1.3.1单调性与最值学案（1）

1.3.1单调性与最值学案（1）
【学习目标】
1. 通过已学的函数理解函数单调性的定义和函数单调性的几何意义；
2. 掌握运用函数图象研究函数的性质；
3. 能够熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤.
【学习过程】
探究：单调性相关概念
实践：画出函数、的图象.
讨论：（1）你能描述上面函数的图像特征吗？该怎样理解“上升”、“下降”的含义？
（2）根据、的图象随x的增大，函数值怎样变化？ 如何用数学语言把这一变化严格的表达出来？（双值比较法、任意性）
（3）函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.请给出增函数的定义.
增函数：设函数y=f(x)的定义域为I， ( http: / / www.21cnjy.com )如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1（4）增函数的定义中，把“当x1x2时，都有f(x1)>f(x2)”，这
样行吗
（5）仿照增函数的定义说出减函数的定义.
减函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如 ( http: / / www.21cnjy.com )果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1单调区间：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.
（6）问题：所有函数是不是都具有单调性？
练习：如图，定义在[-5,5]上的f(x)，根据图象说出单调区间及单调性.
【典型例题】
例1 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义对（3）、（4）进行证明.
（1）； （2） （3） （4）
变式：讨论一次函数、二次函数和反比例函数的单调性？
例2 （1）判断函数的单调性，并加以证明
（2）证明在定义域上是减函数
（3）证明函数在（0，1）上是减函数，在 上是增函数。
（4）证明函数在（1，）上是减函数。
小结：①证明函数单调性的步骤：取值 ， 作差 ， 变形 ， 定号 ， 结论；
② 变形的常用方法有：因式分解、通分、有理化、配方法.
【基础检测】
1．判断在（0，+∞）上是 函数（填“增”、“减”）
2．判断在（ —∞，0）上是 函数（填“增”、“减”）
3．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ ）
（A）y= （B） y=2x-1 （C） y=1-x （D）y=
4． 函数y=-1的单调递 区间为
5. 函数的单调增区间是（ ）
A. B. C. R D.不存在
6. 如果函数在R上单调递减，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
8. 函数的单调性是 .
9. 函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
10．已知f（x）=（2k+1）x+1在（-，+）上是减函数，则（ ）
（A）k＞ （B）k＜ （C）k＞- （D k＜-
11．在区间（0，+∞）上不是增函数的是 （ ）
（A）y=2x+1 （B）y=3 +1 （C）y= （D） y=3+x +1
12．若函数f（x）=+2（a-1）x+2在区间（-，4）上为增函数，则实数a的取值范围是
13．函数y=的单调减区间为
14．函数y=+的增区间为 ，减区间为
【能力提升】
1.已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有<0成立，则
实数a的取值范围是_________________。
2.试讨论函数f(x)＝（x>0）的单调性．
3.已知y=f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时，有f(x)<0, 试判断函数f(x)的单调性。