运用全等三角形证题的基本思路

运用全等三角形证题的基本思路　
运用全等三角形能够证明若干与线段或角有关 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的几何问题．那么如何证明两个三角形全等呢？一般来说，应根据题设条件，结合图形寻求边或角相等，使之逐步逼近某一判定公理或定理，其基本思路有：
一、有两边对应相等，则寻求夹角或第三边对应相等．
例1 已知：如图1，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，求证：BD＝CE．
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分析：要证明BD＝CE，只要证明△ABD≌ ( http: / / www.21cnjy.com )△ACE．因为已知条件已给出了有两边对应相等，所以只需证明这两边的夹角也相等，即∠BAD＝∠CAE．而根据图形和已知条件“∠1＝∠2”，即可获证．
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAC＝∠2＋∠BAC，即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
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∴△ABD≌△ACE（SAS），故BD＝CE．
例2 已知：如图2，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC，求证：AB∥DF．
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分析：要证明AB∥DF，只要证明∠B＝∠F ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，由于∠B、∠F分别在△ABC和△DFE中，这就要证明△ABC≌△DFE，因为已知条件给出了两边对应相等，所以可证明两个三角形的第三条边对应相等，即BC＝FE，而根据图形和已知条件“BE＝FC”，即可获证．
证明：∵BE＝FC，
∴BE＋EC＝FC＋CE，即BC＝FE．
在△ABC和△DFE中，
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∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠B＝∠F，故AB∥DF．
二、有两角对应相等，则寻求夹边或任一等角的对边对应相等．
例3 已知：如图3，AB∥CD，AD∥BC．求证：AB＝CD，AD＝BC．
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分析：要证明AB＝CD，A ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )D＝BC，只要连结AC，证明△ABC≌△CDA，因为已知条件告诉AB∥CD，AD∥BC，这就等于告诉∠1＝∠2，∠3＝∠4，而AC又是它们的夹边，则问题获证．
证明：连结AC，∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
在△ABC和△CDA中，
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∴△ABC≌△CDA（ASA），故AB＝CD，AD＝BC．
例4 已知：如图4，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＝CD．
分析：要证明BE＝CD，只要证明△BCE ( http: / / www.21cnjy.com )≌△CBD，在这两个三角形中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，而∠1的对边是BC，∠2的
对边是CB，且有BC＝CB，则问题获证．
证明：在△BCE和△CBD中，
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∴△BCE≌△CBD（AAS）
故BE＝CD．
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三、有一边和该边的对角对应相等，则寻求另一角对应相等．
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例5 已知：如图5，△ABC中，∠BAC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90°，AB＝AC，直线MN经过点A，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足为D、E．求证：BD＝AE．
分析：要证明BD＝AE，只要证明△AB ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )D≌△CAE，现有条件是一边和该边的对角对应相等，则还需再证明另一角对应相等，而不难发现∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3，则问题获证．
证明：∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
而∠BAC＝90°，∴∠1＋∠2＝90°．
∵∠2＋∠3＝90°．
∴∠1＝∠3．
在△ADB和△CEA中，
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∴△ADB≌△CEA（AAS），故BD＝AE．
四、有一边和该边的邻角对应相等，则寻求夹等角的另一边对应相等，或另一角对应相等．
例6 已知：如图6，△ABC中，∠ACB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90°，∠CBA＝45°，E是AC上一点，延长BC到D，使CD＝CE．求证：BF⊥AD．
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分析：要证明BF⊥AD．只要证明∠ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )1＋∠2＝90°，这时∠AFE＝90°，又∠3＋∠4＝90°，∠2＝∠3，那么只需证明∠1＝∠4，这时只要证明△ACD≌△BCE，在这两个三角形中，已知有一边和该边的邻角对应相等，只要证明CA＝CB，此时条件中有∠CBA＝45°，可得到CA＝CB，则问题获证．
证明：∵∠ACB＝90°，∠CBA＝45°，
∴CA＝CB．
在△ACD和△BCE中，
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∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠1＝∠4．
∵∠4＋∠3＝90°，∠3＝∠2．
∴∠1＋∠2＝90°，故BF⊥AD．
例7 已知：如图7，AB＝AC，∠B＝∠C，∠1＝∠2，求证：AD＝AE．
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分析：要证明AD＝AE，只要证明△ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )ABD≌△ACE，由已知条件知，有一边和该边的邻角对应相等，只要再证明另一角对应相等，此时有∠1＝∠2，可得∠BAD＝∠CAE，则问题获证．
证明：∵∠1＝∠2．
∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
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∴△ABD≌△ACE（ASA），故AD＝AE．
五、对于直角三角形来讲，则优先考虑运用“斜边、直角边公理”，当此路不通时，再回到上述思路中去．
例8 已知：如图8，AD⊥DB，BC⊥CC，AC＝BD，求证：AD＝BC．
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分析：要证明AD＝BC，只要证明△ADB≌△ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )BCA，而这两个三角形是直角三角形，可考虑运用“斜边、直角边公理”证明，此时由题设条件AC＝BD，结合图形AB＝BA，则问题获证．
证明：∵AD⊥DB，BC⊥CA，
∴△ADB和△BCA都是直角三角形，
在Rt△ADB和Rt△BCA中，
∴Rt△ADB≌Rt△BCA（HL），故AD＝BC．
六、对于运用全等三角形证明的结论一次不到位时，则可反复运用上述思路进行证明．
例9 已知：如图9，AB＝DE，AF＝CD，EF＝BC，∠A＝∠D，求证：BF∥CE．
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分析：要证明BF∥CE，只 ( http: / / www.21cnjy.com )要考虑证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”，这需要根据已知条件和图形特点，先进行比较，再作选择，由于图中没有现成的“同位角”和“内错角”，但添加辅助线后易得“内错角”（连结BE或CF）；另一方面，若考虑“同旁内角”，则要证“互补”，而由已知条件较易证得△ABF≌△DEC，估计进而证明角“相等”比证明角“互补”容易，所以可优先考虑证明“内错角相等”，即连结BE，设法证明∠FBE＝∠CEB，这又需证明△BEF≌△EBC，这样问题就解决了，请读者完成这一证明．
例10 已知：如图10，在△ABC和△DBC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，P是BC上任意一点．求证：PA＝PD．
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分析：要证明PA＝PD， ( http: / / www.21cnjy.com )只要证明△ABP≌△DBP，在这两个三角形中，由条件才知道一边和该边的邻角对应相等，由图形知，还必须证明AB＝BD，这又需证明△ABC≌△DBC，而由∠1＝∠2，∠3＝∠4，BC＝BC，则问题解决了，请读者完成这一证明．
综上数例所述，运用全等三角形处理几何证 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )明问题，要灵活运用题设条件，结合待证结论，对照图形，从不同角度去试探，不要怕碰壁，要善于分析，总结规律，辅之适量练习，才能不断提高运用全等三角形的证题能力．