第4章4.4幂函数 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 第4章4.4幂函数 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 649.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-14 09:24:10 | ||
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文档简介
第4章4.4幂函数同步练习
2022——2023学年高中数学人教B版（2019）第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列函数为幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则m，n，p的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知幂函数f(x)＝x(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（ ）
A． B．
C．3 D．
4．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）
A．①，②，③ B．①，②，③
C．①，②，③ D．①，②，③
5．已知幂函数的图象过点，则等于（ ）
A． B．0 C． D．1
6．给出幂函数：①；②；③；④；⑤，其中满足条件，的函数的个数是（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7．已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
8．给出下列命题：①若a＞b，则；②若，则；③若a＞b，则；④若，则.其中，正确的命题是（ ）.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
9．已知幂函数的图像经过点，则下列命题中正确的是（ ）
A．图像关于y轴对称 B．在定义域上是严格增函数
C．的取值范围是 D．在定义域内有最大值
10．下列函数中，在上为严格增函数的是（ ）．
A． B． C． D．
11．如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取，四个值，则相应于，，，的依次为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
12．若幂函数的图像经过点，则它的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
13．下列函数在定义域内单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
14．下列命题正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过，两点 B．函数的图象经过第二象限
C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同 D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点
15．“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
二、填空题
16．幂函数在上单调递减，则实数的值为_______
17．已知幂函数()是偶函数，且在上是增函数，则函数的解析式为________．
18．幂函数y=x，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x，y=x的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么ab=______.
19．已知幂函数的图像过点，则=______.
20．幂函数的图像恒过定点______．
三、解答题
21．已知函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位所得，求：
(1)函数的解析式；
(2)的图象的对称中心．
22．已知函数.
(1)若是幂函数，求实数，，的值；
(2)如果，，且在区间上单调递减，求的最大值.
23．已知幂函数，且在区间上单调递减，
(1)求的解析式及定义域；
(2)设函数，求证：在上单调递减．
24．已知幂函数在上单调递增，函数．
(1)求实数m的值；
(2)当时，记的值域分别为集合，若，求实数k的取值范围．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】根据幂函数的定义即可求解.
【详解】由幂函数的定义可知：是幂函数，，和的系数不为1，故不是幂函数，
故选：D
2．C
【分析】根据指对幂函数的单调性，设计中间值，与中间值比较即可.
【详解】∵ ，
；
故选：C．
3．C
【分析】代点的坐标求出α的值，得到函数的解析式，即得解.
【详解】由题意f(2)＝2α＝，
所以α＝，所以f(x)＝，
所以f(9)＝＝3.
故选：C
4．A
【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.
【详解】由函数是反比例函数，其对应图象为①；
函数的定义域为，应为图②；
因为的定义域为且为奇函数，故应为图③.
故选：A.
5．B
【分析】根据幂函数的定义，求得，将代入解析式，求得，即可求解.
【详解】因为是幂函数，所以，解得，
又因为的图象过点，可得，解得，
所以.
故选：B.
6．A
【分析】根据幂函数的图像性质，逐个选项进行计算，利用数形结合，分析可得答案.
【详解】①函数的图像是一条直线，故当时，＝；
②函数的图像是凹形曲线，故当时，；
③在第一象限，函数的图像是凹形曲线，
故当时，；
④函数的图像是凸形曲线，故当时，；
⑤在第一象限，函数的图像是一条凹形曲线，
故当时，.
故仅有函数满足当时，，
故选：A.
7．D
【分析】根据函数的单调性可判断出；根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数.
【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减，
所以0，
因为函数的图象关于y轴对称，
所以函数为偶函数，即p为偶数，
又p、q互质，所以q为奇数，
所以选项D正确，
故选：D.
8．B
【分析】①④可举出反例，②可通过不等式的基本性质得到；③可利用幂函数的单调性得到.
【详解】若，此时，①错误；
若，则，故，两边平方可得：，②正确；
因为在R上单调递增，故若，则，③正确；
若，不妨设，不满足，④错误.
