切时， 必在连心线上；两圆相交时，连心线 公共弦。
5.同时与两个圆相切的直线叫做两圆的
。
二、问题探究
用纸板剪两个圆，将右边的圆固定，左边的圆按照从左至右的顺序运动，探究两个圆不同的位置关系，并观察两圆之间的圆心距与两圆半径之间的关系。
三、综合运用
1．图3—49是一张卡通图，图中两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外离
C．内切 D．内含
2.若半径为7和9的两圆相切，则这两圆的圆心距长一定为（ ）.
A 16 B 2
C 2或16 D 以上答案都不对
3．若两圆半径为7和5，圆心距为5，则两圆的公切线的条数是（ ）.
A 2条 B 3条
C 4条 D 5条
4．若两圆既有外公切线，又有内公切线，半径为R和r，圆心距为d，则下面各式中一定正确的是（ ）.
A d＜R+r B d≤R+r
C d＞R+r D d≥R+r
5. 若⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1和⊙O2的半径分别为2和，公共弦长为2，∠O1AO2的度数为（ ）.
A B 或
C 或 D
6.如图3—50，把⊙O1向右平移8个单位长度得⊙O2，两圆相交于A.B，且O1A⊥O2A，则图中阴影部分的面积是
A. 4π-8 B. 8π-16
C. 16π-16 D. 16π-32
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图3—50
7．两圆半径分别是9和12,两圆的圆心距是26,则两圆的位置关系是_________.。
8. 两圆的半径比是5:3,外切时圆心距是32cm的,当两圆内切时,圆心距为________cm.。
9. 若两圆的半径分别为2cm和7cm,圆心距为13cm,则两圆的一条外公切线的长是______cm.
10.如图3—51，.的圆心A.B在直线上，两圆的半径都为1cm，开始时圆心距，现.同时沿直线以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，运动的时间为 秒．
图3—51
11．如图3—52，在以O为圆心的两个 ( http: / / www.21cnjy.com )同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A.与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．
(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
(2)试判断线段AC.AD.BC之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π） ( http: / / www.21cnjy.com )
图3—52
9.已知：如图3—53，⊙O1与⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O2外切于P，AC是过P点的割线交⊙O1于A，交⊙O2于C，BC切⊙O2于C，过点O1作直线AB交BC于B.求证：AB⊥BC.
3.4.1 弧长和扇形的面积
一、自学导航
1.在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧 。
2.半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为 。
3. 半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S为 。
二、问题探究
1、探究半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长与圆的周长的关系：
2、探究半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S与圆的面积的关系：
三、综合运用
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）．
A．3 B．4
C．5 D．6
2．已知扇形的半径为3，扇形面积为 ，则扇形的圆心角为（ ）
A、90° B、150°
C、120° D、 180°
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
(图3—54) (图3—55)
3．如图3—54，实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ）
A．12m B．18m
C．20m D．24m
4．如果一条弧长等于R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______，
当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．
5．如图3—55所示，OA＝3OB，则弧AD的长是弧BC的长的_____倍．
6.如图3—56，圆上有A、B、C、D四点，其中BAD＝80。若、的长度分别为7、11，则的长度为（ ）
A 4 B 8
C 10 D 15
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图3—56
7.如图3—57，△ABC是直角边长为a ( http: / / www.21cnjy.com )的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是
A． B．
C． D．
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图3—57
8. 如图3—58，有一长为4cm ( http: / / www.21cnjy.com )，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的顶点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A2C与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长为（ ）
A．10cm B．35cm
C．45cm D．25cm
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图3—58
8. 为庆祝祖国六十华诞，某单位排练的节目需用到如图所示的扇形布扇，布扇完全打开后，外侧两竹条、夹角为，的长为，贴布部分的长为，则贴布部分的面积约为__________．（取3）
( http: / / www.21cnjy.com )
9．如图3—59，若⊙O的周长为20cm，⊙A、⊙B的周长都是4cm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？
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(图3—59)
