数学 学科《8.1.1 变量的相关关系》学案
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（一）学习目标
1. 理解两个变量的相关关系的概念； 2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系； 3．会根据相关系数判断两个变量的相关程度．
（二）问题与例题
问题1：什么是相关关系？ 问题2：相关关系与函数关系的异同点 关系 项目函数关系相关关系相同点不同点
问题3：什么是散点图？ 问题4：变量相关关系的分类有那些？ 问题5：什么是线性相关？ 【例1】 判断以下两个变量之间是否具有相关关系？ (1)正方形的面积与其周长之间的关系； (2)父母的身高与子女的身高之间的关系； (3)学生的学号与身高； (4)汽车匀速行驶时的路程与时间的关系． 【训练1】 (多选题)下列说法正确的是( ) A．闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系 B．同一物体的加速度与作用力是函数关系 C．产品的成本与产量之间的关系是函数关系 D．广告费用与销售量之间的关系是相关关系 【例2】 某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄2345678体积30344060556270
(1)请作出这些数据的散点图； (2)你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？ 【训练2】 5名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下： 学生 成绩 ABCDE数学成绩8075706560物理成绩7066686462
判断它们是否具有线性相关关系． 【例3】 下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据： 施化肥量15202530354045水稻产量320330360410460470480
(1)将上述数据制成散点图； (2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？ 【训练3】 (多选题)某中学的兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是( ) A．沸点与海拔高度呈正相关 B．沸点与气压呈正相关 C．沸点与海拔高度呈负相关 D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强
（三）检测反馈
教材第95页练习1，2
（四）限时训练
A 组(基础题 ) 1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是( ) A．正方体的棱长与体积 B．读书破万卷，下笔如有神 C．数学成绩与物理成绩 D．光照时间与水稻的单位产量 2．下列说法正确的是( ) A．y＝2x2＋1中的x，y是具有相关关系的两个变量 B．正四面体的体积与棱长具有相关关系 C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系 D．传染病医院感染传染病的医务人员数与医院收治的传染病病人数是具有相关关系的两个变量 3．下列图形中具有相关关系的两个变量是( ) 4．(多选题)有下列关系： ①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系． 其中，具有相关关系的是( ) A．① B．② C．③ D．均不正确 5．下列说法正确的是( ) A．任何两个变量之间都有相关关系 B．根据身高和体重的相关关系可以确定身高对应的体重值 C．相关关系是一种不确定的关系 D．以上答案都不对 6．下列两个变量之间的关系，是函数关系的有__________(填序号)． ①球的体积和它的半径； ②人的身高和体重； ③底面积为定值的长方体的体积和高； ④城镇居民的消费水平和平均工资． 7．下面是四个散点图中的点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是__________(填序号)． B 组(中等题 ) 8．下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表： 气温(℃)2518121040杯数183037355054
(1)根据表中的数据画出散点图； (2)你能从散点图中发现气温与热茶杯数近似成什么关系吗？ C 组(提高题 ) 9．在7块并排的、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)： 施化肥量15202530354045水稻产量330345365405445450455
(1)画出散点图； (2)判断它们是否具有线性相关关系．8.1.1 变量的相关关系
学科《数学》教学设计
课型为：R新授课 复习课 习题/试卷讲评课 实践活动课
一、内容分析
（一）课程标准要求（教学目标）
1. 理解两个变量的相关关系的概念；
2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系；
3．会根据相关系数判断两个变量的相关程度．
（二）核心素养要求
通过对两个变量相关关系的学习，提升直观想象及数据分析素养.
（三）知识联系：学生已经学过函数，本节课的内容就是在此基础上的发展。由于它数学中的一个重要考点,所以在本学科中的作用是承上启下.
二、学情分析
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是分不清相关关关系，产生这一问题的原因是学生不注重概念，解决的关键办法是分析概念.
三、重点难点
教学重点是相关关系的概念及利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系，解决重点的关键是让学生自己绘画散点图.
教学难点是根据相关系数判断两个变量的相关程度，解决难点的关键是明确概念.
