吉林省临江一中2013-2014学年高二下学期期中考试数学（文）试题

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临江市一中高二下学期数学期中考试题（文）
满分：150分 考试时间：120分钟
参考公式：
回归直线的方程是：，其中；
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分 ( http: / / www.21cnjy.com )，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在答卷的相应表格内）
1．（ ）A． B． C． D．
2.有一段 “三段论”推理是这样的：对于可导函数，若，则 是函数的极值点.因为在处的导数值，所以是的极值点.以上推理中 （ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
3.已知x与y之间的一组数据：
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
则y与x的线性回归方程为必过点( )
A .(2,2) B. (1.5 ,4) C.(1.5 ,0) D.(1,2)
4.用反证法证明命题“”,其反设正确的是( )
A. B.
C. D.
5.函数在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
6.设点对应的复数为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，
则点的极坐标可能为( )
A. (3，) B. (3，) C. (，) D. (,)
7．在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换是（ ）
8. 极坐标系中，以（9，）为圆心，9为半径的圆的极坐标方程为( )
A. B.
C. D.
9．已知函数在区间上单调递减，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10.在独立性检验中，统计量有两个临界值：3．841和6．635；当3．841时，认为两个事件无关，当＞6．635时，有99%的把握说明两个事件有关．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算的 =20．87，根据这一数据，认为打鼾与患心脏病之间（ ）21世纪教育网版权所有
A．认为两者无关 B．约有95%的打鼾者患心脏病
C．有99%的把握认为两者有关 D．约有99%的打鼾者患心脏病
11.函数有极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，
即 [k]={5n+k丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4。 给出如下四个结论：
① 2013∈[3] ②－3∈[2]； ③ Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]
④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”。
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共4道题，每题5分，共20分）
13.曲线(为参数)的焦点坐标是
14.计算：12|3＋4i|－10（i2010+i2011+i2012＋i2013）＝______ . （其中i为虚数单位）
15.曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程是
16．函数的图象不过第Ⅱ象限，则的取值范围是
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.已知复数z=(2+i)m2--2(1-i).当实数m取什么值时,复数z是:
(1)虚数;(2)纯虚数;(3)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数
18.（1）把下列的极坐标方程化为直角坐标方程(并说明对应的曲线)：
（2）把下列的参数方程化为普通方程（并说明对应的曲线）：
19.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节 ( http: / / www.21cnjy.com )大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：21教育网
日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日
温差x(℃) 10 11 13 12 8
发芽y(颗) 23 25 30 26 16
该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，
剩下的2组数据用于回归方程检验．
（1）若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，
请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选 ( http: / / www.21cnjy.com )出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？
（3）请预测温差为14℃的发芽数。
20.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含个小正方形.
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（Ⅰ）求出；
（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，
（Ⅲ）根据你得到的关系式求的表达式.
21.在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，
曲线C的参数方程为 ．
（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；
（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最值．
（Ⅲ）请问是否存在直线m ， m∥l且m与曲线C的交点A、B满足；
若存在请求出满足题意的所有直线方程，若不存在请说明理由。
22.已知函数在处有极大值．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线相切，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，函数的图象在抛物线的下方，求的取值范围．
临江市一中高二下学期数学期中考试题答题卡（文）
一选择题（每题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题（每题5分,共20分）
13、 14、
15、 16、
三、解答题（共6小题，共70分）
17.
18.
19.
20.
21.
22.
临江市一中高二下学期数学期中考试题答案（文）
一 选择题1----6 BABBAC 7---12 CADCDD
二 填空题13.（0，3）（0，-3） 14. 60 15.
16.（- ∞ ，-10]
17解:由于m∈R,复数z可表示为
z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.
(1)当m2-3m+2≠0,即m≠2且m≠1时,z为虚数.（3分）
(2)当即m=-时,z为纯虚数.（3分）
(3)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2时,z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.（4分）21cnjy.com
18.（1） …………2分
表示的曲线为圆。 ……………………3分
x+y=2 …………………5分
表示的曲线为直线 ……………………6分
（2） ………………………8分
表示的曲线为双曲线 ……………………9分
(………………………11分
表示的曲线为抛物线的一部分。……………………12分
19. (1)由数据求得，＝12，＝27， ……………… 2分
由公式求得．＝，＝－＝－3. ………………… 4分
所以y关于x的线性回归方程为＝x－3. ………………… 6分
(2)当x＝10时，＝×10－3＝22，|22－23|<2；
当x＝8时，＝×8－3＝17，|17－16|<2.
所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的．………………… 10分
（3）当x=14时，有＝x－3=35-3=32
所以当温差为14℃的发芽数约为32颗。 ……………… 12分
20.（Ⅰ）f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,……………………… 2分
f(5)=25+4×4=41. …………………… 4分
（Ⅱ）f(2)-f(1)=4=4×1. f(3)-f(2)=8=4×2,
f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, ………… 6分
由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n.…………………… 8分
f(2)-f(1)=4×1, f(3)-f(2)=4×2, f(4)-f(3)=4×3, f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2), f(n)-f(n-1)=4·(n-1)……… 10分21·cn·jy·com
f(n)-f(1)=4[1+2+…+（n-2）+（n-1)]=2(n-1)·n,
f(n)=2n2-2n+1 ……………………………… 12分
21. （I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。 ……2分
因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程， 所以点P在直线上. ……4分
（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为…5分
从而点Q到直线的距离为
， …6分
由此得，当时，d取得最小值，且最小值为
当时，d取得最大值，且最大值为3 …8分
（Ⅲ）设平行线m方程：x-y+n = 0 ……9分
设O到直线m的距离为d，则 …………………10分
经验证均满足题意 ，所以满足题意直线m有4条，方程为：…12分
22.（Ⅰ），
或，
当时，函数在处取得极小值，舍去；
当时，，函数在处取得极大值，符合题意，∴．（3分）
（Ⅱ），设切点为，则切线斜率为，切线方程为，
即 ，
∴．
令，则，
由得，．
函数的单调性如下：
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当时，方程有三个不同的解，过原点有三条直线与曲线相切．（8分）
（Ⅲ）∵当时，函数的图象在抛物线的下方，∴在时恒成立，
即在时恒成立，令，则，由得，．
∵，，，，
∴在上的最小值是，．（12分）
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