专题06、离散变量与分布列
题型一、离散变量的数字特征
1.【解构分析】对①：利用二项分布的期望与方差公式，列出方程求解即可判断；对②：根据方差公式可知方差恒不变；对③：根据正态分布的对称性即可求解；对④：根据二项分布概率的性质求解即可判断．
【详解】解：对于①：因为随机变量服从二项分布，，，
所以，，解得，故①错误；
对于②：根据方差公式（，为常数），可得将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，故②正确；
对于③：因为随机变量服从正态分布，由，
则，则成绩不在的概率，
则，故③正确；
对于④：因为在次射击中，击中目标的次数，
所以对应的概率，
当，时，令，
即，即，
解得，因为时，
所以当时，概率最大，故④错误．
故选：B．
【答案】B
2.【解构分析】按照有关定义以及数学期望和方差的计算公式即可.
【详解】对于A，已知随机变量，则，故A错误；
对于B，根据互斥事件和对立事件的定义，
“与是互斥事件”并不能推出“与互为对立事件”，
相反“与互为对立事件”必能推出“与是互斥事件”，
故B错误；
对于C，根据方差的计算公式，，故C错误；
对于D，根据正态分布的对称性，随机变量，，
所以，所以，
故D正确；
故选：D.
【答案】D
题型二、二项分布相关运算
结构一、二项分布期望值与方差计算
1．【解构分析】由于每次投中与否之间是相互独立的，故此是一个二项分布模型，由公式求出期望与方差即可.
【详解】某运动员投篮投中的概率，那么该运动员重复5次投篮，此是一个二项分布的模型
故选：B
【答案】B
2．【解构分析】二项分布，求出n，
【详解】因为满足随机变量服从二项分布， ，
故选D
【答案】D
结构二、二项分布最大值的求解
2.1、
1．【解构分析】选项A利用概率的基本性质即可，B选项由条件可知满足二项分布，利用二项分布进行分析，选项C，D根据题意把的表达式写出，然后利用单调性分析即可.
【详解】对于A选项，由概率的基本性质可知，，
故A正确，
对于B选项，由时，离散型随机变量服从二项分布，
则，
所以，
，
所以，故B正确，
对于C,D选项，，
当时，为正项且单调递增的数列，
故随着的增大而增大故选项C正确，
当时，为正负交替的摆动数列，
故选项D不正确.
故选：ABC.
【答案】ABC
2.2、
1．【解构分析】此题考查二项分布的公式，并利用公式求参数值问题，熟悉二项分布的概率公式为指数型，比大小时优先考虑使用作商法比大小。
【解析】令，得，
即当时，；
当时，；
当时，，
所以和的值最大.
故选：BC.
【答案】BC
2．【解构分析】（I）由茎叶图可知抽取户用水量分别为，其中第二阶梯水量的户数的可能取值为,,,，分别求得其概率并列表，再利用期望公式求得期望值即可；（II）抽取对象范围很大，用水量为二阶的户数服从二项式分布，求得的最大值所对应的就是的值，指数型比大小考虑作商跟1比较。
【详解】
（I）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户。
三阶的有2户．
第二阶梯水量的户数X的可能取值为0,1,2,3
所以X的分布列为
EX=
(II)设Y为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得
所以，其中
设
若，则，；
若，则，．
所以当或，可能最大，
所以的取值为6．
【答案】（I）分布列见解析，；（II）.
2.3、求导处理
1．【解构分析】（1）方法一：利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件；
（2）方法一：先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.
【详解】（1）利用导数求最值
件产品中恰有件不合格品的概率为.
因此.
令，得.当时，；当时，.
所以的最大值点为；
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）应该对余下的产品作检验.
2．【解构分析】（1）该事件满足二项分布，由其概率计算公式分别计算随机变量为，，，，4的概率，即可列出分布列，再由np计算均值；
（2）设每台仪器所需费为X元，则X的可能取值为100，400，为100时，即都通过或都不通过，即可计算，再由对立事件概率计算方式求得，即可表示一台仪器花费的数学期望函数，利用导数求得最值，即可判定.
【详解】（1）题意知的所有可能取值为，，，，4，
且服从参数为的二项分布，
所以
，
，
，
，
．
故的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
从而．
（2）设每台仪器所需费为X元，则X的可能取值为100，400．
，．
所以=，
化简得，
令，
，解得，
当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
所以当时，的最大值为．
实施此方案，最高费用为元33000元，不会超过预算．
【答案】（1）的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
从而．
（2）不会超过预算
结构三、类二项分布问题
1.【解构分析】这是一题类二项分布摸球问题，针对的是摸球n次，最后一次实验结果确定，而前n-1次摸球颜色出现的次数确定，而不考虑顺序，利用二项分布公式即可求解.
【详解】取12次球，每次取出红球的概率为，取出白球的概率为，
因为第12次停止，故第12次取的球必为红球，前11次恰好取出9次红球，
所以，
故选：D
【答案】D
2．【解构分析】（1）①利用相互独立事件的概率公式即可求解；
②利用独立重复试验的概率公式分别计算概率，写出分布列，求出数学期望；
（2）设袋子A中有个球，则袋子B中有个球，利用古典概型的概率公式求得p.
【详解】（1）①从A中有放回地摸球，属于独立重复实验，所以概率
②由题意可得：随机变量的取值为0，1，2，3.
..
..
的分布列是：
0 1 2 3
（2）设袋子A中有个球，则袋子B中有个球.
由，得 .
【答案】（1）① ；②分布列见解析；数学期望.
.
3.【解构分析】（1）该生被录取，必须要求前四项最多有一项不合格，且最后一项必须合格，用相互独立事件概率相乘即可。
（2）由题意可知，前四项有两项不合格，即该考生被淘汰，可知最少为2次，最多为5次，分类讨论计算即可。
【详解】（1）若该生被录取，则前四项最多有一项不合格，并且第五项必须合格
记A={前四项均合格}，B={前四项中仅有一项不合格}
则
又A、B互斥，故所求概率为
，
所以该生被录取的概率是；
（2）该生参加考试的项数可以是2，3，4，5.
，
，
2 3 4 5
【答案】（1）（2）
题型三、超几何分布
结构一、比较问题
1．【解构分析】（1）箱子里有10个球中有3个红球，从中取出3个球，的可能取值为0，1，2，3个，分别算出对应的概率，然后使用数学的期望公式求解即可。
箱子里有3个红球，3个白球，取出的3个球中红球个数多于白球个数的情况有3种
①1个红球，2个黑球 ②2个红球，一个黑球 ③3个红球 ④2个红球，一个白球，其中第②④的概率可以放在一起算，即2个红球和一个其它颜色的球，分别计算之后，概率相加。
【详解】（1）取出的3个球中红球的个数为，可能取值为：0，1，2，3，
所以，
，
，
．
所以的数学期望.
（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件，“恰好取出2个红球”为事件，“恰好取出3个红球”为事件，
而，
，
，
所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：
．
【答案】（1）；（2）.
2．【解构分析】（1）确定X可能取值为4，5，6，7，分别求出概率后，由期望公式计算出期望；
（2）Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为和，利用独立事件概率公式求得的概率，再由期望公式计算出期望，根据白球对取到黒球的影响说明期望的大小关系．
【详解】（1）X可能取值为4，5，6，7，
，
；
（2）Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为和 ，
，
，
，
，
.
在将球分装时，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此时甲袋中还有其它球，则该球的干扰作用已经消失，所以同样是要取出4个黑球，调整后的方案总抽取次数的期望更低.