故选：B
9．B
【分析】设，由图像经过点，可得，再结合选项逐一判断即可.
【详解】解：设，
又因为的图像经过点，
所以，
解得，
所以，
所以，定义域不关于原点对称，故A错误；
由幂函数的性质可知在上单调递增，故B正确；
幂函数的性质可知，故C错误；
因为函数在上单调递增，所以函数在上无最大值，故D错误.
故选：B.
10．C
【分析】利用幂函数的性质判断选项AD；利用常函数的性质判断选项B；利用对数函数的性质判断选项C
【详解】选项A：在上单调递减.不符合题意要求；
选项B：为常数函数，不具有严格单调性.不符合题意要求；
选项C：在上为严格增函数.符合题意要求；
选项D：在上单调递减.不符合题意要求.
故选：C
11．B
【分析】根据幂函数的图象在第一象限内的特征即可得答案.
【详解】解：根据幂函数的性质，在第一象限内的图象:
当时，越大，递增速度越快，故的，的；
当时，越大，曲线越陡峭，所以曲线的，曲线的.
故选:B
12．D
【分析】由幂函数所过的点求解析式，进而判断幂函数的单调增区间即可.
【详解】解：令幂函数为，由题意知：，解得，
所以，，
所以，在上递增，上递减.
故选：D
13．B
【分析】分别讨论选项中函数的单调性，选取符合题意的选项.
【详解】由幂函数单调性可知，
函数在定义域内单调递增，不满足题意；
函数在定义域内单调递减，满足题意；
函数在，上均是减函数，但在整个定义域上不是减函数，不满足题意；
函数为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，不满足题意.
故选：B
14．D
【分析】通过举反例可判断A、C项，根据幂函数的性质可判断B项，根据幂函数的性质集合偶函数的定义可判断D项.
【详解】解：对于A，幂函数的图象都经过点，当时，不过点，故A项错误；
对于B，的图象过第一、三象限，故B项错误；
对于C，与的图象有三个交点，这两个函数不相同，故C项错误；
对于D，因为幂函数的图象都经过点，所以幂函数为偶函数时，图象一定经过点，故D项正确．
故选：D．
15．A
【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.
【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，
则，解得：，当时，，，
则，所以函数为奇函数，即充分性成立；
“函数为奇函数”，
则，即，
解得：，故必要性不成立，
故选：A．
16．2
【分析】根据幂函数建立等式，解出，将代入函数检验，看是否在上单调递减即可确定答案.
【详解】解：因为是幂函数，所以，
解得或，因为函数在上单调递减，
当时，函数化为，符合题意，
当时，，不符合题意，综上.
故答案为：2
17．
【分析】由幂函数求参数，结合其为偶函数及区间单调性求解析式即可.
【详解】由是幂函数，则，解得或或.
当时，是非奇非偶函数，不满足题意；
当时，是偶函数，但在上递减，不满足题意；
当时，是偶函数且上递增，满足题意．
综上，实数t的值为，所求解析式为.
故答案为：
18．
【分析】求得的坐标，进而求得，从而求得.
【详解】依题意，，所以是线段的三等分点，
而，所以，
所以，
.
故答案为：
19．4
【分析】设，代入，求出，函数解析式，从而得到.
【详解】设幂函数，故，解得：，
则，则.
故答案为：4
20．
【分析】根据幂函数的知识求得正确答案.
【详解】幂函数的图像恒过定点.
故答案为：
21．(1)
(2)
【分析】（1）化简为，利用函数图象的平移变换即可得到函数的解析式.
（2）化简为，根据其与函数的变换关系，可得答案.
【详解】（1）由题意可知，
将函数的图象向上平移1个单位，得到函数的图象，
再将该图象向左平移2个单位，得到函数的图象，
即得到函数的图象，于是有.
（2）,
其图象可看作是由函数向左平移1单位，向上平移2个单位得到的，
所以它的对称中心为,
22．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由题知或，再分别讨论求解即可；
（2）当时得，当时，结合二次函数性质得，再根据基本不等式求解即可得答案.