四、活动设计
【学】：导学（占本次课的 5-10%）
教师活动：俗话说“庄稼一枝花，全靠肥当家”，这说明施肥的多少对粮食的产量影响很大，那么粮食的产量还受其他因素的影响吗？施肥量和粮食的产量是确定的函数关系吗？两个变量间的关系除了可能是函数关系外，还可能是其他关系吗？为了搞清这些问题，我们需要学习本节内容．
问题 上述情境中施肥量与粮食产量之间到底具有怎样的关系？
提示 上述两变量间确实存在关系，但又不具备确定性，即当自变量取值一定时，因变量取值带有随机性的两个变量的关系，就称为变量间的相关关系．
我们知道,如果变量y是变量工的函数,那么由x就可以唯一确定y.然而,现实世界中还存在这样的情况:两个变量之间有关系,但密切程度又达不到函数关系的程度.例如,人的体重与身高存在关系,但由一个人的身高值并不能确定他的体重值,那么,该如何刻画这两个变量之间的关系呢 下面我们就来研究这个问题.
【学】：自学、互学、模仿应用等（教师自主组合）占本次课的 35-45%
问题1：什么是相关关系？
两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系(correlation).
问题2：相关关系与函数关系的异同点
关系 项目 函数关系 相关关系
相同点 都是两个变量间的关系
不同点 是一种确定关系 是一种非确定关系
是一种因果关系 不一定是因果关系,也可能是伴随关系
问题3：什么是散点图？
成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了统计图.我们我们把这样的统计图叫做散点图
问题4：变量相关关系的分类有那些？
正相关和负相关
如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关. 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量负相关.
正相关：根据样本数据所作得散点图中，若点散布在从左下角到右上角的区域。对于两个变量的这种相关关系，我们称之为正相关。
负相关：根据样本数据所作得散点图中，若点散布在从左上角到右下角的区域。对于两个变量的这种相关关系，我们称之为负相关。
问题5：什么是线性相关？
散点图是描述成对数据之间关系的一种直观方法.一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关；一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
设计意图：通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解。从而引入相关关系的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.
教师活动：巡视课堂，参与、点拨、指导小组学习
学生活动： 阅读教材，自己独立完成任务，完成之后小组研究讨论.
【用】：变通、迁移等 约占本次课的 25%
设计意图：通过典例解析，在具体的问题情境中，深化对正态分布的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
教师活动：教师讲解例题，对学生进行引导，引导学生归纳做题思路.
学生活动：学生讨论归纳做题思路，完成变式.
【例1】 判断以下两个变量之间是否具有相关关系？
(1)正方形的面积与其周长之间的关系；
(2)父母的身高与子女的身高之间的关系；
(3)学生的学号与身高；
(4)汽车匀速行驶时的路程与时间的关系．
解 (1)设正方形的面积为S，周长为C，则S＝2，即正方形的面积由其周长唯一确定，因此二者是函数关系，不是相关关系；
(2)子女身高除了与父母的身高有一定关系外，还与其他因素有关，即子女的身高并不是由其父母的身高唯一确定的，因此二者之间具有相关关系；
(3)学生的学号与身高之间没有任何关系，不具有相关关系；
(4)若汽车匀速行驶时的速度为v，行驶的路程为s，时间为t，则有s＝vt，因此当速度一定时，路程由时间唯一确定，二者之间具有函数关系，而不是相关关系．
规律方法 函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系， 而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
【训练1】 (多选题)下列说法正确的是( )
A．闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系
B．同一物体的加速度与作用力是函数关系
C．产品的成本与产量之间的关系是函数关系
D．广告费用与销售量之间的关系是相关关系
解析 闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系，所以A正确；物体的加速度与作用力的关系是函数关系，B正确；产品的成本与产量之间是相关关系，C错误；广告费用与销售量之间是相关关系，D正确．
答案 ABD
题型二 散点图与相关性
【例2】 某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系：
树龄 2 3 4 5 6 7 8
体积 30 34 40 60 55 62 70
(1)请作出这些数据的散点图；
(2)你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？
解 (1)以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的体积，可得相应的散点图如图所示：
(2)由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势，且散点落在一条直线附近，所以木材的体积与树龄成线性相关关系．
【训练2】 5名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：
学生 成绩 A B C D E
数学成绩 80 75 70 65 60
物理成绩 70 66 68 64 62
判断它们是否具有线性相关关系．
