2022-2023学年浙江省温州市校联盟4月联考高一数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省温州市校联盟4月联考高一数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2. 已知复数，其中为虚数单位，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 如图，在平行四边形中，是的中点若，，则( )
A. B. C. D.
4. 已知，那么( )
A. B. C. D.
5. 已知向量，，向量在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6. “复数为虚数单位在复平面内对应的点位于第二象限”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 如图是一个倒圆锥形容器的轴截面过圆锥的轴的平面截圆锥所成的平面图形，是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，当水面所在的平面恰好经过铁球的球心时，将球从圆锥内取出，此时圆锥形容器内的水深为( )
A. B. C. D.
8. 已知等边的边长为，为它所在平面内一点，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 对任意两个实数，，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是( )
A. 函数是偶函数 B. 方程有两个解
C. 函数有个单调区间 D. 函数有最大值为，无最小值
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是( )
A. B. 函数的绝对值最小的零点为
C. 直线是函数的一条对称轴 D. 函数在上单调递增
11. 如图在棱长为的正方体中，，分别是，中点，在侧面上包括边界，且满足三棱锥的体积等于，则的长度可以是( )
A. B. C. D.
12. 在中，点为平面中一点，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法错误的是( )
A. 是锐角三角形
B. 内切圆半径为
C. 满足，则点为的垂心
D. 若点在所在直线上，，则有
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则函数的零点是 ．
14. 如果复数的实部和虚部相等，则等于_______．
15. 如图，用斜二测画法得到某水平放置的的直观图，若，，，则 ．
16. 已知为中线的中点，过点的直线与，分别交于点，，若与的面积之比为，则实数的值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知，求的值
计算：
18. 本小题分
已知复数，，是虚数单位．
若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；
若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值．
19. 本小题分
如图，某测量人员要测量西江北岸不能到达的两点之间的距离，她在西江南岸找到一个点，从点可以观察到点；又找到一个点，从点可以观察到点；最后找到一个点，从点可以观察到点；并测量得到数据：，，，，，米．
求的长；
求．
20. 本小题分
的内角，，的对边分别为，，，．
Ⅰ求证：是直角三角形；
Ⅱ若，求的周长的取值范围．
21. 本小题分
如图，中，，，为边上的中线，点，分别为边，上的动点，线段交于，且线段与线段的长度乘积为．
已知，请用，表示
求的取值范围．
22. 本小题分
如图所示棱锥中，底面是长方形，底面周长为，，且是四棱锥的高．设．
当时，求三棱锥的体积；
求四棱锥外接球的表面积的最小值．提示：四棱锥外接球直径为线段
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，属于基础题．
联立，即可判断元素的个数．
【解答】
解：，，
联立
当时，可得，即，
当时，；当时，不成立；
同理，时，；
即，与有两个交点，
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的乘法运算和共轭复数，属于基础题．
利用共轭复数的定义和复数的运算法则即可求解．
【解答】
解：，则，
则，
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的基础知识．
【解答】
解：．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数诱导公式的应用，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题．
由可得，再有计算即可得解．
【解答】
解：因为，
所以可得，
所以．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查求投影向量，属于基础题．
【解答】
解：向量，，，
所以在方向上的投影向量为．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的代数形式的除法运算，考查充要条件的应用，考查计算能力，属于中档题．
利用复数的除法运算法则化简，通过对应的点位于第二象限，求出的范围，再利用充分必要条件的定义即可判断．
【解答】
解：复数，
因为复数为虚数单位在复平面内对应的点位于第二象限，
所以，解得，
所以“复数为虚数单位在复平面内对应的点位于第二象限”是“”的必要而不充分条件．
故选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了圆锥和球的体积的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题．
利用，结合圆锥和球的体积公式即可求解．
【解答】
解：如图：
设加入小球后水面以下的体积为，原来水的体积为，球的体积为球，
倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，当水深为时，底面半径为，此时水的体积为，
当球放入圆锥容器后截面图如下所示，作，垂足为，则球的半径为，此时水深，底面半径为，体积为 ，
解得：．
故答案选C．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量的加法、减法，以及向量的模的最值，考察了平面向量的基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
取中点，根据向量的加法得，要使有最大值，则与应平行，即可得到答案．
【解答】
解：如图，取中点，连接，
，
为等边三角形，，且．
又，
．
又，
要使有最大值，则与应平行，
，
或，
取最大值．
故答案为．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的解析式及函数的性质，属于中档题．
依题意知，，画出函数图象，逐项判断，即可推出结论．
【解答】
解：由题意可得，
作出函数图象可得，
所以该函数的图象关于轴对称，是偶函数，有两个零点，，四个单调区间，
当时，函数取得最大值为，无最小值．
故选．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，余弦型函数的图象和性质，属于中档题．
由函数的图象中最值点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再结合余弦型函数的图象和性质，逐个判断得出结论．
【解答】
解：由函数的图象可得，，求得．
再根据五点法作图，把点代入解析式可得，，
又因为求得，A正确；
，令，得，
，则使得函数的绝对值最小的零点为，B正确
对称轴，当时，，C正确
函数单调递增区间为：，
单调递减区间为：，
可知函数在上先增后减，D错误．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查立体几何中的距离问题，属于中档题．
【解答】
解：由题意可知，设到的距离为，则，
点到的距离为，
又，分别是，中点，则是的中位线，到的距离也为，
可知点的运动轨迹为线段和点，
当在线段上运动时，的最长距离为到两端点的距离，最短距离为到线段中点的距离，求解可得，
当与重合时，．
结合选项可知符合条件．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查余弦定理，三角形面积公式，平面向量共线定理，平面向量的线性运算，属于中档题．
根据余弦定理判断，根据三角形面积公式判断，根据平面向量共线定理判断，根据平面向量的线性运算判断．
【解答】
解：因为，，，所以，
由，所以为钝角，所以是钝角三角形，故A错误
由得，，设内切圆半径为，则，解得，故B错误
对于，设为的中点，则，因为，所以，
所以，所以，，三点共线，即在边上的中线上，同理在边，上的中线上，
所以为的重心，故 C错误
对于，不妨设，
则，
又因为，所以，，所以，故D正确．
故选ABC．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查求函数的零点，属于基础题．
设，解出参数，求出，令其为零，即可得到函数的零点．
【解答】
解：由题意，在上是单调函数，，
设，则，解得，
，
当时，解得，
的零点是．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数的模以及复数的实部和虚部的概念，属于基础题．
首先根据复数的运算，化简复数，然后根据复数的实部和虚部相等，求出，再求出模．
【解答】
解：因为
，
由题意知，解得，
所以，
所以．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查斜二测画法的应用，了解斜二测画法的规律是解题的关键，属于基础题．
先利用斜二测画法的原则求解、、的长度，再利用余弦定理求角度即可．
【解答】
解：因为，，，
所以，，，
所以，，，
所以
，
又，
所以．
故答案为：．