【答案】(1)
(2)6，答案见解析
结构二、超过问题
1．【解构分析】（1）第一问考查频率分布直方图的平均数与中位数问题，平均数为所有小矩形频率乘以中点横坐标之和，中位数为平分矩形面积对应的横坐标。
（2）可能取值为0，1，2，算出各个变量的概率，列出分布列，计算方差。
【详解】（1）①平均值为
②设中位数为，则
解得中位数为
（2）可知其中超过7万人次的有5天
0 1 2
所以
【答案】（1）①4.15，②4.125；（2）分布列见解析，
2．【解构分析】（1）第一问满足超几何分布的计算公式，根据表格，正确看出捐款数大于200与小于200的人数，然后从中各选1人计算相应概率。
（2）可能取值为0，1，2，3，正确计算出相应变量的概率，列出分布列。
【详解】（1）10名员工中捐款数额大于200元的有3人，低于200元的有6人
故选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率为：
（2）由题知，10名员工中捐款数额大于200元的有3人，
则随机变量的所有可能取值为0，1，2，3
，
，
则的分布列为
0 1 2 3
；
（用超几何分布公式计算同样得分）
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
结构三、抽取概率问题
1．【解构分析】（I）第一问根据总数=可以计算出总人数。
（II）先计算出这组的参加者人数为6人，得出所有可能取值为1，2，3，计算出相应的概率，列出分布列，计算方差
（Ⅲ）计算得到这组的参加人数为8人，这组的参加者人数为6人，两组各有2名数学老师，则这组有6人不是数学老师，这组有4人不是数学老师，分别代入公式进行讨论求解。
【详解】（I）这组频率为，所以
（II）这组的参加者人数为，
，
,
,
（Ⅲ）这组的参加者人数为
这组的参加者人数为
恰有1名数学老师的概率为
【答案】（I）40（II）见解析（Ⅲ）
2.【解构分析】（1）第一问通过频率面积之和为1进行求解。
（2）先根据频率分布直方图，分别计算出年平均销售量在，，，的农贸市场家数，再利用分层抽样公式进行计算
（3）由第二问可知，的所有可能取值为、、、，代入期望值与方差计算公式。
【详解】（1）由频率和为，即，解得；
（2）年平均销售量在的农贸市场有（家），
同理可求年平均销售量、、的农贸市场有、、家，
所以抽取比例为，
从年平均销售量在的农贸市场中应抽取（家），
从年平均销售量在的农贸市场中应抽取（家）
从年平均销售量在的农贸市场中应抽取（家），
即年平均销售量在、、的农贸市场中应各抽取、、家；
（3）由（2）知，从、、的大型农贸市场中各抽取家、家、家，
所以随机变量的可能取值分别为、、、，
则，，
，，
的分布列如下表所示：
数学期望为，
方差为.
【答案】（1）；（2）年平均销售量在、、的农贸市场中应各抽取、、家；（3）分布列见解析，，.
结构四、构造求最值问题
4.1、概率作商求最值问题
1．【解构分析】（1）首先求出标鱼占总体的比例，再分析其符合超几何分布，根据超几何分布期望的计算公式即可得到答案.
（2）首先计算出当时，，当时，，
记，计算，从而得到的单调性，最后得到其最大值.
【详解】（1）依题意X服从超几何分布，且，
故．
（2）当时，，
当时，，
记，则
．
由，
当且仅当，
则可知当时，；
当时，，
故时，最大，所以N的估计值为6666．
【答案】(1)20
(2)6666
4.2、作差求参数问题
1.【解构分析】（1）平均分为5组，共检测15可知2个感染者分在同一组，计算所求概率；
（2）分类讨论感染者分在同一组和分在不同小组，计算两种方案总检测次数的期望值，进行比较得出结论.
【详解】（1）现共有50人，由题意先平均分为5组，检测5次，因为共检测15次，所以两个感染者必定分在同一组中，所以共检测15次的概率有两种算法，第一种是分组分配思想，第二种是算一组已经有一名感染者的情况下，选中另一名感染者，即两种算法结果为和，结果均为；
所以k＝5，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率为.
（2）当感染者在同一组时，，，
此时，，
当感染者不在同一组时，，，
此时，，
所以，
，
由题意，
综上：时，采取10合1检测法更适宜．
【答案】(1)
当时，采取10合1检测法更适宜；理由见解析
结构五、类超几何问题
1．【解构分析】（1）利用互斥事件及古典概型的计算公式即可求解；
（2）根据已知条件及放回问题处理办法，利用古典概型的计算公式即可求解；
（3）根据已知条件及不放回问题处理办法，利用古典概型的计算公式即可求解；
【详解】（1）设“ 两球颜色恰好相同的事件”为,则
所以两球颜色恰好相同的概率为.
（2）设“两球颜色恰好不同的事件”为,则
所以两球颜色恰好不同的概率为.
（3）设“取到第三次时停止摸球的事件”为,则
所以取到第三次时停止摸球的概率为.
【答案】（1）；（2）；（3）．
2．【解构分析】（1）由题意可知，只有3个红球，则的可能值为，利用排列组合的应用，即可求出相应的概率，即可写出分布列；
（2）根据题意，每次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，利用独立重复事件求出第四次摸球后停止和第三次摸球后停止的概率，结合题中条件，即可求出的所以可能值.
【详解】解：（1）由题意知，随机变量的可能取值为
的分布列
0 1 2 3
（2）由题意知：
每次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，每次摸球相互独立，
第四次摸球后停止的概率为，
第三次摸球后停止的概率为 ，
所以解得 ，又且
由题意得的所有可能取值为.
【答案】（1）分布列见解析；（2）.
题型四、相互独立事件分布问题
1．【解构分析】（1）由题意分两种情况即可求解；
（2）依题意分别求出0 1 2 3时的概率，列分布列即可求期望值.
【详解】（1）设“3轮获胜”为事件，“5轮获胜”为事件，
3轮：白黑黑：，黑白黑：，
所以，先摸球者3轮获胜的概率为
若进行5轮，前四个球的情况为：黑白白白：，白黑白白：，白白黑白：，白白白黑：，
所以，先摸球者5轮获胜的概率为
（2）由（1）得先摸球者获胜的概率为.
X的所有可能取值为：0 1 2 3，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则.
【答案】(1)；.
(2)分布列见解析，.
2．【解构分析】（1）甲在4局以内（含4局）赢得比赛的情况有：前2局甲赢；第1局乙赢、第2、3局甲赢；第1局甲赢、第2局乙赢、第3、4局甲赢，从而就可以求出概率.（2）根据题意的可能取值为，求出相应的概率，列出分布列，再利用均值公式计算即可.
【详解】（1）用表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”.则，.
.
（2）
的可能取值为.
，
，
.
故的分布列为
2 3 4 5
所以.
【答案】（1）；（2）.
题型五、正态分布
结构一、指定区间的概率
1．【解构分析】（1）第一问根据正态分布，根据对称性可得,从该生产线上随机抽取检测，属于二项分布，用间接法求解较为简便。
（2）由题目的估计值数据，由0.9524=+，所以根据正态分布概率的对成性，=即可求解
【详解】（1）已知检验率服从正态分布，则事件
当生产状态正常时，重复不放回的取个口罩属于独立重复事件，，，
故有：，
而.
（2）由题意知：由平均数近似估计，
则有.
【答案】（1），；（2）.
2．【解构分析】（Ⅰ）第一问根据公式求解样本平均数与方差
（Ⅱ）根据正态分布的概率对称性，，
【详解】（Ⅰ）由题意知：
，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，
所以，
而，
所以，
因此估计该市10000名考生中数学成绩不低于122分的人数为．
【答案】（Ⅰ）110，150；（Ⅱ）1587.
结构二、标准正态分布的应用
1．【解构分析】根据已知条件得即求，由正态曲线的对称性可得答案.
