第4章 指数函数、对数函数与幂函数 单元练习 （含解析）

第1章指数函数、对数函数与幂函数单元练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，，给出下列式子：①；②；③；④．其中恒有意义的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．函数为定义在上的奇函数，则等于（ ）
A． B．-9 C．-8 D．
6．已知函数为一次函数，若，有，当时，函数的最大值与最小值之和是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．6
7．函数的图象大致是
A． B． C． D．
8．下列函数中，满足“”的单调递增函数是
A． B．
C． D．
9．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于任意给定的两个非负数a，b且a＞b，不等式af（a）＜bf（b）恒成立，则不等式（lnx）f（lnx）＞f（1）的解集为（　　）
A． B． C． D．
10．下列各函数中，值域为的是
A． B． C． D．
11．函数在区间（0,1）内的零点个数是
A．0 B．1
C．2 D．3
12．某工厂生产一种溶液，按市场要求其杂质含量不得超过，而这种溶液最初的杂质含量为，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的最少过滤次数为（参考数据：，）（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
13．已知函数f(x)＝，则f＝
A．－ B．
C．－8 D．8
14．已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
15．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量大约是千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量大约是千克.下列各数中与最接近的是（ ）
（参考数据：，）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知函数，则____________．
17．已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为_________.
18．如图所示，开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水量符合指数型衰减曲线，那么桶2中的水量就是升，桶1与桶2的大小和形状相同，假设过5分钟后桶1和桶2中的水量相等，则桶1中的水量为升时，需再经过________分钟．
19．当时，，则实数a的取值范围为________．
20．x0是x的方程ax=logax（0＜a＜1）的解，则x0，1，a这三个数的大小关系是_____．
三、解答题
21．已知()
(1)求的定义域；
(2)讨论函数的单调性.
22．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
23．已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式：；
（3）是否存在实数k，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.
24．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
（2）如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
25．已知函数与满足：
（1）如果的定义域是，求的定义域；
（2）如果的定义域是，求的定义域.
26．某食品厂对蘑菇进行深加工，每千克蘑菇的成本为20元，并且每千克蘑菇的加工费为t元（t为常数，且），设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元（），根据市场调查，日销售量g（单位：kg）与成反比，每千克蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100kg．
（1）求该工厂的日销售利润y（单位：元）与每千克蘑菇的出厂价x（单位：元）的函数关系式；
（2）求，当每千克蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的日销售利润y为元？
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参考答案：
1．B
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“中间数”比较大小即可.
【详解】，，，
所以.
故选：B
2．B
【分析】根据根式的意义逐个分析判断即可
【详解】根据根指数是偶数时，被开方数为非负数，可知②无意义；
当时，，此时④无意义．
因为，所以恒有意义，
因为任何数都可以开奇次方，所以恒有意义，
所以恒有意义的式子是①③．
故选：B．
3．B
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性质直接求解.
【详解】；
.
故选：B
【点睛】本题考查指对数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
4．A
【分析】根据解析式及满足的不等式，可知函数是上的增函数，由分段函数单调性的性质，结合指数函数与一次函数单调性的性质，即可得关于的不等式组，解不等式组即可求得的取值范围.
【详解】函数满足对任意的实数都有，
所以函数是上的增函数，
则由指数函数与一次函数单调性可知应满足，
解得，
所以数的取值范围为，
故选：A
【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数的取值范围，在满足各段函数单调性的情况下，还需满足整个定义域内的单调性，属于中档题.
5．C
【分析】根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，进而求出的值，由奇函数的性质分析可得答案.
【详解】根据题意，为定义在上的奇函数，
则有，解可得：，
则，
则；
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数以及函数值的计算，在涉及奇函数求参数时，注意结论的应用，考查计算能力，属于基础题.
6．D
【解析】设，求得，得到，再设，得到函数为单调递增函数，且为是奇函数，即可求解.