16.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查向量在平面几何中的应用，属于中档题．
运用平面向量的线性运算，结合三点共线，以及面积公式即可求解．
【解答】
解：设，，
则
由，
所以，即
又，所以，
联立，解得或
又，所以，所以或
故答案为：或

17.【答案】解：
原式

【解析】本题考查三角函数的化简求值和指数对数的运算，属于基础题．
18.【答案】解：
．
在复平面内对应的点落在第一象限，
，两个条件要同时满足，
由，解得：，
由，解得：或，
故符合条件的满足，
实数的取值范围是；
虚数是实系数一元二次方程的根，，
也是实系数一元二次方程的根，
，，
解得：，．
【解析】本题考查了复数的代数表示与几何意义，考查复数的四则运算，考查实系数一元二次方程的复数根与系数的关系，考查共轭复数概念，属于拔高题．
先由共轭复数概念，结合复数四则运算，化简，根据所对应的点落在第一象限，则实部和虚部全为正数，据此可得的范围
由虚数是实系数一元二次方程的根，，则的共轭复数也是此方程的根，利用根与系数的关系即可得出的值．
19.【答案】解：，
在中，由正弦定理得：，
即的长为米
，，，．
又，
．

【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解决距离问题，属于中档题．
在中，利用正弦定理即可求得结果；
在中，利用余弦定理即可求得结果．
20.【答案】解：Ⅰ证明：由，
可得，
由是三角形内角，知，
所以，
所以，
由是三角形内角，知，所以，所以为锐角，
由，知，所以为锐角，又易知为锐角，
可得，即，即是直角三角形．
Ⅱ的周长，
所以，
由可知，，
因此，
即．
【解析】本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
Ⅰ由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，结合，可得，即可得解是直角三角形；
Ⅱ利用两角和的正弦函数公式可得的周长，由可求范围，利用正弦函数的图象和性质即可求的范围．
21.【答案】解：因为且，所以
设
又，，共线，所以，解得，所以．
令，，即，设，
又，，共线，设，则
所以解得，，
又，所以
，又，得
因为，所以易知时，函数单调递减，
当时，时，，故

【解析】本题考查了向量的线性运算及数量积运算，平面向量基本定理，函数的最值问题，属难题．
22.【答案】解：当时，，，
的面积为，
因此，三棱锥的体积为；
将四棱锥补成长方体，
则四棱锥的外接球和长方体的外接球相同．
设，则，，
所以球的半径，
当时，取得最小值，此时球的表面积，
则四棱锥外接球的表面积的最小值为．

【解析】本题考查三棱锥的体积以及球的表面积的求法，属于中档题．
由题可得的面积为，根据体积公式即可求解；
设，则，所以球的半径，根据二次函数即可求得最值．
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