【详解】因为高三年级数学成绩平均分100，方差为36，所以，
所以，即，即求，
由，得，
所以，
那么成绩落在的人数大约为.
故选：D.
【答案】D
2．【解构分析】（1）由题意，得到X服从正态分布，令，得到，
得到，设最录取分数为，根据，求得，即可得到答案；
（2）考生甲的成绩为286分分，得到甲能被录取概率为，得到甲的成绩的人数的概率，集合概率，即可求解.
【详解】（1）设考生成绩X，则由题可知X服从正态分布，即，
令，则，
所以可得，，
，
又因为，则，，，
设最录取分数为，则，，，所以，
即最低录取分数线为266分或267分．
（2）考生甲的成绩为286分分，
所以甲能被录取概率为，
表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，
约有，即考生甲大约排在第200名，排在275名之前，
所以甲能获得高薪.
【答案】（1）266分或267分；（2）甲能获得高薪.
结构三、根据正态曲线的对称性求值
1．【解构分析】考查正态分布指定区间的概率计算，，通过区间概率作差来解决。
【详解】因为随机变量服从正态分布，且，
则，即正态分布曲线的对称轴为，
正态分布的密度曲线的示意图如下，
所以，并且，
则.
故选：B.
【答案】B
2．【详解】由题得，，
所以，，
所以，所以，
所以果实横径在的概率为.
故选：C.
【答案】C
题型六、以离散变量为背景的决策型问题
结构一、以期望为依据
1.1、竞赛问题实际案例
1．【解构分析】（1）由题意得出由随机变量的可能取值为0，20，90，100，170，计算对应的不同随机变量的概率，即可求的数学期望；
（2）计算小明先回答，，问题时随机变量的取值及对应概率，求出均值与（1）比较即可．
【详解】（1）解：可能的取值为0，20，90，100，170，
依题意得：，，
，，
，
所以．
（2）解：设小明先回答类问题，记为小明的累计得分，则的可能取值为0，80，100，150，170．
依题意，，
，，
，
所以
同理设小明先回答类问题，记为小明的累计得分，则的可能取值为0，70，90，150，170，
依题意得，，
，，
，
所以．
因为，所以为使累计得分的期望最大．
故小明应选择先回答类问题．
【答案】(1)80
2．【解构分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式进行求解.
（2）根据相互独立事件的概率乘法公式，利用离散型随机变量的分布列、期望计算公式进行求解，分别算出，最后通过做差算出的取值范围。
【详解】（1）设“学生A按“甲、乙、丙”的顺序答题并最终恰好获得300荣誉积分”为事件，
则.
所以，学生A按“甲、乙、丙”的顺序答题并最终恰好获得300荣誉积分的概率为0.28.
（2）设顺序①答题最后所得的荣誉积分为，按顺序②答题最后所得的荣誉积分为，
则的所有可能取值为0，300，500，600，的所有可能取值为0，200，500，600.
，
，
，
，
所以.
，
，
，
，
所以.
由得.
故当时，学生A按顺序①答题最后所得荣誉积分的期望较高.
【答案】(1)0.28
(2)当时，学生A按顺序①答题最后所得荣誉积分的期望较高.
1.2、零件购买问题实际案例
1．【解构分析】（Ⅰ）根据一台机器三年内更换的易损零件数，能够推出X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，使用相互独立概率计算公式算出各自概率。
（Ⅱ）根据X=16开始，把之前的概率都累加起来，与0.5去比较大小，算出正确的n.
（Ⅲ）分别计算n＝19与n＝20的花费的期望值，根据n＝19与n＝20的期望值大小，选取合适的n.
【详解】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，
P（X＝16）＝（）2，
P（X＝17），
P（X＝18）＝（）2+2（）2，
P（X＝19），
P（X＝20），
P（X＝21），
P（X＝22），
∴X的分布列为：
X 16 17 18 19 20 21 22
P
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
P（X≤18）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）．
P（X≤19）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）+P（X＝19）．
∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．
（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）+P（X＝19）
．
买19个所需费用期望：
EX1＝200（200×19+500）（200×19+500×2）（200×19+500×3）4040，
买20个所需费用期望：
EX2（200×20+500）（200×20+2×500）4080，
∵EX1＜EX2，
∴买19个更合适．
解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，
另一部分为备件不足时额外购买的费用，
当n＝19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04＝4040，
当n＝20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04＝4080，
∴买19个更合适．
【答案】（Ⅰ）X的分布列为：
X 16 17 18 19 20 21 22
P
（Ⅱ）n的最小值为19．
（Ⅲ）买19个更合适
2．【解构分析】（1）计算出、、、的值，进而可求得满足时的值；
（2）根据题意可知，随机变量的可能取值有、、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，并根据实际情况求得时的数学期望；
（3）①将代入回归直线方程可求得结果；
②根据相关系数公式结合已知数据求得的值，进而可得出结论.
【详解】（1）根据图示柱表，易知更换易损零件的频数为的频率为．易损零件的频数为的频率为．
将频率视为概率，且知每台机床易损零件的发生与否是相互独立的，结合图表得：
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
据互斥事件发生的概率知；
．
于是的最小值为；
（2）由（1）进而知，随机变量的可能取值为：、、、、、，
当时，；
当时，；
当时，．
于是分布列为：
进而结合（1）知，当备用的易损零件数时，随机变量取值为、、、、、，需注意的是，虽备用的易损零件数时，但发生的概率仍按实际需要的台机床时计算．
则购买易损零件所产生的实际费用数学期望为
（元）；
（3）①先根据回归方程易知（元），即岁的技工日使用该机床产生的效益为元；
②由方差计算公式知，
即等价化为，
同理．
又，，，据公式求出相关系数则有
．
易知：该机床的技工所产生的日经济效益与技工的年龄具有非常强的相关关系．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，元；（3）①元；②该机床的技工所产生的日经济效益与技工的年龄具有非常强的相关关系.
1.3、奖金期望问题实际案例
1．【解构分析】（1）的所有可能取值为、、、、，
根据频率代替概率计算出对应的概率，列出分布列，计算期望值。
（2）分别计算小王在甲乙两家公司的日工资期望值作为平均工资，哪家期望值越大，小王就选哪家。
【解析】（1）设乙公司送餐员送餐单数为，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，，
故的所有可能取值为、、、、，
故的分布列为：
228 234 240 247 254
故.
（2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：
，
则甲公司送餐员日平均工资为元，
因为乙公司送餐员日平均工资为元，，
所以推荐小王去乙公司应聘.
【答案】（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析.
2.【解构分析】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件，则，
所以两位顾客均享受到免单的概率为；
（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.
，，
，.
故的分布列为，
所以（元）.
若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，
由已知可得，故，
所以（元）.
因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.
【答案】（1）；（2）选择第二种方案更合算.
结构二、以概率为依据
2.1、赛局胜负问题实际案例
1．【解构分析】（1）按照题意，和的取值 分别为0，1，2，3：据此计算A队连胜的场次对应的概率，对其每一个取值进行讨论，即可得出其分布列；
（2）在（1）的基础上，按照数学期望的定义计算即可.
【详解】（1）和的取值 分别为0，1，2，3：
A队连胜3场的概率为 ，
A队连胜2场的概率为 ，
A队恰胜1场的概率为 ，
A队全输的概率为 ，
由于 ， ， ，
， ；
的分布列如下表：
0 1 2 3
P
的分布列如下表：
0 1 2 3
P
（2）在（1）的基础上， ，
；
故答案为：分布列见解析， ， .
【答案】(1)分布列见解析；
(2) ， .