【详解】由题意，设一次函数，
因为，可得，解得，
所以，故的图象关于对称，
又设，可得函数为单调递增函数，
且，
即，所以是奇函数，则，
则，，
所以
即为的最大值与最小值之和6.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，对数运算性质，以及函数的单调性与奇偶性的综合应用，着重考查了推理与运算能力.
7．D
【解析】运用对数的运算法则将函数化简为，即可求解.
【详解】 ，为偶函数，
图像关于轴对称，当.
故选:D.
【点睛】本题考查用对数的运算法则化简函数解析式，将问题转化为熟悉函数的图像，属于基础题.
8．D
【详解】试题分析：由于，所以指数函数满足，且当时单调递增，时单调递减，所以满足题意，故选D．
考点：幂函数、指数函数的单调性．
9．C
【分析】本道题目结合单调性判定法则，得出为递减函数，对处理成 建立不等式，计算的范围，即可得出答案．
【详解】结合对于任意给定的两个非负数a，b且a＞b，不等式af（a）＜bf（b）恒成立，可知为减函数，故，得到，同时，故，故选C．
【点睛】本道题目考查了单调性判定法则，当的关系，判定原函数单调性．
10．A
【详解】A，y＝ ()x的值域为(0，＋∞)．
B，因为1－2x≥0，所以2x≤1，x≤0，
y＝的定义域是(－∞，0]，
所以0＜2x≤1，所以0≤1－2x＜1，
所以y＝的值域是[0,1)．
C，y＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋的值域是[，＋∞)，
D，因为∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
所以y＝的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．选A.
11．B
【详解】试题分析：,在范围内，函数为单调递增函数．又，，，故在区间存在零点，又函数为单调函数，故零点只有一个．
考点：导函数，函数的零点．
12．C
【分析】因为每过滤一次杂质含量减少,所以每过滤一次杂志剩余量为原来的,由此列不等式可解得.
【详解】设经过n次过滤，产品达到市场要求，则，即，由，即，得，故选C．
【点睛】本题考查了指数不等式的解法,属于基础题.
13．D
【解析】先求出，再求即可得所求的函数值.
【详解】，
，故选D．
14．B
【分析】解一元二次不等式求出集合，再求出集合的补集，根据对数函数的性质求出集合，根据集合的交集运算即可求出结果.
【详解】因为或；
所以；
所以.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了集合的补集和交集运算以及对数函数的值域，属于基础题.
15．D
【分析】根据题意，得到，两边同时取以10为底的对数，根据题中条件，进行估算，即可得出结果.
【详解】因为，所以.
故.
故选：D.
【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.
16．
【解析】由函数的解析式由内到外逐层可计算得出的值.
【详解】，，
因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查分段函数值的计算，考查计算能力，属于基础题.
17．.
【分析】根据的奇偶性和单调性，以及零点，画出的示意图，然后由，得到或，从而解出的范围，得到答案.
【详解】∵是上的偶函数，
∴的图象关于轴对称，
∴，
∵在上为增函数，
∴在上为减函数，
作出函数的大致图象如图所示.
由
得到或
∴或，
∴的解集为.
故答案为：
【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性，根据函数的性质解不等式，解对数不等式，属于中档题.
18．10
【分析】由于5分钟后桶A和桶B中的水量相等，所以，可求．再利用桶A中只有水升，可求时间.
【详解】解:由题意得，解得．设再经过分钟，桶1中的水量为升，则，即，解得．
【点睛】本题主要考查指数函数的实际应用，关键是根据题意，求出指数函数，进而解决问题．
19．
【分析】要使在时恒成立，等价于函数的图像在图像的下方，由此能求出 的取值范围.
【详解】解：若在上成立，则，且的图像在图像的下方，如图所示，由图像知，，解得，
即实数a的取值范围是．
【点睛】本题考查函数恒成立问题，解题时要注意等价转化思想的合理运用.
