4.3对数 教学设计

4.3 对数（2课时，单元教学设计）
高一年级数学
一、教学内容及其解析
1. 内容
本单元的知识结构如下：
本单元包括对数的概念，对数的运算性质.
本单元共2课时，第一课时的主要内容是对数的概念，课型为概念课，第二课时的主要内容是对数的运算性质及法则，课型为原理课.
2.内容解析
对数的概念及其运算是对数函数的学习基础. “对数”的内容安排在“指数函数与对数函数”一章的第三节，是在学习指数幂运算的基础上，通过实际问题的提出，从而建立对数的概念。由指数运算法则进而提出对数运算法则，本节为后续的对数函数的学习奠定基础.培养学生数学运算、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养.
在数学发展史上，先有对数，然后才有指数幂.后来，随着数学公理化体系的逐步建立，一般安排先学习指数幂，再学习对数，在指数幂概念及运算的基础上，引入对数的概念及其运算，这符合学生的认知规律，也比较自然.因此对数是在学生已有的指数幂的知识基础上进行学习，主要是在于掌握对数式与指数式之间的互化关系进行运算和对数的运算性质，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数的进行运算.
引入对数与指数之间的转化关系，是对数知识的基础内容，是为了后面能够更好的理解对数函数而设计的，所以单独考查本节知识的情况不是很多.
基于以上分析，确定本单元的教学重点：指数式与对数式的互相转化，运用对数运算性质及换底公式进行运算，求值、化简.
二、教学目标及其解析
1.目标
（1）通过具体实例，认识到引入对数的必要性，理解对数式与指数式互化的本质及相关概念之间的联系，形成对数的概念，能熟练地进行对数式与指数式的互化. （注：这是本堂课的教学目标．）
（2）了解常用对数与自然对数的意义，理解对数恒等式并能运用于有关对数计算.（注：这是本堂课的教学目标．）
（3）经历及体验对数运算性质推导的过程，探究对数运算性质与幂的运算法则之间联系.能应用对数的运算性质及对数换底公式进行化简、求值和计算.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能通过具体实例，理解对数式中的真数、底数、对数的意义，为下面学习对数函数作铺垫，认识到引入与指数幂运算有关的另外一种运算的必要性，并归纳概括为：已知底数和幂，求指数，就是要学习的对数.
（2）理解并能熟练地进行对数式与指数式的互化.
（3）了解常用对数与自然对数的意义，理解对数恒等式并能运用于有关对数计算。
（4）能运用对数的运算性质进行具体数值的计算，会利用对数的换底公式，将其他底数的对数转化为自然对数或常用对数，实现其他底数的对数的运算.
三、教学问题诊断分析
在本单元学习过程中，学生可能会遇到三个主要困难.
第一个困难是对于学生而言，前面已经学习了指数的概念，而对数式与指数式是可以互相转化的，从这个角度切入学生的兴趣比较高，但是对数这种形式的数，学生之前没有接触过，在书写和使用上存在着一定的困难，需要一段时间来适应.
第二个困难是对数运算性质的推导有多种方法，既可以从左向右推，也可以从右向左推，教学中学生对于对数的运算性质推导过程可能会存在困惑，特别是关于法则的逆运算，理解它的关键就是通过实例使学生认识对数式与指数式的关系，分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化，通过实例推导对数的运算性质。
第三个困难是学生往往在运用中会忘记真数必须大于零在运算式中的限制.
综上所述，本单元的教学难点：对数符号的认识，学生容易忘记对数的真数大于零对运算式的限制，对数运算法则的逆运算.
四、教学支持条件分析
在本单元的教学中，学习对数时，可以利用多媒体展示引入的实际问题，提高课堂效率，利用投影展示计算器的界面，帮助学生学习常用对数与自然对数，在学习完对数后，可以播放有关对数来源的介绍视频，增加学生的数学文化知识.
五、课时教学过程设计
本单元教学的基本流程如下：
第一课时 对数的概念
【教学内容】对数的概念.