解 以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示．
由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系．
题型三 散点图及其应用
【例3】 下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：
施化肥量 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量 320 330 360 410 460 470 480
(1)将上述数据制成散点图；
(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？
解 (1)散点图如下：
(2)从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增加，不会一直随施化肥量的增加而增加．
规律方法 1.画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．
2．在这里利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观想象的具体体现．
【训练3】 (多选题)某中学的兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是( )
A．沸点与海拔高度呈正相关
B．沸点与气压呈正相关
C．沸点与海拔高度呈负相关
D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强
解析 由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关；由于两个散点图中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B，C，D正确，A错误．
答案 BCD
【用】：检测反馈 约占本次课的 20%
检测：教材第95页练习1，2
小结：
变量的相关关系
【用】：限时训练 （分 ABC 三层，用时 30-40 分钟）
（分 ABC 三组，学生可选做 AB 组或 BC 组）
A 组(基础题 )
1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是( )
A．正方体的棱长与体积
B．读书破万卷，下笔如有神
C．数学成绩与物理成绩
D．光照时间与水稻的单位产量
解析 A具有函数关系．
答案 A
2．下列说法正确的是( )
A．y＝2x2＋1中的x，y是具有相关关系的两个变量
B．正四面体的体积与棱长具有相关关系
C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系
D．传染病医院感染传染病的医务人员数与医院收治的传染病病人数是具有相关关系的两个变量
解析 A，B均为函数关系，C，D为相关关系．
答案 D
3．下列图形中具有相关关系的两个变量是( )
解析 A和B符合函数关系，即对x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应；从C，D散点图来看，D的散点都在某一条直线附近波动，因此两变量具有相关关系．
答案 D
4．(多选题)有下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系．
其中，具有相关关系的是( )
A．① B．②
C．③ D．均不正确
解析 ①，③具有相关关系，②具有确定的关系，即函数关系．
答案 AC
5．下列说法正确的是( )
A．任何两个变量之间都有相关关系
B．根据身高和体重的相关关系可以确定身高对应的体重值
C．相关关系是一种不确定的关系
D．以上答案都不对
解析 变量之间的相关关系是一种不确定的关系，它也能反映变量之间的某种依赖关系．利用相关关系可以估计某些相关数据，但是不能确定准确的数值．
答案 C
6．下列两个变量之间的关系，是函数关系的有__________(填序号)．
①球的体积和它的半径；
②人的身高和体重；
③底面积为定值的长方体的体积和高；
④城镇居民的消费水平和平均工资．
解析 球的体积公式为V＝πr3，长方体的体积V＝S·h，都是确定的关系，因此①③中两个变量为函数关系，而②④中的两个变量，不是函数关系而是相关关系．
答案 ①③
7．下面是四个散点图中的点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是__________(填序号)．
解析 散点图①中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；③中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故填③.
答案 ③
B 组(中等题 )
8．下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：
气温(℃) 25 18 12 10 4 0
杯数 18 30 37 35 50 54
(1)根据表中的数据画出散点图；
(2)你能从散点图中发现气温与热茶杯数近似成什么关系吗？
解 (1)根据表中的数据画出某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的散点图，如图．
(2)从散点图中可以看出气温与卖出的热茶杯数近似地成线性相关关系，且当气温越高时，所卖出的热茶的杯数就越少．
C 组(提高题 )
9．在7块并排的、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)：
施化肥量 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量 330 345 365 405 445 450 455
(1)画出散点图；
(2)判断它们是否具有线性相关关系．
解 (1)以施化肥量为横坐标，其对应的水稻产量为纵坐标，在平面直角坐标系中描点，得散点图．
(2)观察散点图，知散点图中的点分布在一条直线附近，则水稻产量与施化肥量之间具有线性相关关系．