20．a＜x0＜1．
【详解】试题分析：显然方程ax=logax不能用代数方法研究．利用数形结合的思想，先分别作函数y=ax及y=logax的图象，如图，它们的交点为P（x0，y0），结合图形得出结论即可．
解：根据题意，分别作函数y=ax及y=logax的图象
如图，它们的交点为P（x0，y0），易见x0＜1，y0＜1，
而y0==logax0即logax0＜1=logaa，又0＜a＜1，
∴x0＞a，即a＜x0＜1．
故答案为a＜x0＜1．
考点：指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质．
21．(1)当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域.
(2)增函数
【分析】（1）对数函数定义域满足真数大于零，分成和两种情况求解即可；
（2）利用函数单调性的定义分成和两种情况证明即可.
【详解】（1）由已知条件得
函数的定义域为，即，
则当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域.
（2）当时，任取，
∴，∴，∴，
∴当时，函数在上为增函数；
当时，任取，
∴，∴，∴，
∴当时，函数在上为增函数；
综上所述，函数在其定义域上为增函数；
22．（1）；（2）5；（3）15.
【分析】（1）根据题意，列出关于砍伐面积的百分比的方程，即可容易求得；
（2）到今年为止，森林剩余面积为原来的，可列出关于m的等式，解之即可.
（3）设从今年开始，最多还能砍伐年，列出相应表达式有，解不等式求出的范围即可
【详解】（1）设每年砍伐的百分比为，则，即，
，解得：
所以每年砍伐面积的百分比为
（2）设经过年剩余面积为原来的，则，即
又由（1）知，，，解得
故到今年为止，该森林已被砍伐5年．
（3）设从今年开始，最多还能砍伐年，则年后剩余面积为.
令，即，，，解得
故今后最多还能砍伐15年
【点睛】关键点点睛：本题考查指数型函数数学建模在实际问题中的应用，熟练运用指数性质运算，将文字语言转化成数学语言是解题的关键，考查学生的转化能力与运算能力，属于中档题.
23．（1）；（2）是R上的增函数，证明见解析；；（3）存在；实数k的取值范围是.
【分析】（1）根据奇函数的性质，求出a的值，再利用奇函数的定义进行验证即可；
（2）运用函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断函数的单调性，最后根据单调性的性质，通过解一元二次不等式进行求解即可；
（3）根据（2），通过函数的单调性的性质，结合换元法，一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
【详解】解：（1）是定义在R上的奇函数，
，从而得出，
时，，
；
（2）是R上的增函数，证明如下：
设任意，且，
，
，，，，
，
是在上是单调增函数.
，
又是定义在R上的奇函数且在上单调递增，
，
，；
（3）假设存在实数k，使之满足题意，
由（2）可得函数在上单调递增，
，
，n为方程的两个根，即方程有两个不等的实根，
令，即方程有两个不等的正根，
于是有且且，
解得：.
存在实数k，使得函数在上的取值范围是，并且实数k的取值范围是.
【点睛】本题考查了函数单调性的判断和性质应用，考查了奇函数的性质，考查了数学运算能力.
24．（1）；（2）39万.
【分析】（1）根据题意可得分段函数的表达式；
（2）如果业务员老张获得5.5万元的奖金，可得，从而得到方程，解方程即可得答案；
【详解】解：(1)由题意，得
(2)∵当时，，
又，
∴，解得.
答：老张的销售利润是39万元．
【点睛】本题考查分段函数模型的实际应用，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
25．（1）；（2）.
【解析】根据括号内的范围等同原则求解即可．
【详解】解：（1）由得，
的定义域为；
（2）由得，
的定义域为.
【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域得求法，属于中档题．
26．（1）（2）26元
【分析】 （1）由条件“日销售量与ex（e为自然对数的底数）成反比例”可设日销量为，根据日利润y=每件的利润×件数，建立函数关系式，注意实际问题自变量的范围．
（2）由(1)可得 ，解方程即可.
【详解】解：（1）设日销售量（，k为常数），则，
，
日销售量，
．
（2）当时，，则，
画出函数与的图像如图所示，
由图可得方程的解为，
当每千克蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的日销售利润为元．
【点睛】解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明．
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