2.2、基于检测零件尺寸的实际问题
1．【解构分析】（1）依题知一个零件的尺寸在之内的概率，可知尺寸在之外的概率为0.0026，而，进而可以求出的数学期望.
（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；
（ii）计算，剔除之外的数据，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剔除之外的数据，剩下数据的样本方差，即为的估计值.
【详解】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，
故.
因此.
的数学期望为.
（2）（i）如果生产状态正常，
一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件
概率只有0.0408，发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由，
得的估计值为，的估计值为，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除之外的数据，
剩下数据的平均数为，
因此的估计值为.
，
剔除之外的数据，
剩下数据的样本方差为，
因此的估计值为.
【答案】（1），（2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）需要. ,
2．【解构分析】（1）利用参考数据计算出、的值，可得出、的估计值，可计算得出、的值，结合题中的数据检验可得出结论；
（2）设选择方案一、方案二的维修所需费用与机器停工总损失额分别为、元，列举出的分布列，计算出、的值，比较大小后可得出结论.
【详解】（1）解：由已知可得，，
所以，，，所以，，，
，故该机器出现了故障.
（2）解：当时，一台机器的总损失额为元；
当时，一台机器的总损失额为元；
当时，一台机器的总损失额为元；
当时，一台机器的总损失额为元.
设选择方案一、方案二的维修所需费用与机器停工总损失额分别为、元，
选择方案一，则元，
选择方案二，则的可能取值有：、、、，
所以，，，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，元，
所以，，故选方案一较好.
【答案】(1)该机器出现了故障
(2)方案一
2.3、摸球选色问题
1.【解构分析】（1）在1次游戏中摸出三个白球，只有一种情况：
甲箱2白球，乙箱1白1黑，属于不放回抽样，代入超几何概率公式计算即可。
由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，由第一问可知摸出2个或三个白球就可以获奖，应把上述两种概率加到一起作为获奖的概率，其中摸出两个白球的情况有两种：
①甲二白，乙两黑
②甲一白一黑，乙一白一黑，由于总获奖概率之和为定值，考虑使用二项分布概率公式。
【详解】（1）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件
①
②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，
又且A2，A3互斥，
所以
（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
由（1），，
，
，
所以X的分布列是
X 0 1 2 3 4
P
显然 ，所以的数学期望E(X)=．
【答案】（1）①，②；（2）分布列见解析，.
2．【解构分析】（1）可能取值为：0，1，2，3，分别计算出概率，根据数学期望公式算期望值。属于比较问题，取三个球，红球个数多于白球个数，无非三种情况
①三红 ②两红一白 ③一红两黑
上述三个事件彼此互斥，发生的概率之和即为所求。
【解析】（1）取出的3个球中红球的个数为，可能取值为：0，1，2，3，
所以，
，
，
．
所以的数学期望.
（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件，“恰好取出2个红球”为事件，“恰好取出3个红球”为事件，
而，
，
，
所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：
．
【答案】（1）；（2）.
题型七、递推型概率问题
结构一、药效鉴定问题
1．【解构分析】（1）首先确定所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合和的值可求得；再次利用累加法可求出.
【详解】（1）由题意可知所有可能的取值为：，，
；；
则的分布列如下：
（2），
，，
（i）
即
整理可得：
是以为首项，为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
，，……，
作和可得：
,
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）.
2．【解构分析】（1）两次试验后，随机变量可能取值为2 3 4，分别计算出概率后得分布列，由期望公式计算期望．
（2）求出的递推关系，得出是等比数列，求得其通项公式后，由累加法可得，从而证得结论成立．
【详解】（1）解：两次试验后，随机变量可能取值为2 3 4
的分布列为
2 3 4
的学期望为
（2）证明：
由已知，
所以，即是以为首项，为公比的等比数列，
．
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）证明见解析.
3、【解构分析】（1）设全班同学在三次专注度监测中完成签到的总人次数为随机变量X，则，在三次专注度监测中完成签到的总分数为随机变量Y，则，求出，从而求出；
（2）得到，构造出，从而得到等比数列，求出的通项公式，进而用累加法求解的通项公式.
【详解】
(1)基于约定①，可以认为每名同学在每次专注度监测中完成签到的概率为0.9，取全班同学在三次专注度监测中完成签到的总人次数为随机变量X，则，取全班同学在三次专注度监测中完成签到的总分数为随机变量Y，则，
∴分．
(2)（Ⅰ）依题意，，，
∴，
又∵，∴为等比数列，
∴，
（Ⅱ）∵，，…，，将这个式子相加得，
∴
【答案】(1)285分
(2)（Ⅰ）；（Ⅱ）
结构二、交通出行问题
1．【解构分析】(1)X的取值为3,4,5,6，讨论每个取值的具体情况即可求出分布列和数学期望；
(2)当得分为n-1时，下一个得分为2则与得分为n构成对立事件，利用对立事件的性质，结合数列的待定系数法，可以求得 与 之间的关系.
【详解】(1)
X=3，则 三人首次都是使用共享单车， ，
X=4，则有一人使用电动车，另外两人使用共享单车， ，
X=5，则有二人使用电动车，剩下一人使用共享单车， ，
X=6，则三人都使用电动车， ，
分布列为：
X 3 4 5 6
P(X)
；
(2)
当得分为n-1时，其概率为 ，如果再得分为2（使用电动车），则得不到n分，
所以 即
；
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
综上， ， 与 的关系为，.
结构三、比赛得分问题
1．【解构分析】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；
（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算.
【详解】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A，乙进球为事件B，A，B相互独立，
由题意得：，，
甲的得分X的可能取值为，
，
所以X的分布列为：
X 0 1
p
.
（2）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，
甲3轮各得1分的概率为，
甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为，
甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分的概率为，
甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为，
所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率.
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)
2．【解构分析】（1）先阅读题意，可得的可能取值为，然后求出对应的概率，然后求出的分布列及期望即可；
（2）结合题意求出，然后求出的值，再利用累加法求数列的通项公式即可.
【详解】解：（1）的可能取值为，
则；
；
.
∴的分布列为：
－1 0 1
期望.
即经过轮投篮，甲得分的期望为分.
（2）①由（1）知，
经过两轮投球，甲的累计得分低的有两种情况：
一是甲两轮都得分为；二是两轮中甲一轮得分，另一轮得分，则.
经过三轮投球，甲累计得分低有四种情况：；；；，
则；
②将的值分别代入得，
得，.
∴，即，
又，所以是首项、公比都是的等比数列.
∴，
∴，
∴数列的通项公式为.
【答案】（1）见解析，（2）①，，②，.
3．【解构分析】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为η，可得，再写出的所有可能取值，分别求出其对应的概率，进而得到的分布列，并求出的数学期望，从而可求得的数学期望；
（2）①直接根据题意可得第一次是甲回答，第二次甲不回答，所以第二次甲回答的概率为；
②先根据题意建立与的关系式，即可证明数列为等比数列，进而可得到的通项公式，从而可比较P7，P8．
【详解】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则，
易知的所有可能取值为0，1，2，
则，
，
，
故的分布列为
0 1 2
P
则，
所以．
（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，∴，则．
②由第n次回答的是甲的概率为，得当n≥2时，第次回答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为，
则，
即，
又，
∴是以为首项，为公比的等比数列，
则，
∴，
∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大．
【答案】(1)12
(2)①，；②证明过程见详解，第7次回答的是甲的可能性比第8次的大.
结构四、传球问题
【解构分析】第一问考查的是列联表的计算，第二问注意分析一下之间的关系，构造等比数列进行求解。
【详解】
（1）假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关.根据列联表数据，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.
（2）(ⅰ)由题意.(ⅱ)第n次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为，第次触球者不是甲的概率为，则，
从而，又，是以为首项，公比为的等比数列.