10．已知如图3—60所示，弧AB所在圆的半径为R，弧AB的长为R，⊙O′和OA、OB分别相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长以及扇形OAB的面积。（用R表示）
( http: / / www.21cnjy.com )
(图3—60)
3.4.2 圆锥的侧面积和全面积
一、自学导航
1.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形，其底面是一个 。
2.圆锥可看成是一个直角三角形绕它的一条
边所在直线旋转一周形成的图形。
3. 把圆锥沿着一条母线剪开，它的侧面可以展开成一个 ，这个图形的面积叫做圆锥的侧面积。
4.若圆锥母线长为b，底面半径为r，则圆锥侧面积计算公式为 ；圆锥全面积计算公式为 。
二、问题探究
1、如图，请将圆锥沿着它的一条母线剪开，得到什么图形，怎样计算这个展开图形的面积？
2、将下面直角三角形ABC分别绕它的直 ( http: / / www.21cnjy.com )角边AC、BC所在直线旋转一周，可以得到两个什么图形？若AC＝4，BC＝3，分别计算这两个图形的侧面积。
三、综合运用
1．已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为（ ）
A、 B、
C、 D、无法计算
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝1，以AC为轴旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的全面积等于（ ）
A、 B、
C、 D、
3．把一个半径为15cm的圆形铁片分成三个全等的扇形，用其中一个扇形做成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）
A、15cm B、cm
C、10cm D、5cm
4. 如图3—61，扇形的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ ）
A． B. C． D．
图3—61
5. 若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是
A 40° B 80°
C 120° D 150°
6．高为h，底面半径为r的圆柱体的侧面积是 ，全面积是 。
7. 圆锥母线长为a，底面半径为r，则圆锥的侧面积是 ，全面积是 。
8．圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的底面半径是 。
9．已知一圆锥的侧面积是cm2,圆锥的侧面展开图的扇形的弧长cm，则展开图扇形的圆心角所对的弦长是 。
10. 如图3—62，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留）．
图3—62
11. 如图3—63将绕点逆时针旋转到使在同一直线上，，，则图中阴影部分面积为 cm2．
8．如图，一个圆柱和一个圆锥的组合体，底面半径为2cm，圆柱和圆锥的母线长均为6cm，求这个几何体的表面积。
12．一个圆锥的高是12cm，侧面展开后为半圆，求这个圆锥的侧面积和全面积。
13. 如图3—64，圆心角都是90 的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若图中阴影部分的面积是，OA＝2cm，求OC的长．
图3—64
3.5 平行投影和中心投影
一、自学导航
1.物体在光线照射下，会在地面留下它的影子，把物体映成它的影子叫做 。
2.平行光线下的投影称为 ；从点光源发出的光线下的投影叫做 。
3. 我们一共学习了六种变换，它们是：
、 、 、位似变换、
相似变换、投影。
二、问题探究
1、探究：
一个与地面平行的圆盘，在与地面垂直的太阳光线照射下，影子是什么形状？还会是圆盘形状吗？
一根电线杆，当太阳光线与地面垂直时，它的影子是什么形状？当太阳光线与地面倾斜时，它的影子是什么形状
2、平行投影会改变物体形状吗？中心投影呢？比较投影与平移、轴反射、旋转等变换的区别？
三、综合运用
1．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小华的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A、小明的影子比小华影子长；
B、小明的影子比小华影子短；
C、小明的影子和小华影子一样长；
D、无法判断
2．小华拿一个矩形木框在阳光下玩耍，则木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
A、等腰梯形 B、 一条线段
C、矩形 D、平行四边形
3．某数学活动小组测量旗杆的高度，在同一时刻测得身高为1.5米的小明的影长为1米，旗杆的影长为8米，则旗杆的高为（ ）
A、8米 B、12米
C、5.3米 D、10.5米
4．物体在路灯灯光照射下影子的长短跟物体与路灯的 有关，影子的方向与路灯的 有关。
5．甲乙两人在太阳光下行走，同一时刻他们的身高与影长 ；若甲的身
高为1.75米，乙的身高为1.7米，甲的影长为2.0米，则乙的影长为 米。
6．如图3—65，这是圆桌上方 ( http: / / www.21cnjy.com )的一个灯泡（看做一点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成的阴影，已知桌面直径为1.2米，桌面距地面1米，灯泡距地面3米，则地面上阴影部分的面积为 。
图3—65
7. 如图3—66，（1）是某公司的图 ( http: / / www.21cnjy.com )标，它是由一个扇环形和圆组成，其设计方法如图（2）所示，ABCD是正方形，⊙O是该正方形的内切圆，E为切点，以B为圆心，分别以BA.BE为半径画扇形，得到如图所示的扇环形，图（1）中的圆与扇环的面积比为 。
( http: / / www.21cnjy.com )
8．如图3—67，小文站在30米高的塔上远眺前方的 广场，在离塔10米处有高5米的障碍物，求离塔多少米的范围内是小文的盲区。
图3—66
问题背景 如图3—67，在某次活动课中，甲 ( http: / / www.21cnjy.com )、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.
乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm.
丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm.
任务要求
（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；
（2）如图3，设太阳光线与相切于点.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段的影长；需要时可采用等式）.