【教学目标】
（1）通过具体实例，认识到引入对数的必要性，理解对数式与指数式互化的本质及相关概念之间的联系，形成对数的概念，并归纳概括为：已知底数和幂，求指数，就是要学习的对数.
（2）理解并能熟练地进行指数式与对数式之间的互化.
（3）了解常用对数与自然对数的意义，理解对数恒等式并能运用于有关对数计算.
【教学重点】指数式与对数式的互相转化及其运用.
【教学难点】对数符号的认识.
【教学过程设计】
（一）引入概念
问题1:在4.2.1的问题中，通过指数幂运算，我们能从中求出经过年后B地景区的游客人次为2001年的倍.反之，如果要预判经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…,那么该如何解决？
追问：，这里的能否借助已有知识解释？你能表示它吗？
师生活动: 教师提出问题，学生观察思考后回答问题，可通过求解方程解决，继续思考如何表示. 根据情况教师进行补充说明：利用已有知识无法表示.
设计意图：开门见山，通过对上节问题的提问和引伸，提出新问题，从而理解对数的实际意义，自然地引出对数概念,同时为后续学习对数函数做铺垫，培养和发展逻辑推理和数学运算的核心素养.
（二）形成概念
一般地，如果,那么数叫做以为底N的对数，记作，其中叫做对数的底数，N叫做真数.
思考：所有的实数都有对数吗？
追问：零与负数为什么没有对数？
举例：，则16,所以2是以4为底16的对数.
5，所以5是以2为底32的对数.
3 , 所以3是以5为底125的对数.
, 所以是以2为底138的对数.
问题2：我们可不可以判断中值的大约位置，或者说在哪两个连续整数之间？
追问：按照2的1次方等于2，2的2次方等于4，.......我们能不能推断出138接近于2的几次方呢？
分析：分析：
128<138<256
所以7< <8， 是一个无理数.
问题3：阅读教材P122：什么是常用对数和自然对数？
师生活动：教师板书概念，首先强调书写格式,引出对数的概念并板书，明确书写格式，举出例子说明对数，其次强调概念中底数的限制，规定, 学生明确真数大于0就是负数和0没有对数，原因与底数取值范围的限制有关，接着学生自己阅读教材找到两个常见的对数，教师进行补充说明，展示计算器中的两个按键，可以用投影为同学们演示计算.
设计意图：规范对数的书写，避免因书写不规范而产生的错误，正确理解概念中底数的限制，学生自己阅读教材找答案，加深印象，为以后计算和应用换底公式做准备.
（三）概念精致（指数式与对数式的互化）
问题4：欧拉指出：“对数源于指数”，结合概念，你是如何理解这句话的？
追问： （1）式子与有什么关系？
（2）a，x，N在两个式子中分别代表什么？
.
师生活动：学生明确指数式和对数式之间可以互化,理解对数运算是指数运算的逆运算.
设计意图：加深对对数的概念的理解，明确在指数式的底数、指数、幂和对数式的底数、真数、对数的意义及联系, 理解对数与指数的关系，进而加深对对数的概念的理解，发展学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养.
（四）概念巩固
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
师生活动：教师出示例1，强调对数中的底数、真数等在指数式中的各自位置.分析进行指数式与对数式的相互转化，关键是要抓住对数与指数幂之间的关系，以及每个量在对应式子中扮演的角色，教师示范题目过程，理解（3）中和（6）中是一个无理数，2.303是一个近似值，再请同学自己完成教材p123页练习第1题.
例2 求下列各式中的值.
(1) (2)
(3) (4)
师生活动：教师再出示例2，先让学生观察题目的形式，发现都是对数式与指数式互化的题目，而未知数的位置各不相同，需要先把对数式化成我们熟悉的指数式后再求未知数的值，提示学生当真数是一个常数时，通常把这个常数分解成幂或幂的积的形式.教师板书示范题目过程，请同学完成教材p123页练习第2题.