则，，，
，故第19次触球者是甲的概率大.
【答案】（1）犯错误的概率不超过0.001.
（2）第19次触球者是甲的概率大
结构五、游走问题
1.【解构分析】根据古典概型概率公式可确定①错误；记为第次移动后在底面上的概率，可确定与满足的递推关系式，得到②正确；根据递推关系式和等比数列定义可证得③正确；结合等比数列通项公式推导可得④正确.
【详解】
对于①，第一次移动后，可移动到点，其中位于底面上的点有，
当时，，①错误；
对于②，当时，记为第次移动后在底面上的概率，则表示第次移动后在平面上的概率，
在底面上移动的概率为，由平面移动到底面的概率为，
，，②正确；
对于③，由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，③正确；
对于④，由③知：，，④正确.
故选：C.
【答案】C
2.【解构分析】根据质点运动到点的概率为与前一步到达点（n-1,0）和（n-2,0）的概率之间的关系列出相关关系式，然后进行数列的构造。
【详解】（Ⅰ）P1=，
（Ⅱ）由题意可知，质点到达点（n,0），可分两种情形，由点（n-1,0）右移1个单位或由点（n-2,0）右移2个单位，故由条件可知：（n≥3）
上式可变形为
是以为公比的等比数列．
其首项P2－P1=
（Ⅲ）由（Ⅱ）知Pn－Pn－1=（n≥2）
∴
【答案】（Ⅰ）P1=，
（Ⅱ）证明见解析．
（Ⅲ）
结构六、商场促销问题
【解构分析】第（1）问考察的古典概率问题，注意根据出现的不同次数讨论不同的情况。第（2）问考察第n次购买甲系列的概率与第n-1次购买甲系列的概率之间的关系来构造一个等比数列进行求解。
【详解】
1.（1）由题意基本事件共有：种情况，其中集齐玩偶的个数可以分三类情况，
玩偶中，每个均有出现两次，共种；玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次，共种；玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次，共种，
故．根据题意，先考虑一次性购买个乙第系列盲盒没有集齐玩偶的概率，即，所以．
（2）①由题意可知：，当时，，
∴，所以是以为首项，为公比的等比数列，
∴，
②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作n趋向无穷大，所以购买甲系列的概率近似于，假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，所以，即购买甲系列的人数的期望为40，所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．
【答案】（1）;
（2）
（3）礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个
2.【解构分析】第（1）考察的是分步概率问题；第（2）注意变量X的所有可能情况数，当参加抽奖的用户量小于等于中奖人数的时候，该抽奖活动即结束。
第（3）讨论丙同学在奇数次和偶数次中奖的概率，应用到参加活动次数的期望值中，属于加权类型的概率分布。，在第完整的m-1轮没有中奖之后中奖了，而第次中奖是建立在前轮没有中奖的基础上，第也没有中奖的基础上的。最后根据数列的形式来决定用什么方法进行数列求和。
【详解】
（1）①甲在第一次中奖的概率为，乙在第二次中奖的概率为.
②设甲参加抽奖活动的次数为X，则，
，，
X 1 2 3
P
.
（2）证明：丙在第奇数次中奖的概率为，在第偶数次中奖的概率为.
设丙参加抽奖活动的次数为Y，“丙中奖”为事件A，则，
令，则丙在第次中奖的概率，
在第次中奖的概率，即，
在丙中奖的条件下，在第次中奖的概率为.则丙参加活动次数的均值为
，
设，
，
.
【答案】（1）甲在第一次中奖的概率为，乙在第二次中奖的概率为。
X 1 2 3
P
.
（2）见详解
结构七、来回交换问题
1.【解构分析】
（1）根据列联表公式计算后与特定的概率进行比较即可得出答案。
（2）对于第二问，我们要分情况讨论
①第一次交换后，“领航者号”剩余搜“运输船”的概率为，说明两者交换的只是转移塔，剩余搜“运输船”的概率为，两者交换了一艘运输船，通过古典概率公式即可求解。
②第二次交换后，“领航者号”剩余搜“运输船”的概率为，可能两次换的都是转移塔；也有可能是第一次换的运输船，第二次又换得运输船换回来了，需要分开计算，利用互斥概率公式相加。剩余搜“运输船”的概率为，可以是第一次两者换得运输船，且第二次两者换的是转移塔，或者第一次两者换得转移塔，第二次换得运输船。
③第三次或者更多次交换后，会出现一个新情况，那就是运输船全部给到了“非凡者号”，需要多考虑另外一种情况，最后结合数列的构造法来解决问题。
【详解】
（1）
有的把握认为选择登录空间站的情况与性别相关联
（2）求导得，，
当时，①
，②
，得.从而
（3），所以.③由②，有，又，所以.由③，有.
故.
的概率分布列为：
0 1 2
.
【答案】
（1）有的把握认为选择登录空间站的情况与性别相关联
（2）
（3）
题型八、回归分析问题
8.1、拟合模型选取问题
1．【解构分析】（1）对取对数，得，设，，先建立关于的线性回归方程.
（2）根据所给数据计算，，即可判断那种模型的拟合效果更优，再代入数据计算可得.
【详解】解：（1）对取对数，得，设，，先建立关于的线性回归方程.
， ，
，模型②的回归方程为.
（2）由表格中的数据，有30407>14607，即，
即，，模型①的相关指数小于模型②的，
说明回归模型②的拟合效果更好.
2021年时，，
预测旅游人数为（万人）.
【答案】（1）；（2）回归模型②的拟合效果更好，987
8.2、生活实际方案问题
1．【解构分析】（1）相关系数越接近1，线性相关性越强，根据表中数据的特征及相关系数绝对值的大小可判断方案二更合适.
（2）设只开实体店的店主人数为，则服从二项分布，利用公式可得分布列及数学期望.
【详解】（1）选取方案二更合适，理由如下：
①中介绍了，随着网购的普及，实体店生意受到了强烈的冲击，从表格中的数据可以看出从2014年开始，纯利润呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019年的实体店纯利润收入可能会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据.
②相关系数越接近1，线性相关性越强，因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值，我们没有理由认为与具有线性相关关系；而后5年的数据得到的相关系数的绝对值，所以有的把握认为与具有线性相关关系.
（仅用①解释得3分，仅用②解释或者用①②解释得6分）
（2）此调查统计结果作为概率，从上述统计的店主中随机抽查了1位，开网店的概率为，只开实体店的概率为，
设只开实体店的店主人数为，则，
，，
，，
，，
所以，的分布列如下：
0 1 2 3 4 5
∴，故.