图3—67
3.6 三视图
一、自学导航
1. 一个几何体的三视图是指 、
、 。
2.画几何体的三视图一般遵循“三等规则”，即 ， ， 。
3. 由若干个多边形围成的几何体叫做
，一个多面体如果有两个面互相平行，那么称这个多面体为 ，棱柱有
与 两类。
二、问题探究
如图，有一个底面半径为3cm，高为4cm的圆柱体，请你按照三等规则画出这个圆柱体的三视图。
主视图： 左视图：
俯视图：
三、综合运用
1． 如图3—68是某一立体图形的三视图，则这个立体图形是（ ）
A、正三棱柱 B、三棱锥
C、圆柱体 D、圆锥
图3—68
2. 三棱柱的左视图不可能是（ ）
A、长方形 B、正方形
C、三角形 D、圆
3．某几何体的主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是一个标有圆心的圆，则这个几何体可能是 。
4．请写出主视图、左视图和俯视图都一样的立体图形（至少两个） 、 。
5．画出底面半径为2cm，高为4cm的圆锥体的三视图。
主视图： 左视图：
俯视图：
6．用小正方体搭一个几何体，它的主视图和俯视图如图3—69所示，最多要多少个小正方体？最少呢？
SHAPE \* MERGEFORMAT HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
图3—69
7．如图3—70，圆柱高20cm，底面半径5cm，一只虫子从圆柱上A点处,绕圆柱爬到B处.你能说出它爬行的最短路线吗
SHAPE \* MERGEFORMAT HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
图3—70
如图3—71是一个几何体的三视图。
（1）写出这个几何体的名称；
（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积；
（3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程。
第三章《圆》单元自测题
(时间90分钟 满分100分)
一、选择题：(每小题3分,共30分)
1．下列命题中，错误的是（ ）
A、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；
B、相等的两个角是对顶角。
C、全等的两个三角形必定相似；
D、到圆心的距离等于半径的点在圆上；
2．如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB＝20,CD＝16,那么线段OE的长为 ( )
A 10. B 8. C 6. D 4.
3．已知点O为△ABC的外心，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B．80° C．160° D．120°
4．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠OBC的度数为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．70°
5、已知⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD,AB＝6cm,CD＝8cm,则AB与CD的距离是（ ）
A. 1cm B. 7cm C. 1cm或7cm D. 无法判断
6．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B＝60°，则∠A等于（ ）
A．80° B．50° C．40° D．30°
7．如图，P为⊙O外一点，P ( http: / / www.21cnjy.com )A、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
8．已知圆锥的侧面积是，底面半径是，则这个圆锥的母线长是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
9、已知⊙O的半径为4cm，A为线段OP的中点，当OP＝7cm时，点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．不能确定
10．如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD＝13，PC＝4，则两圆组成的圆环的面积是（ ）
A．16π B．36π C．52π D．81π
二、填空题(每小题3分,共30分)
11．如图，在⊙O中，弦AB等于⊙O的半径，OC⊥AB交⊙O于点C，则∠AOC＝ 。
12．如图，AB、AC与⊙O相切于点B、C，∠A＝50゜，P为⊙O上异于B、C的一个动点，则∠BPC的度数为 。
13．已知⊙O的半径为2，点P为⊙O外一点，OP长为3，那么以P为圆心且与⊙O相切的圆的半径为 。
14．若圆锥的母线长为，底面半径为，则圆锥的侧面展开图的面积是 ．
15、已知两圆半径分别为1与5，圆心距为4，则这两圆的位置关系是 。
16．扇形的弧长为20πcm，面积为240πcm2，则扇形的半径为 cm。
17．如图，已知∠AOB＝30°，M为 ( http: / / www.21cnjy.com )OB边上一点，以M为圆心，2cm长为半径作⊙M，若点M在OB边上运动，则当 OM＝ cm时，⊙M与OA相切。
18．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为 。
19．如图，已知圆内接五边形中，对角线是⊙O的直径，，是AD的中点，则的面积是 ．
20．有一个边长是的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，则这个圆形纸片的最小半径是____________．
三、解答题：(共40分)
21．（10分）如图8是不倒翁的正视图 ( http: / / www.21cnjy.com ),不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相切于点A、B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O,若∠OAB＝25°,求∠APB的度数.。
22．（10分）如图22，已知⊙O的半径为8cm，点A为半径OB的延长线上一点，射线AC切⊙O于点C，弧BC的长为，求线段AB的长。
23、（10分）如图23，已知△ABC内接于⊙O,AB是直径，D是BC的中点，连接DO并延长到F使AF＝OC.
(1)写出途中所有全等的三角形（不用证明）；
(2)探究：当∠1等于多少度时，四边形OCAF是菱形？请回答并
给予证明.
24、（10分）如图，点在圆上，弦的延长线与弦的延长线相交于点．
给出下列三个条件：
①是圆的直径；
②是的中点；
③．
请在上述条件中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明．
条件： ．
结论： ．
证明：
D
A
B
C
D
E
F
O
D
E
B
A
C
3-8
3-10
O
D
B
A
C
O
3-9
P
D
C
B
A
C
B
A
O
O
P
B
A
图3-13
O
P
B
A
C
图3-14
D
C
A
B
B
C
O
A
O
图2
图1
A
B
O
C
D
图3
图3—16
3—12
A
B
O
C
图3—17
3—18
·A
·B
·A
·B
·C
·A
A
B
C
O
图3—26
A
B
P
D
C
图3—27
A
B
图3—31
O
m
A
a
b
c
d
r1
r2
图3—49
A
B
l
图3—53
h
l
r
A
B
C
30°
C
B
A
30°
（3—63）
图3—66
D
D
F
E
900cm
2
B
C
A
60cm
80cm
1
G
H
NE
156cm
ME
OE
200cm
3
KE
3cm
4cm
主视图
俯视图
图3—71
7题图
10题图
4题图
6题图
11题图
12题图
B
A
（第19题图）
O
C
D
E
17题图
22题图