赤峰市名校2023届高三下学期5月高考考前冲刺训练理科数学试题
理科数学
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，，又
故
故选：A
2．设i为虚数单位，且，则的虚部为（ ）
A． B．2 C．2i D．
【答案】B
【详解】由可得：，
则，所以的虚部为2.
故选：B.
3.转子发动机采用三角转子旋转运动来控制压缩和排放．如图，三角转子的外形是有三条侧棱的曲面棱柱，且侧棱垂直于底面，底面是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆构成的曲面三角形，正三角形的顶点称为曲面三角形的顶点，侧棱长为曲面棱柱的高，记该曲面棱柱的底面积为，高为，已知曲面棱柱的体积，若，，则曲面棱柱的体积为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】：扇形的面积，，
则底面积，所以曲面棱柱的体积，故选：
4．已知函数的图象关于对称，当的最小正周期取得最大值时，距离原点最近的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由已知得，即，
当时，最小，且为，则最大，
此时，其对称中心的横坐标为，
当时，函数的图象上距离原点最近的对称中心为．
故选：D．
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，
所以，
所以.
故选：D.
6．如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面平面 B． C． D．平面
【答案】C
【详解】解：对于A选项，由分别为所在棱的中点得，由正方体的性质易知，平面，平面，
所以，，，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面，故A选项正确；
对于B选项，为下底面的中心，故为的中点，
因为为所在棱的中点，所以，故B选项正确；
对于C选项，若，由B选项知，则有，
令一方面，由正方体的性质知为直角三角形，，
所以，不满足，故C选项错误；
对于D选项，由A选项知，由正方体的性质易知，
所以，平面，平面，
所以平面，故D选项正确.
故选：C
7．执行如图示的程序框图，输出的的值等于
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：模拟程序框图的执行过程知，该程序执行后输出
S＝tan1tan2+tan2tan3+…tan100tan101的值；
tan（2﹣1），
∴tan1tan22，
同理tan2tan31，
…；
∴S＝（2）+（1）+…+（1）
＝（）+（﹣2﹣1﹣…﹣1）
101．
故选：A．
8．设等比数列中，使函数在时取得极值，则的值是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【详解】由题意知：，
在处取得极值，，
解得：或；
当，时，，
在上单调递增，不合题意；
当，时，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
是的极小值点，满足题意；
，又与同号，.
故选：D.
9．在中，已知，，，当取得最小值时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设，，，，，
在中，，在中，，
,，，
设，，
，，
，，
，
当时，取得最小值，，，
又，
在中，.
故选：D.
10．已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，令，
则
，则M.
如图，当三点共线时，且垂直于直线时，有最小值，为，即直线到点M距离，为.
故选：D
11．如图，椭圆的左焦点为，右顶点为A，点Q在y轴上，点P在椭圆上，且满足轴，四边形是等腰梯形，直线与y轴交于点，则椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题意，做轴于点，
因为四边形是等腰梯形，则，
则点的横坐标为，代入椭圆方程，
可得，即，
因为，则，
由，则，
化简可得，，同时除可得，
即，
对于
当时，，当时，，
在时，方程有根，
且，故应舍，所以.
故选:D
12．设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A． B． C．， D．
【答案】A
【详解】C：由，则，则，
又，所以，令得，即.
所以，所以函数的图象关于对称，
而，，则的图象关于对称，错；
A：为奇函数，则关于对称，且，
∴，，，，∴.
又，∴，
∴的周期，
∴，对；
D：因为，所以，
所以，错；
B：，错.
故选：A
注意：利用导数得，结合已知得到，进而求其周期和对称性，应用周期和对称性求、、的值.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为________．
【答案】96
【详解】由题知先安排甲、乙、丙、丁四位同学的2名选择数学竞赛课程，
则有：种情况，
剩下2名同学在选择物理、化学、生物、信息学四个学科竞赛课程时有：
①2名同学选择1个学科竞赛则有：种情况，
②2名同学各选择1个学科竞赛则有种情况，
所以恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为：
种情况，
故答案为：96.
14.规定：设函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】函数，
当时，，
当时，，
时，，在上单调递增，
则有或，
解得，当时，有解；
或，当时，有解.
实数的取值范围是.故答案为：
15．设为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别是，若双曲线的离心率为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，则______．
【答案】
【详解】双曲线的离心率，，，
双曲线渐近线为：，
不妨设在上，如下图所示，
，，则，
在中，，
在中，由余弦定理得：，
，.故答案为：.