【答案】（1）选取方案二更合适（2），分布列见解析专题06、离散变量与分布列 1
题型一、离散变量的数字特征 2
题型二、二项分布相关运算 3
结构一、二项分布期望值与方差计算 3
结构二、二项分布最大值的求解 4
2.1、 4
2.2、 4
2.3、求导处理 5
结构三、类二项分布问题 7
题型三、超几何分布 8
结构一、比较问题 8
结构二、超过问题 9
结构三、抽取概率问题 11
结构四、构造求最值问题 13
4.1、概率作商求最值问题 13
4.2、作差求参数问题 13
结构五、类超几何问题 14
题型四、相互独立事件分布问题 15
题型五、正态分布 16
结构一、指定区间的概率 16
结构二、标准正态分布的应用 19
结构三、根据正态曲线的对称性求值 20
题型六、以离散变量为背景的决策型问题 21
结构一、以期望为依据 21
1.1、竞赛问题实际案例 21
1.2、零件购买问题实际案例 22
1.3、奖金期望问题实际案例 24
结构二、以概率为依据 26
2.1、赛局胜负问题实际案例 26
2.2、基于检测零件尺寸的实际问题 27
2.3、摸球选色问题 29
题型七、马尔科夫链之递推型概率问题 30
结构一、药效鉴定问题 30
结构二、交通出行问题 32
结构三、比赛得分问题 33
结构四、传球问题 33
结构五、游走问题 33
结构六、商场促销问题 33
结构七、来回交换问题 33
题型八、回归分析问题 39
8.1、拟合模型选取问题 39
8.2、生活实际方案问题 41
专题06、离散变量与分布列
题型一、离散变量的数字特征
【能量补给站】
(
亲爱的同学们，不知不觉就到了我们的最后一章了，一路走来，相信你们一定学到了很多，不负韶华，挥洒青春的汗水，一起来初识离散变量吧
~
离散变量的分布列：
)
1.下列正确命题的个数是（ ）
①已知随机变量X服从二项分布，若，，则；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
③在某市组织的一次联考中，全体学生的数学成绩，若，现从参加考试的学生中随机抽取3人，并记数学成绩不在的人数为，则；
④某人在12次射击中，击中目标的次数为X，，则当或概率最大．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.下列说法中正确的是（ ）
A．已知随机变量服从二项分布.则
B．“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件
C．已知随机变量的方差为，则
D．已知随机变量服从正态分布且，则
题型二、二项分布相关运算
【能量加油站】
(
同学们接着看一下分布列第一篇：二项分布，你们是最棒的！
①
二项分布的概率公式：
②
二项分布的期望值与方差：独立重复实验
，
，
)
结构一、二项分布期望值与方差计算
【火眼金睛】
二项分布期望值与方差的计算，一般题目会给出均值与方差，然后将其进行联立来求解实验次数与单次实验的概率
1．已知某运动员投篮命中率，并且每次投篮都是独立的，他重复5次投篮时，投中次数x服从二项分布，则x的均值与方差分别为
A．0.6；0.24 B．3；1.2 C．3；0.24 D．0.6；1.2
2．设随机变量服从二项分布，且期望，其中，则方差等于
A．15 B．20 C．50 D．60
结构二、二项分布最大值的求解
【火眼金睛】
此类二项分布求最值题型我们一般采用以下三种方法进行求解
①
②
③求导处理一般是用来解决计算量比较大或者指数比较大的类型
2.1、
1．（湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研数学试题）已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．时，
C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小
2.2、
1．（多选）已知随机变量，若使的值最大，则k等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2016届河北省石家庄市高三二模理科数学）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如下表：
从本市随机抽取了户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到下面茎叶图：
（I）现要在这户家庭中任意选取家，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与数学期望；
（II）用抽到的户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取户，若抽到户月用水量为二阶的可能性最大，求的值.
2.3、求导处理
1．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；
（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
2．某工厂生产了一批高精尖的仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家检测仪器的可靠性，每台仪器被每位专家评议为“可靠”的概率均为，且每台仪器是否可靠相互独立．
（1）当，现抽取4台仪器，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列和数学期望；
（2）为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测．若三位专家检测结果都为不可靠，则仪器报废．其余情况，仪器需要回厂返修．拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费．现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算3.3万元用于检测和维修，问费用是否有可能会超过预算？并说明理由．
结构三、类二项分布问题
【火眼金睛】
一般是考查摸球或考试通关问题，与二项分布联系比较密切，但是有区别，二项分布只有发生某事与不发生某事的概率，而类二项分布概率比较多。且一般除了某一次确定之外，其余实验结果确定，但是没有顺序要求，部分结构可以按照二项分布的概率公式来写。
1．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（ ）
A． B． C． D．
2． 袋子和中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸一个红球的概率是，从中摸出一个红球的概率为p.
（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球则停止.
①求恰好摸5次停止的概率；
②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及数学期望.
若A、B两个袋子中的球数之比为1：2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值.
3.某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为
（1）求该生被录取的概率；
（2）记该生参加考试的项数为，求的分布列和期望．
题型三、超几何分布
【能量补给站】
(
分布列第二篇：超几何分布，恭喜同学们又学到了新知识。
①
超几何分布的概率公式：
②
超几何分布的期望值与方差：从含有
期望值为
③
期望与方差的一般公式：
，
)
结构一、比较问题
【火眼金睛】
此类结构解决的是一个元素比另外一个元素多的概率，需要我们去讨论不同情况的概率，最后把概率相加即为最后的答案。
1．（2020·辽宁沈阳市）在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：
（1）取出的3个球中红球的个数为，求的数学期望；
（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.
(1)记总的抽取次数为X，求E（X）；
(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.
结构二、超过问题
【火眼金睛】
此类问题考查的是单独的一个元素超过所设标准的概率，也是需要把不同情况加起来算概率
特别需要注意的点是随机变量的所有可能取值一定要写全，注意用概率之和为1来验证结果的正确性。
1．（2020·西藏拉萨市）港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥.它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹.截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录.
2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如下
（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图.估计客流量的平均数.
②求客流量的中位数.
设这100天中客流量超过5万人次的有天，从这天中任取两天，设为这两天中客流量超过7万人的天数.求的分布列和期望．
2．（2021·山东德州市）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，某大型企业组织员工进行爱心捐款活动．原则上以自愿为基础，每人捐款不超过300元，捐款活动负责人统计全体员工数据后，随机抽取的10名员工的捐款数额如下表：
员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
捐款数额 120 80 215 50 130 195 300 90 200 225
（1）若从这10名员工中随机选取2人，则选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；
（2）若从这10名员工中任意选取4人，记选到的4人中捐款数额大于200元的人数为，求的分布列和数学期望．
结构三、抽取概率问题
【火眼金睛】
此类结构是频率分布直方图与超几何分布问题的结合，考察了古典概率问题，对分布列与概率计算的熟练度有所要求，注意看图写题。
1．（2020·青铜峡市高级中学）某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有个人参加．现将所有参加者按年龄情况分为等七组.其频率分布直方图如图所示，已知这组的参加者是6人．
（I）根据此频率分布直方图求；
（II）组织者从这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为，求的分布列、均值及方差.
（Ⅲ）已知和这两组各有2名数学教师．现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率
2.年初，习近平在《告台湾同胞书》发表周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥.要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量单位：吨，以、、、、、、分组的频率分布直方图如图.
（1）求直方图中的值；
（2）在年平均销售量为、、、的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取家大型农贸市场，求年平均销售量在、、的农贸市场中应各抽取多少家？
（3）在（2）的条件下，再从、、这三组中抽取的农贸市场中随机抽取家参加国台办的宣传交流活动，记恰有家在组，求随机变量的分布列与期望和方差.
结构四、构造求最值问题
【火眼金睛】
当我们遇到超几何的最值问题时，要根据概率或期望值的公式类型去分别处理
①指数型：前后项作商与1比大小
②一次或二次式的期望值比大小常用做差法比大小。
4.1、概率作商求最值问题
1．一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．
(1)若，求的数学期望；
(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值）．
4.2、作差求参数问题
1.在检测中为减少检测次数，我们常采取“合1检测法”，即将个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则改需对本组的每个人再做检测．现有人，已知其中有2人感染病毒．
(1)若，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率；
(2)设采取“5合1检测法”的总检测次数为，采取“10合1检测法”的总检测次数为，若仅考虑总检测次数的期望值，当为多少时，采取“10合1检测法”更适宜？请说明理由．
结构五、类超几何问题
【火眼金睛】
此类问题与超几何分布有些相似，但是有所区别，一般情况下不是一次取得的，而是分为好几步来处理，是与古典事件的概率有所联系的，对于这种问题，我们要根据事件有无顺序要求，来解出总的事件数以及每一步骤的方法数，利用比值关系即可求解。
1．一盒中放有黑球和白球，其中黑球4个，白球5个.
