安徽省淮北一中2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题
文档属性
| 名称 | 安徽省淮北一中2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题 |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 758.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-07-23 00:00:00 | ||
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文档简介
第I卷 选择题
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1.( )
A. B. C. D.
2.（ ）
A. B. C. D.
3.设，，，则（ ）
A. b4.在中，已知， ，则为（ ）
A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.锐角非等边三角形 D.钝角三角形
5.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.48 B. C. D.80
6.若某程序图如图所示，则该程序 运行后输出的k的值是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
7.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
（第7题图）
A6 B 8 C12 D 18
8.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
9. 已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置。
11、在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于 _____________．
12.已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6，且|a|=1,|b|=2，则a与b的夹角为______________.
13.若函数的图像关于原点对称，则__________________.
14函数的图像向右平移个单位后，与函数的
图像重合，则=____________.
15．已知函数与的定义域为，有下列5个命题：
①若，则的图象自身关于直线轴对称；
②与的图象关于直线对称；
③函数与的图象关于轴对称；
④为奇函数，且图象关于直线对称，则周期为2；
⑤为偶函数，为奇函数，且，则周期为2。
其中正确命题的序号是______________________.
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡的指定区域内。
16.（本题满分12分)
已知函数f(x)＝4cos ωx·(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
17.（本题满分12分)
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
（第17题图）
18.（本题满分12分)
下图是淮北市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择6月1日至6月15日中的某一天到达该市，并停留2天．
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（2）若设是此人停留期间空气质量优良的天数，请分别求当x=0时，x=1时和x=3时的概率值。
（3）由图判断从哪天开始淮北市连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
19.（本题满分13分)
如图所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为△中边上的高.
（1）证明：平面；
（2）若，，，求三棱锥的体积；
（3）证明：平面.
20.（本题满分13分)
已知函数f(x)＝mx2－mx－1. (第19题图）
(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．
21.（本题满分13分)
如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线
均相切，切点分别为、，另一圆与圆、轴及直线
均相切，切点分别为、。
（1）求圆和圆的方程；
（2）过点作的平行线，求直线被圆截得的弦的长度； x
（第21题图）
参考答案
15.① ② ③ ④
三，简答题
16.解：(1)f(x)＝4cos ωx·sin
＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx
＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋
.............................3分
因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，
从而有，故ω＝1. .................................6分
(2)由(1)知，f(x)＝.
若0≤x≤，则.
当，即时，f(x)单调递增；
当，即时，f(x)单调递减． .............................10分
综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减． ................12分
17解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.
故PA＝. ...........................5分
(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得，
化简得cos α＝4sin α.
所以tan α＝，即tan∠PBA＝. .............................12分
18、解：设表示事件“此人于6月日到达该市”（ =1,2，…，13）.
根据题意, ,且.
（1）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则,
所以. ...........3分
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，
P(X=0)=1－P(X=1)－P(X=2)= ,
P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= ,
P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= , ............9分
（3）从6月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大. ............12分
19、【解析】（1）证明：因为平面，
所以。
因为为△中边上的高，
所以。
因为，
所以平面。 ................................4分
（2）连结，取中点，连结。
因为是的中点，
所以。
因为平面，
所以平面。
则，
。 .........................8分
（3）证明：取中点，连结，。
因为是的中点， 所以。
因为， 所以，
所以四边形是平行四边形，
所以。
因为， 所以。
因为平面，
所以。
因为， 所以平面，
所以平面。 .......................13分
20、解析(1)由题意可得m＝0或 m＝0或－4＜m＜0
－4＜m≤0.
故m的取值范围为(－4,0]． .....................6分
(2)∵f(x)＜－m＋5 m(x2－x＋1)＜6，
∵x2－x＋1＞0，∴m＜对于x∈[1,3]恒成立，
记g(x)＝，x∈[1,3]，
记h(x)＝x2－x＋1，h(x)在x∈[1,3]上为增函数． 则g(x)在[1,3]上为减函数，
∴[g(x)]min＝g(3)＝， ∴m＜. 所以m的取值范围为. ..............13分
21.解（1）由于圆与的两边相切，故到及的距离均为圆的半径，则在
的角平分线上，同理，也在的角平分线上，
即三点共线，且为的角平分线，
的坐标为，到轴的距离为1，即：圆的半径为1，
圆的方程为； ..........................3分
设圆的半径为，由，得：,
即，，圆的方程为：； ................6分
（2）由对称性可知，所求弦长等于过点的的平行线被圆截得的弦长，
此弦所在直线方程为，即，
圆心到该直线的距离，则弦长= .............13分
注：也可求得点坐标，得过点的平行线的方程，再根据圆心到直线的距离等于，求得答案；还可以直接求点或点到直线的距离，进而求得弦长。
O
A
C
B
D
N
y
M
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1.( )
A. B. C. D.
2.（ ）
A. B. C. D.
3.设，，，则（ ）
A. b
A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.锐角非等边三角形 D.钝角三角形
5.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.48 B. C. D.80
6.若某程序图如图所示，则该程序 运行后输出的k的值是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
7.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
（第7题图）
A6 B 8 C12 D 18
8.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
9. 已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置。
11、在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于 _____________．
12.已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6，且|a|=1,|b|=2，则a与b的夹角为______________.
