证明三角形全等的常见题型
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证明三角形全等的常见题型
全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。
一、已知一边与其一邻角对应相等
1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。
例1 已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。
证明 ∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。
在△ABF和△DCE中，
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∴ △ABF≌△DCE（SAS）。
∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。
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2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。
例2 已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。求证：AE=CE。
证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。
在△ADE和△CFE中，
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∴ △ADE≌△CFE（ASA）.
∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）
3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。
例3 （同例2）.
证明 ∵ FC∥AB（已知），
∴ ∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.
在△ADE和△CFE中，
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∴ △ADE≌△CFE（AAS）.
∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。
二、已知两边对应相等
1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。
例4 已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。求证： △ABD≌△ACE.
证明 ∵∠1=∠2（已知），
∠ADB=180°-∠1，
∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），
∴∠ADB = ∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
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∴ △ABD≌△ACE（SAS）.
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2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。
例5 已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN， BM=DN。求证： AM∥CN，BM∥DN。
证明 ∵ AC=BD（已知）∴ AC+BC+BC，
即 AB=CD.
在△ABM和△CDN中，
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∴ △ABM≌△CDN（SSS）
∴ ∠A=∠NCD，∠ABM=∠D（全等三角应角相等），
∴ AM∥CN，BM∥DN（同位角相等，两直行）。
三、已知两角对应相等
1．证两已知角的夹边对应相等，再用ASA证全等。
例6 已知：如图5，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE.求证： AB=DE， AC=DF.
证明 ∵ FB=CE（已知）
∴ FB+FC=CE+FC， 即 BC=EF，
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∴ △ABC≌△DEF（ASA）.
∴ △AB=DE，AC=DF（全等三角形对应边相等）
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2．证一已知角的对边对应相等，再用AAS证全等。
例7 已知：如图6，AB、CD交于点O，E ( http: / / www.21cnjy.com )、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF. 求证：△ACE≌△BDF.
证明 ∵OA=OB，OE=OF已知），∴OA-OE=OB-OF，即 AE=BF，
在△ACE和△BDF中，
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∴ △ACE≌△BDF（AAS）.
四、已知一边与其对角对应相等，则可证另一角对应相等，再利用AAS证全等
例8 已知：如图7，在△ABC中，B、D、E、C在一条直线上，AD=AE，∠B=∠C．
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证：△ABD≌△ACE.
证明∵AD=AE（已知）
∴∠1=∠2（等边对等角），
∵ ∠ADB=∠180°-∠1，
∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），
∴ ∠ADB=∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
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∴△ABD≌△ACE（AAS）.
全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。
一、已知一边与其一邻角对应相等
1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。
例1 已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。
证明 ∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。
在△ABF和△DCE中，
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∴ △ABF≌△DCE（SAS）。
∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。
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2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。
例2 已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。求证：AE=CE。
证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。
在△ADE和△CFE中，
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∴ △ADE≌△CFE（ASA）.
∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）
3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。
例3 （同例2）.
证明 ∵ FC∥AB（已知），
∴ ∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.
在△ADE和△CFE中，
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∴ △ADE≌△CFE（AAS）.
∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。
二、已知两边对应相等
1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。
例4 已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。求证： △ABD≌△ACE.
证明 ∵∠1=∠2（已知），
∠ADB=180°-∠1，
∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），
∴∠ADB = ∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
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∴ △ABD≌△ACE（SAS）.
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2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。
例5 已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN， BM=DN。求证： AM∥CN，BM∥DN。
证明 ∵ AC=BD（已知）∴ AC+BC+BC，
即 AB=CD.
在△ABM和△CDN中，
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∴ △ABM≌△CDN（SSS）
∴ ∠A=∠NCD，∠ABM=∠D（全等三角应角相等），
∴ AM∥CN，BM∥DN（同位角相等，两直行）。
三、已知两角对应相等
1．证两已知角的夹边对应相等，再用ASA证全等。
例6 已知：如图5，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE.求证： AB=DE， AC=DF.
证明 ∵ FB=CE（已知）
∴ FB+FC=CE+FC， 即 BC=EF，
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∴ △ABC≌△DEF（ASA）.
∴ △AB=DE，AC=DF（全等三角形对应边相等）
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2．证一已知角的对边对应相等，再用AAS证全等。
例7 已知：如图6，AB、CD交于点O，E ( http: / / www.21cnjy.com )、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF. 求证：△ACE≌△BDF.
证明 ∵OA=OB，OE=OF已知），∴OA-OE=OB-OF，即 AE=BF，
在△ACE和△BDF中，
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∴ △ACE≌△BDF（AAS）.
四、已知一边与其对角对应相等，则可证另一角对应相等，再利用AAS证全等
例8 已知：如图7，在△ABC中，B、D、E、C在一条直线上，AD=AE，∠B=∠C．
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证：△ABD≌△ACE.
证明∵AD=AE（已知）
∴∠1=∠2（等边对等角），
∵ ∠ADB=∠180°-∠1，
∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），
∴ ∠ADB=∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
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∴△ABD≌△ACE（AAS）.