（1）从盒中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率.
（2）从盒中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率.
（3）从盒中不放回的每次摸一球，若取到白球则停止摸球，求取到第三次时停止摸球的概率.
2．袋中装有若干个质地均匀、大小一致的红球和白球，每次从袋中摸出一个球，若累计三次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第5次摸球后结束.
（1）若袋中共8个球，其中红球3个，白球5个，采用不放回摸球方式，记摸球结束后摸到红球的次数为，求随机变量的分布列；
（2）若袋中共有10个小球，且红球个数与白球个数之比为，采取有放回的摸球方式，若第四次摸球后停止摸球的概率大于第三次摸球后停止摸球的概率，求所有可能取值.
题型四、相互独立事件分布问题
1．有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中（3个白球和2个黑球）轮流摸出1球（摸后不放回），摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏.
(1)分别求先摸球者3轮获胜和5轮获胜的概率；
(2)小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小李先摸球，并且规定某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球.每次游戏获胜得1分，失败得0分.记3次游戏中小李的得分之和为X，求X的分布列和数学期望.
2．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.
题型五、正态分布
【能量补给站】
(
小可爱们，坚持就是胜利，我们又进步一些啦！
①
正态分布的概率公式：
，
②
当
时，令
，则
．
（标准正态分布的转化）
)
结构一、指定区间的概率
【火眼金睛】
遇到此类问题，有的题目当中没有给出具体数据，我们可以熟记以下特殊概率帮助解题。
1．（2020·全国高三专题练习）标准的医用外科口罩分三层，外层有防水作用，可防止飞来进入口罩里面，中间层有过滤作用，对于直径小于5微米的颗粒阻隔率必须大于，近口鼻的内层可以吸湿，根据国家质量监督检验标准，过滤率是重要的参考标准，为了监控某条口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个口罩，并检验过滤率.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的口罩的过滤率服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的个口罩中过滤率小于的数量，求及的数学期望；
（2）下面是检验员在一天内抽取的10个口罩的过滤率：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.9376 0.9121 0.9424 0.9572 0.9518 0.9058 0.9216 0.9171 0.9635 0.9268
经计算得：，（其中为抽取的第个口罩的过滤率）用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用该正态分布，求（精确到）
（附：若随机变量服从正态分布，则①；②；③；另：）
2．（2020·全国高三专题练习）从某市的一次高三模拟考试中，抽取3000名考生的数学成绩（单位：分），并按， ， ， ， ，分成7组，制成频率分布直方图，如图所示．
（Ⅰ）估计这3000名考生数学成绩的平均数和方差 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可认为该市考生数学成绩服从正态分布，其中，分别为（Ⅰ）估中的和方差，据此估计该市10000名考生中数学成绩不低于122分的人数（结果精确到整数）．附：．若，则．
结构二、标准正态分布的应用
【火眼金睛】
当时，令，则．通过这种形式的转化，我们可以将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题。
1．正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，，那么成绩落在的人数大约为（ ）
A．756 B．748 C．782 D．764
2．“公平正义”是构建社会主义和谐社会的重要特征之一，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？
某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布）．考试后考生考试成绩的部分统计结果如下：
考试平均成绩是180分，360分及以上的高分考生有30名．
（1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数）
（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．
参考资料：①当时，令，则．
②当时，，，，．
结构三、根据正态曲线的对称性求值
【火眼金睛】
对于正态分布，由是正态曲线的对称轴知：
(1)对任意的，有；
(2)
(3)．
(4)关于对称的两侧区间概率相等，若左右两边关于对称，则
1．已知随机变量ξ服从正态分布，则（ ）
A．0.26 B．0.24 C．0.48 D．0.52
2．（2020·全国高三专题练习）重庆奉节县柑橘栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚 脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果 中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径(单位：)服从正态分布，则果实横径在的概率为（ ）
附：若，则；.
A．0.6827 B．0.8413 C．0.8186 D．0.9545
题型六、以离散变量为背景的决策型问题
结构一、以期望为依据
1.1、竞赛问题实际案例
1．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，，三类问题，每位参加比赛的同学先在三类问题中随机选择一类，并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从剩下的两类问题中随机选择一类并从中抽取一个问题回答，回答错误则该同学比赛结束；若回答正确，则从剩下的最后一类问题中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，类问题中的每个问题回答正确得70分，否则得0分．已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，能正确回答类问题的概率为0.7．且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的期望．
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
2．为了庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开，某校组织了一次党史知识竞赛.已知知识竞赛中有甲、乙、丙三个问题，规则如下：（1）学生可以自主选择这三个问题的答题顺序，三个问题是否答对相互独立；（2）每答对一个问题可以获取本题所对应的荣誉积分，并继续回答下一个问题，答错则不可获取本题所对应的荣誉积分，且停止答题.已知学生A答对甲、乙、丙三个问题的概率及答对时获得的相应荣誉积分如下表.
问题 甲 乙 丙
答对的概率 0.8 0.5
答对获取的荣誉积分 100 200 300
(1)若，求学生A按“甲、乙、丙”的顺序答题并最终恰好获得300荣誉积分的概率；
(2)针对以下两种答题顺序：①丙、乙、甲；②乙、丙、甲，当满足什么条件时，学生A按顺序①答题最后所得荣誉积分的期望较高
1.2、零件购买问题实际案例
1．（2016 新课标Ⅰ）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
2．某厂计划购买台机床，该种机床使用四年后即被淘汰，并且在使用过程中机床有一易损零件，若在购进机床同时额外购买这种易损零件作为备用件，此时每个只需元．在使用期间如果备件不足再购买，则每个要元．所以在购买前要决策购买数目．使得该厂购买机床时搭配的易损备用零件费用最省．为此业内相关人员先搜集了台以往这种机床在四年内更换的易损零件数，并整理数据后得如下柱状图．
以这台机床更换的易损零件数的频率代替每台机床更换的易损零件数发生的概率．记表示台机床四年内实际共需更换的易损零件数，表示购买台机床的同时备用的易损零件数目，为购买机床时备用件数发生的概率．
（1）求时的最小值；
（2）求的分布列及备用的易损零件数时的数学期望；
（3）将购买的机床分配给名年龄不同（视技术水平不同）的人加工一批模具，因熟练程度不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同．若用变量表示不同技工的年龄，变量为相应的效益值（元），根据以往统计经验，他们的每日工作效益满足最小二乘法和关于的线性回归方程，已知他们年龄的方差为，所对应的效益方差为.
①试预测年龄为岁的技工使用该机床每日所产生的经济效益；
②试根据的值判断使用该批机床的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱．
附：下面三个计算回归直线方程的斜率和截距及表示随机变量与相关关系强弱的系数计算公式：，.
1.3、奖金期望问题实际案例
1．（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中）甲 乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 10 15 10 10 5
乙公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 5 10 10 20 5
若将频率视为概率，回答下列两个问题：
（1）记乙公司送餐员日工资为(单位：元)，求的分布列和数学期望；
（2）小王打算到甲 乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.
2.2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状 大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状 大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
结构二、以概率为依据
2.1、赛局胜负问题实际案例
1．A，B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是，，，B队队员是，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负的概率如下表：
对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率
对
对
对
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设，分别表示A队、B队最后所得总分．求：
(1)，的分布列；
(2)，．
2.2、基于检测零件尺寸的实际问题
1．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.