设计意图：明确指数式与对数式之间的转化关系，了解引入对数的必要性，通过典例问题的分析，让学生进一步熟悉指数式与对数式的转化，深化对对数概念的理解.
对数的常用结论和对数恒等式
例3 求下列各式的值：
结论1 ，即1的对数是0.
结论2 ，即底数的对数是1.
思考：指数式：转化为对数式可以得到：,若将对数式的代入指数式中，我们会得到什么结论呢
结论3 对数恒等式：.
师生活动：学生独立完成求值，教师引导学生观察本题中求值式子的特点，并进行总结对数的相关性质和对数恒等式.
设计意图：通过例题探究进一步理解对数的概念，并引导学生运用指数式和对数式的互化关系探究得出对数的常用结论和对数恒等式，简化对数的计算，加深指数式和对数式互化的理解，发展学生数学运算和逻辑推理核心素养.
（五）课堂小结
教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答下列问题:
（1）指数式和对数式之间有什么关系
（2）常用对数和自然对数的底数各是什么
师生活动：教师通过提问引导学生对本节课内容进行回顾反思，根据学生的回答教师进行补充说明.
设计意图：巩固本节学习成果，总结学习要点.
（六）知识拓展
1.对数的起源：（可根据课堂时间选择播放视频）
16世纪前半叶，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易，特别是地理探险需要更准确的天文知识。需要对庞大的“天文数据”进行快速和准确的计算，但那时候还没有计算机，人们迫切需要找到一种方法提高运算效率，那该怎么办呢？
苏格兰数学家纳皮尔找到了简化大数运算的有效工具——对数.
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。
2.介绍对数在现实生活中的应用：
师生活动：教师向学生展示对数在其他生活领域上的应用，并与实际生活相结合.
设计意图：介绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性，激发学生学习对数的兴趣，对知识进行拓展，增加学生的数学文化知识.
六、教学评价设计
（一）目标检测（第1课时）
1．在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是
2．判断下列指数式与对数式互化是否正确
（1）100＝1与lg 1＝0 （2）27＝与log27＝－
（3）log39＝2与9＝3 (4) log55＝1与51＝5
设计意图：评价学生对对数的概念的理解情况．
（二）作业（第1课时）
根据课堂教学情况，从教科书4.3.1练习题和习题4.3的下列题中选择合适的题目：
A组 4.3.1练习题 第1题，4.3.1练习题第2题
B组 4.3.1练习题 第3题，习题4.3 第1题
C组 习题4.3 第2题(1)
设计意图：通过完成上述作业，推动学生巩固对对数概念的理解，并进一步评价每一位学生达成教学目标的情况．
第二课时 对数的运算
【教学内容】对数的运算.
【教学目标】
（1）经历及体验对数运算性质推导的过程，探究对数运算性质与幂的运算法则之间联系,能运用对数的运算性质进行具体数值的计算
（2）会利用对数的换底公式，将其他底数的对数转化为自然对数或常用对数，实现其他底数的对数的运算.
【教学重点】运用对数运算性质进行运算，求值、化简.
【教学难点】学生容易忘记对数的真数大于零对运算式的限制，对数运算法则的逆运算的推导.
【教学过程设计】
（一）复习回顾
上节课学习的对数的概念是什么？
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是________________.
师生活动：学生口答，教师板书.
设计意图：温故知新，通过复习上节对数概念及指对数互化，为对数运算性质的推导做准备，培养和发展逻辑推理和数学抽象的核心素养.
（二）探究新知
问题1：在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．例如如果要求，可不可以化简呢？
追问：我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？
探究一：对数的运算性质
回顾指数幂的运算性质：
，，
把指对数互化的式子具体化：
设，，
于是有 ．
根据对数的定义有：，
于是有对数的运算性质：
如果，且时，M>0，N>0，那么：
；（积的对数等于两对数的和）
请类似地推导：
，．
；（商的对数等于两对数的差）
MM=M
（3） ；（）．（幂的对数等于幂指数乘以底数的对数）
由此可得，, 都是无理数，但是它们的和是有理数.