16．已知函数，，若时，恒成立，则实数的取值范围是____.
答案：
【详解】，则，
则时，，单调递增.
时，恒成立，即恒成立，
则在上恒成立，
则即在上恒成立，
令，，则
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
则当时取得最小值，则
则实数的取值范围是
故答案为：
三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共60分
17．（12分）已知数列满足，且，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，，．证明：．
【答案】(1)证明见解析，；(2)证明见解析.
【详解】（1）由得：，整理为：，
所以为等差数列，公差，首项为；
所以，整理为，经检验，符合要求.
（2）由（1）得：，，
∴，
∴，即．
18.（12分）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，此次大会是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.在树人中学团委的组织下，高二年级各班团支部举行了“学习二十大，做有为青年”的知识竞赛活动，经过激烈竞争，高二（1）班（以下简称一班）和高二（3）班（以下简称三班）进入了最后的年级决赛，决赛规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从A，B两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，A题库每题20分，B题库每题30分，一班能正确回答A、B题库每题的概率分别为、，三班能正确回答A、B题库每题的概率均为，且每轮答题结果互不影响.
(1)若一班前两轮选A题库，后三轮选B题库，求其总分不少于100分的概率；
(2)若一班和三班在前两轮比赛中均选了B题库，而且一班两轮得分60分，三班两轮得分30分，一班后三轮换成A题库，三班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为X，求X的分布列，并从每班总分的均值来判断，哪个班赢下这场比赛？
答案：(1)(2)分布列见解析，一班赢下这场比赛
【详解】（1）由条件知，若一班在前两轮得20分，后三轮得90分，总分为110分，
其概率为，
若一班在前两轮得40分，后三轮得60分或90分，总分为100或130分，
其概率为，
于是一班总分不少于100分的概率为；
（2）由条件知，随机变量X可能取值为60，80，100，120，
，，
，．
所以X的分布列为：
X 60 80 100 120
P
，
设三班最后的总分为Y，Y可能取值为30，60，90，120，
，，
，，
的分布列：
，
因为，所以从总分的均值来判断，一班赢下这场比赛.
19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，为棱的中点，是棱上一点，且．
(1)证明：平面；
(2)若，直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，设E，F分别为棱PB和PC的中点，连接AE，EF，FD，
则，且，
又，，所以，且，
所以四边形ADFE为平行四边形，故，
因为，E为棱PB的中点，所以，
又M为棱AP的中点，所以，故，
又平面PDC，平面PDC，所以平面PDC；
（2）设，所以，
又，所以，所以，所以和为等边三角形，
设O为棱CD的中点，连接OP，OB，故，
又，，，平面POB，平面POB，
所以平面POB．又平面ABCD，所以平面平面ABCD，
故直线PB与平面ABCD所成的角为，所以，
又，所以，
综上OP，OB，OC两两垂直，以为坐标原点，以OB，OC，OP分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则，，，，
因为，所以，
又为棱的中点，则，
所以，，，
设为平面MCD的法向量，
则,即，令，可得，
设为平面BMD的法向量，
则，即，令，可得，
所以，
故平面BMD与平面MCD夹角的余弦值为..
20．已知椭圆，离心率，左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)M，N，A，B为椭圆上不同的四点，且均与椭圆右顶点P不重合，，，，证明：直线MN和直线AB的交点在一个定圆上．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【详解】（1）由，，
三角形面积，
解得，，
所以椭圆C的方程为．
（2）由（1）得，设，，，，
直线，．
联立
消去y整理得，
方程的判别式，
则，
因为，所以，
所以，
所以，
整理得．若，则，
则直线MN过定点，与题意矛盾；
若，则，则直线MN过定点．
同理可得
又因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
整理得．
若，则，则直线AB过定点，与题意矛盾；
若，则，则直线AB过定点．
又因为，所以，
所以直线AB与MN的交点在以和所连线段为直径的定圆上．
方法二：设，，，，
直线，．
椭圆方程变形为，
直线变形为，
代入椭圆方程得，
即，
左右两边同时除以得，，
则，为方程的两个根，则，
所以，直线MN过定点．
同理可得，
则，为方程的两个根，则，
所以，
直线AB过定点．
又因为，所以，
所以直线AB与MN的交点在以和所连线段为直径的定圆上．
21．已知函数
(1)若，求不等式的解集；
(2)若存在两个不同的零点，，证明：.