2．为了监控某台机器的生产过程，检验员每天从该机器生产的零件中随机抽取若干零件，并测量其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这台机器正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．检验员某天从生产的零件中随机抽取个零件，并测量其尺寸（单位：）如下：
将样本的均值作为总体均值的估计值，样本标准差作为总体标准差的估计值．
根据生产经验，在一天抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为该机器可能出现故障，需要停工检修．
(1)试利用估计值判断该机器是否可能出现故障；
(2)若一台机器出现故障，则立即停工并申报维修，直到维修日都不工作．
根据长期生产经验，一台机器停工天的总损失额，、、、（单位：元）．现有种维修方案（一天完成维修）可供选择：
方案一：加急维修单，维修人员会在机器出现故障的当天上门维修，维修费用为元；
方案二：常规维修单，维修人员会在机器出现故障当天或者之后天中的任意一天上门维修，维修费用为元．
现统计该工厂最近份常规维修单，获得机器在第天得到维修的数据如下：
频数
将频率视为概率，若机器出现故障，以机器维修所需费用与机器停工总损失额的和的期望值为决策依据，应选择哪种维修方案？
参考数据：，．参考公式：，．
2.3、摸球选色问题
1.（2020·辽宁大连市）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（1）求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；
（2）求在4次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.
2．（2020·辽宁沈阳市）在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：
（1）取出的3个球中红球的个数为，求的数学期望；
（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．
题型七、马尔科夫链之递推型概率问题
【能量补给站】
此类题型是属于递推数列与概率融合的试题，属于不同章节交汇试题，命题背景一般比较新颖。
从数列层面来说，主要分一阶递推关系和二阶递推关系。一阶递推关系简单来说就是找下一状态发生概率与上一状态发生概率的关系，而二阶递推关系简单来说就是找相邻三项发生概率之间的关系，这种情况一般较为复杂，找到关系后一般通过数列通项的待定系数法构造等比数列，从而求出通项公式，有时也会用于进一步求和，相关递推公式有以下两种
①
②
结构一、药效鉴定问题
1．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
2．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病.新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，人感染了冠状病毒后常见体征有呼吸道症状 发热 咳嗽 气促和呼吸困难等.日前正在世界范围内广泛传播，并对人类生命构成了巨大威胁.针对病毒对人类的危害，科研人员正在不断研发冠状病毒的抑制剂.某种病毒抑制剂的有效率为60%，现设计针对此抑制剂的疗效试验：每次对病毒使用此抑制剂，如病毒被抑制，得分为2分，如抑制剂无效，得分1分，持续进行试验.设得分为时的概率为.
（1）进行两次试验后，总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；
（2）求证：.
3．近两年因为疫情的原因，同学们对于居家上网课的情景越来越熟悉了．相较于在学校教室里线下课程而言，上网课因为少了课堂氛围，难于与老师和同学互动，听课学生很容易走神．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：
①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；
②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．
请回答如下两个问题：
(1)若某班级共有50名学生，一节课老师会进行三次专注度监测，那么全班同学在三次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？
(2)计某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n分的概率为（比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2的概率，），试探求：
（Ⅰ）的通项公式；
（Ⅱ）的通项公式．
结构二、交通出行问题
1．为了方便出行，缓解交通压力，保护环境，推进生态文明建设，市政府大力推行共享交通工具出行．某企业根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品，市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受市民欢迎．一般使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为，该企业为了促进市民消费，使用共享电动车一次记2分，使用共享单车一次记1分，每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立．
(1)从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)记某一市民已使用该企业共享交通工具的累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2分的概率，），试探求与之间的关系，并求数列的通项公式．
结构三、比赛得分问题
1．甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．
(1)经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；
(2)求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．
2．为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）.在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置上，甲先投，每人投一次篮，两人有人命中，命中者得分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得分.设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响.
（1）经过轮投篮，记甲的得分为，求的分布列及期望；
（2）若经过轮投篮，用表示第轮投篮后，甲的累计得分低于乙的累计得分的概率.
①求；
②规定，经过计算机模拟计算可得，请根据①中值求出的值，并由此求出数列的通项公式.
3．某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为，若．
①求P2，P3；
②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
结构四、传球问题
（2022年广东东莞第四中学高三阶段练习）足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到列联表如下：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男性 60 40 100
女性 20 80 100
合计 80 120 200
则依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为，即.
（i）求(直接写出结果即可)；
（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小.
结构五：游走问题
1.在正三棱柱中，若点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动次后还在底面的概率为，有如下说法：①；②；③为等比数列；④，其中说法正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．质点在轴上从原点出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到点的概率为．
（Ⅰ）求和；（Ⅱ）用表示，并证明是等比数列； （Ⅲ）求．
结构六、商场买东西问题
1、（2022年全国高三专题练习）某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶中的一个．
（1）记事件：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶；事件：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐玩偶；求概率及；
（2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第n次购买甲系列的概率为．
①；
②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．
2、（2022年全国高三专题练习）随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降价飞入寻常百姓家．某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广.
（1）公司内部测试的活动方案设置了第次抽奖中奖的名额为，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个．若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束.
参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中.
①请分别求出甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率；
②请求出甲参加抽奖活动次数的分布列和期望.
（2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广.
报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第次抽奖中奖的概率为，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行次，已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于.
结构七、来回交换问题
1.（2023年新高考模拟演练）人类探索浩瀚太空的步伐从未停止，假设在未来，人类拥有了两个大型空间站，命名为“领航者号”和“非凡者号”。其中“领航者号”空间站上配有搜“运输船”和搜“转移塔”，“非凡者号”空间站上配有搜“转移塔”。现在进行两艘飞行器间的“交会对接”。假设“交会对接”在年中重复了次，现在一名航天员乘坐火箭登上这两个空间站中的一个检查“领航者号”剩余飞行器情况，记“领航者号”剩余搜“运输船”的概率为，剩余搜“运输船”的概率为。其中宇航员的性别与选择所登录空间站的情况如下表所示。
男性宇航员 女性宇航员
“领航者号”空间站 380 220
“非凡者号”空间站 120 280
0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）是否有的把握认为选择登录空间站的情况与性别相关联；
（2）若为函数极大值的倍，求与的递推关系式；
（3）求的分布列与数学期望.
题型八、回归分析问题
【火眼金睛】
近年来的回归分析问题考察力度有加大的趋势，与生活实际联系的更加紧密。遇到此类问题，首先我们注意仔细审题，一个是根据散点图选取合适方程，另外一个是深层次的方案选择问题，主要依据期望值或者其它类型为标准作为决策依据。
8.1、拟合模型选取问题
1．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：
第年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
旅游人数（万人） 300 283 321 345 372 435 486 527 622 800
该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型：
模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．
（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（精确到个位，精确到0．01）．
（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．
回归方程 ① ②
30407 14607
参考公式、参考数据及说明：
①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．②刻画回归效果的相关指数；③参考数据：，．
5．5 449 6．05 83 4195 9．00
表中．
8.2、生活实际方案问题
1．随着网上购物的普及，传统的实体店遭受到了强烈的冲击，某商场实体店近九年来的纯利润如下表所示：
年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
时间代号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
实体店纯利润（千万） 2 2.3 2.5 2.9 3 2.5 2.1 1.7 1.2
根据这9年的数据，对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.254；根据后5年的数据，对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.985；
（1）如果要用线性回归方程预测该商场2019年实体店纯利润，现有两个方案：
方案一：选取这9年的数据，进行预测；
方案二：选取后5年的数据进行预测.
从生活实际背景以及相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适.
附：相关性检验的临界值表：
小概率
0.05 0.01
3 0.878 0.959
7 0.666 0.798
（2）某机构调研了大量已经开店的店主，据统计，只开网店的占调查总人数的，既开网店又开实体店的占调查总人数的，现以此调查统计结果作为概率，若从上述统计的店主中随机抽查了5位，求只开实体店的人数的分布列及期望.