师生活动：学生探究，教师启发引导，教师完成运算性质（1）推导步骤，确保每一步学生都理解，请学生类似地推导（2），教师引导学生推导（3），学生观察运算法则的特征，思考如何根据这几个特征来记这几个公式.
设计意图：通过对指数运算性质的回顾，类比推导对数运算性质，发展学生逻辑推理，数学抽象，数学运算等核心素养.
(三)典例分析
例3 求下列各式的值：
（1） （2）)
[规律方法]　
1.利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
师生活动：学生先独立思考进行计算，教师进行点评，板书过程，强调变形技巧，各部分变形都要化到最简形式，其中第（2）题要让学生自己尝试，教师进行点评有两种解法，第一种是先把真数化为2的几次幂的形式进行计算，第二种方法是直接利用对数的运算法则先把式子拆成两个对数相加.完成例3后，根据课堂时间，让学生独立完成练习题第1题,教师再进行点评.
例4 用表示
师生活动：教师出示例题，先由学生独立思考作答，教师根据学生作答情况进行思路讲解并示范解题过程，并总结做题关键是记住对数的运算性质. 完成例4后，根据课堂时间，让学生独立完成练习题第2题，教师再进行点评.
设计意图：通过典例问题的分析，让学生进一步熟悉对数运算性质，深化对对数运算性质的理解，接着完成对应练习，巩固所学知识.
问题2：前面我们学习了常用对数和自然对数，能否将其它底的对数转换为以10或为底的对数？
例如，人们曾经详细地研究过常用对数，在真数取不同值时，对应的对数值是多少，例如的值是多少？能否用它们来求的值呢？
追问：把问题一般化，能否把以为底的对数转化为以为底的对数？
师生活动：可用电脑中的计算器投影给学生，展示计算
.
探究二：对数换底公式
设，则，对此等式两边取以为底的对数，得到：，根据对数的性质，有：，
所以．
即．其中，且，，且．
公式；称为对数换底公式．
用换底公式可以很方便地利用计算器进行对数的数值计算．
在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算 2 的值。
由换底公式可得2=，
利用计算工具，可得=，
由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍，类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年数.
师生活动：教师引导学生继续推导对数换底公式，板书推导过程并提醒学生再运用对数运算性质的过程中，应时刻不能忘记底数和真数取值范围的约束.
设计意图：通过换底公式的推导及应用，发展学生数学运算、逻辑推理和数学建模的核心素养.
例5 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震M之间的关系为
2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？
师生活动：教师引导学生自行完成，并对学生的作答进行点评.
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，巩固对数的概念及其性质，增强学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养.
（四）课堂小结
1.对数有哪几个运算法则？
2.对数的换底公式是什么？在进行对数近似值计算时，通常转换为以多少为底的对数来应用换底公式？
师生活动：学生通过问题自行回顾反思，然后回答问题，教师进行补充说明,使学生对本节课所学知识有一个明确的认识.
设计意图：师生合作，让学生自行总结本节课所学内容，教师根据学生作答分析得到学生对本节课知识的掌握情况，以便于后续改善教学.
六、教学评价设计
（一）目标检测（第2课时）
1．计算：log153－log62＋log155－log63＝( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
2．计算log92·log43＝( )
A．4 B．2 C. D.
设计意图：评价学生整体对对数的运算性质的掌握情况．
（二）作业（第2课时）
根据课堂教学情况，从教科书4.3.1练习题和习题4.3的下列题中选择合适的题目：
A组 习题4.3 第2题（2），第3题
B组 4.3.2 练习 第3题，习题4.3 第4题，第5题
C组 习题4.3 第6题，第7题
设计意图：通过完成上述作业，推动学生巩固对对数运算性质及换底公式的运用，并进一步评价每一位学生达成教学目标的情况．