【答案】(1);
(2)详见解析.
【详解】（1）令，的定义域为，
则，所以在上单调递增.
因为，所以当时，，当时，，
所以原不等式的解集为.
（2）证明:，令，易知在上单调递减，且.
当时，，此时单调递增;
当时，，此时单调递减.
所以.
因为函数存在两个不同的零点，所以，即，由图可知，
由题意知，
所以，
两式相减得.
所以等价于
，
也等价于.
因为，所以由(1)的解题过程知……①
……②
因为，所以，
即……③
①+②+③得，
所以.
注意：本题难点在零点的转化应用：由的零点为得：
（1），两式相减得，使用此时代入消去.
（2）由得 即，使用此时代入消去.
本题中两次对零点的使用都富有创新性.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线都过极点.
(1)分别写出半圆，圆的极坐标方程；
(2)直线与曲线分别交于两点（异于极点），求的面积.
【答案】(1)：，：(2)
【详解】（1）曲线是以为圆心的半圆，
所以半圆的极坐标方程为，
曲线以为圆心的圆，转换为极坐标方程为.
故半圆，圆的极坐标方程分别为：，
（2）由（1）得：.
点到直线的距离.
所以.
故的面积为：
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知，
(1)当时，解关于的不等式；
(2)若对，都有成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）当时，
当时，，∴
当时，，无解．
当时，，∴
综上不等式的解集为
（2）由已知
∵，
∴
∴等价于或，
解得或．赤峰市名校2023届高三下学期5月高考考前冲刺训练理科数学试题
理科数学
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设i为虚数单位，且，则的虚部为（ ）
A． B．2 C．2i D．
3.转子发动机采用三角转子旋转运动来控制压缩和排放．如图，三角转子的外形是有三条侧棱的曲面棱柱，且侧棱垂直于底面，底面是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆构成的曲面三角形，正三角形的顶点称为曲面三角形的顶点，侧棱长为曲面棱柱的高，记该曲面棱柱的底面积为，高为，已知曲面棱柱的体积，若，，则曲面棱柱的体积为
A． B． C． D．
4．已知函数的图象关于对称，当的最小正周期取得最大值时，距离原点最近的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面平面 B． C． D．平面
7．执行如图示的程序框图，输出的的值等于
A． B． C． D．
8．设等比数列中，使函数在时取得极值，则的值是（ ）
A．或 B．或 C． D．
9．在中，已知，，，当取得最小值时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，椭圆的左焦点为，右顶点为A，点Q在y轴上，点P在椭圆上，且满足轴，四边形是等腰梯形，直线与y轴交于点，则椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
12．设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A． B． C．， D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为________．
14.规定：设函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．
15．设为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别是，若双曲线的离心率为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，则______．
16．已知函数，，若时，恒成立，则实数的取值范围是____.
三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共60分
17．（12分）已知数列满足，且，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，，．证明：．
18（12分） 2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，此次大会是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.在树人中学团委的组织下，高二年级各班团支部举行了“学习二十大，做有为青年”的知识竞赛活动，经过激烈竞争，高二（1）班（以下简称一班）和高二（3）班（以下简称三班）进入了最后的年级决赛，决赛规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从A，B两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，A题库每题20分，B题库每题30分，一班能正确回答A、B题库每题的概率分别为、，三班能正确回答A、B题库每题的概率均为，且每轮答题结果互不影响.
(1)若一班前两轮选A题库，后三轮选B题库，求其总分不少于100分的概率；
(2)若一班和三班在前两轮比赛中均选了B题库，而且一班两轮得分60分，三班两轮得分30分，一班后三轮换成A题库，三班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为X，求X的分布列，并从每班总分的均值来判断，哪个班赢下这场比赛？
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，为棱的中点，是棱上一点，且．
(1)证明：平面；
(2)若，直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．
20．已知椭圆，离心率，左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)M，N，A，B为椭圆上不同的四点，且均与椭圆右顶点P不重合，，，，证明：直线MN和直线AB的交点在一个定圆上．
21.（12分）已知函数
(1)若，求不等式的解集；
(2)若存在两个不同的零点，，证明：.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线都过极点.
(1)分别写出半圆，圆的极坐标方程；
(2)直线与曲线分别交于两点（异于极点），求的面积.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知，
(1)当时，解关于的不等式；
(2)若对，都有成立，求的取值范围．