13.若函数的图像关于原点对称，则__________________.
14函数的图像向右平移个单位后，与函数的
图像重合，则=____________.
15．已知函数与的定义域为，有下列5个命题：
①若，则的图象自身关于直线轴对称；
②与的图象关于直线对称；
③函数与的图象关于轴对称；
④为奇函数，且图象关于直线对称，则周期为2；
⑤为偶函数，为奇函数，且，则周期为2。
其中正确命题的序号是______________________.
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡的指定区域内。
16.（本题满分12分)
已知函数f(x)＝4cos ωx·(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
17.（本题满分12分)
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
（第17题图）
18.（本题满分12分)
下图是淮北市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择6月1日至6月15日中的某一天到达该市，并停留2天．
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（2）若设是此人停留期间空气质量优良的天数，请分别求当x=0时，x=1时和x=3时的概率值。
（3）由图判断从哪天开始淮北市连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
19.（本题满分13分)
如图所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为△中边上的高.
（1）证明：平面；
（2）若，，，求三棱锥的体积；
（3）证明：平面.
20.（本题满分13分)
已知函数f(x)＝mx2－mx－1. (第19题图）
(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．
21.（本题满分13分)
如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线
均相切，切点分别为、，另一圆与圆、轴及直线
均相切，切点分别为、。
（1）求圆和圆的方程；
（2）过点作的平行线，求直线被圆截得的弦的长度； x
（第21题图）
参考答案
15.① ② ③ ④
三，简答题
16.解：(1)f(x)＝4cos ωx·sin
＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx
＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋
.............................3分
因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，
从而有，故ω＝1. .................................6分
(2)由(1)知，f(x)＝.
若0≤x≤，则.
当，即时，f(x)单调递增；
当，即时，f(x)单调递减． .............................10分
综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减． ................12分
17解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.
故PA＝. ...........................5分
(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得，
化简得cos α＝4sin α.
所以tan α＝，即tan∠PBA＝. .............................12分
18、解：设表示事件“此人于6月日到达该市”（ =1,2，…，13）.
根据题意, ,且.
（1）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则,
所以. ...........3分
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，
P(X=0)=1－P(X=1)－P(X=2)= ,
P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= ,
P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= , ............9分
（3）从6月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大. ............12分
19、【解析】（1）证明：因为平面，
所以。
因为为△中边上的高，
所以。
因为，
所以平面。 ................................4分
（2）连结，取中点，连结。
因为是的中点，
所以。
因为平面，
所以平面。
则，
。 .........................8分
（3）证明：取中点，连结，。
因为是的中点， 所以。
因为， 所以，
所以四边形是平行四边形，
所以。
因为， 所以。
因为平面，
所以。
因为， 所以平面，
所以平面。 .......................13分
20、解析(1)由题意可得m＝0或 m＝0或－4＜m＜0
－4＜m≤0.
故m的取值范围为(－4,0]． .....................6分
(2)∵f(x)＜－m＋5 m(x2－x＋1)＜6，
∵x2－x＋1＞0，∴m＜对于x∈[1,3]恒成立，
记g(x)＝，x∈[1,3]，
记h(x)＝x2－x＋1，h(x)在x∈[1,3]上为增函数． 则g(x)在[1,3]上为减函数，
∴[g(x)]min＝g(3)＝， ∴m＜. 所以m的取值范围为. ..............13分
21.解（1）由于圆与的两边相切，故到及的距离均为圆的半径，则在
的角平分线上，同理，也在的角平分线上，
即三点共线，且为的角平分线，
的坐标为，到轴的距离为1，即：圆的半径为1，
圆的方程为； ..........................3分
设圆的半径为，由，得：,
即，，圆的方程为：； ................6分
（2）由对称性可知，所求弦长等于过点的的平行线被圆截得的弦长，
此弦所在直线方程为，即，
圆心到该直线的距离，则弦长= .............13分
注：也可求得点坐标，得过点的平行线的方程，再根据圆心到直线的距离等于，求得答案；还可以直接求点或点到直线的距离，进而求得弦长。
O
A
C
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D
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