一道平面几何题的十种证法

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名称 一道平面几何题的十种证法
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文件大小 31.2KB
资源类型 教案
版本资源 人教版(新课程标准)
科目 数学
更新时间 2014-07-23 09:21:55

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文档简介

一道平面几何题的十种证法 
题目:如图1,△ABC中,D、F在AB上,AD=BF,过D作DE∥BC,交AC于E,过F作FG∥BC交AC于G.
求证 :BC=DE+FG.
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分析:证明一条线段等于另外两条线段的和,常用的方法是将线段的位置平移:
(1)延长较短线段与较长线段相等;
(2)在较长线段上截取与较短线段相等的线段;
(3)将线段适当移动位置后进行比较;
(4)采用其它比较方法,如解析法,三角法,面积法等.
一、延长较短线段与较长线段相等
解法1 如图2,延长FG到H,使FH等于BC,连结CH.(关键证GH=DE即可).
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由作法知 FH平行且等于BCFBCH是平行四边形CH=BF.
在△ADE和△CHG中,CH=BF=AD.
由CH∥AB∠A=∠2,又∠1=∠B,∠H=∠B,所以∠1=∠H.∴△ADE≌△CHG,则DE=GH,
故BC=FG+GH=DE+FG.
证法2 如图3,仍延长FG到H,使GH=DE,连结CH.
(关键证BC=FH).
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由DE∥BC∥FG∠1=∠2=∠3.
又AD=FB,所以AE=GC.
∴△ADE≌△CHG,(SAS)
∴∠A=∠GCHAB∥CH.
∴四边形FBCH是平行四边形,所以,BC=FH,
∴BC=DE+FG.
证法3 如图4,延长DE到H,使DH=BC,连结CH.
(关键证FG=EH).
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由DBCH及DH=BC.
再△AFG≌△CHE,得FG=EH.
二、恰当地将线段平移
证法4 如图5
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找EG的中点K,连接DK并延长DK交FG的延长线于H,可证得
△DEK≌△HGKDE=GH.
再证得 △ADE≌△CHG,(或证△ADK≌△CHK)∠A=∠GCH
∴BC=GH+FG=DE+FG.
证法5 如图6.
过D作DH∥AC交BC于H,则DE=HC.不难证得△AFG≌△DBH,可得FG=BH,
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∴BC=BH+HC=DE+FG.
证法6 如图7
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过F作FH∥AC交BC于H(或在BC上截取CH=FG).
三、在较长的线段上截取较短的线段
证法7 如图8
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在BC上截取BH=DE.不难得出△ADE≌△FBH.则∠1=∠2=∠3FH∥ACFG=HC.
(同理可在BC上截取BH=FG.再证HC=DE)
四、利用梯形或三角形的中位线定理
题中要证的结论系三角形的底边BC等于梯形DFGE两底之和,可猜想通过梯形DFGE的中位线沟通两者之间的关系.
证法8 如图9.
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又AD=FB,由平行截割定理得MN也是△ABC的中位线,
五、利用相似三角形的性质和比例的性质
题中要证的边实质是相似三角形的对应边,因此,可从相似三角形的对应边成比例和比例的基本性质入手证明.
证法9 如图1.
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又AD=BF,所以,AD+AF=AD+DB=AB.
即 BC=DF+FG.
六、其它线段变换
证法10 如图10.
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作AH⊥DE于H,作FP⊥BC于P,作GQ⊥BC于Q.易证
△ADH≌△FBP,
△AHE≌△GQC.
DH+HE=BP+QC,又FG=PQ.则BC=PQ+BP+QC=FG+DH+HE,即BC=DE+FG.