【详解】（1）解：因为是幂函数，
所以或
若，则，，；
若，则，，.
（2）解：①若，则，
因为在区间上单调递减，所以，得，
所以；
②若，则图像的开口向上，对称轴为 ，
因为在区间上单调递减，所以，整理得 ，
所以，所以，当且仅当，时取等号，
综上，的最大值为.
23．(1)，定义域为；
(2)证明见解析
【分析】（1）由幂函数的定义可得答案；
（2）求出利用单调性定义证明即可
【详解】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或，
若时，在上单调递增，不满足题意，
所以，，定义域为；
（2）由（1）知函数，
设，则．
因为，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递减
24．(1)
(2)
【分析】（1）由幂函数定义列出方程，求出m的值，检验函数单调性，舍去不合题意的m的值；（2）在第一问的基础上，由函数单调性得到集合，由并集结果得到，从而得到不等式组，求出k的取值范围.
（1）
依题意得：，∴或．
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去．
当时，在上单调递增，符合要求，故.
（2）
由（1）可知，当时，函数和均单调递增．
∴集合，．
又∵，∴，∴，
∴，
∴实数k的取值范围是.
答案第1页，共2页
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2022——2023学年高中数学人教B版（2019）第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列函数为幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则m，n，p的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知幂函数f(x)＝x(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（ ）
A． B．
C．3 D．
4．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）
A．①，②，③ B．①，②，③
C．①，②，③ D．①，②，③
5．已知幂函数的图象过点，则等于（ ）
A． B．0 C． D．1
6．给出幂函数：①；②；③；④；⑤，其中满足条件，的函数的个数是（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7．已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
8．给出下列命题：①若a＞b，则；②若，则；③若a＞b，则；④若，则.其中，正确的命题是（ ）.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
9．已知幂函数的图像经过点，则下列命题中正确的是（ ）
A．图像关于y轴对称 B．在定义域上是严格增函数
C．的取值范围是 D．在定义域内有最大值
10．下列函数中，在上为严格增函数的是（ ）．
A． B． C． D．
11．如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取，四个值，则相应于，，，的依次为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
12．若幂函数的图像经过点，则它的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
13．下列函数在定义域内单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
14．下列命题正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过，两点 B．函数的图象经过第二象限
C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同 D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点
15．“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
二、填空题
16．幂函数在上单调递减，则实数的值为_______
17．已知幂函数()是偶函数，且在上是增函数，则函数的解析式为________．
18．幂函数y=x，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x，y=x的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么ab=______.
19．已知幂函数的图像过点，则=______.
20．幂函数的图像恒过定点______．
三、解答题
21．已知函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位所得，求：
(1)函数的解析式；
(2)的图象的对称中心．
22．已知函数.
(1)若是幂函数，求实数，，的值；
(2)如果，，且在区间上单调递减，求的最大值.
23．已知幂函数，且在区间上单调递减，
(1)求的解析式及定义域；
(2)设函数，求证：在上单调递减．
24．已知幂函数在上单调递增，函数．
(1)求实数m的值；
(2)当时，记的值域分别为集合，若，求实数k的取值范围．
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参考答案：
1．D
【分析】根据幂函数的定义即可求解.
【详解】由幂函数的定义可知：是幂函数，，和的系数不为1，故不是幂函数，
故选：D
2．C
【分析】根据指对幂函数的单调性，设计中间值，与中间值比较即可.
【详解】∵ ，
；
故选：C．
3．C
【分析】代点的坐标求出α的值，得到函数的解析式，即得解.
【详解】由题意f(2)＝2α＝，
所以α＝，所以f(x)＝，
所以f(9)＝＝3.
故选：C
4．A
【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.
【详解】由函数是反比例函数，其对应图象为①；
函数的定义域为，应为图②；
因为的定义域为且为奇函数，故应为图③.
故选：A.
5．B
【分析】根据幂函数的定义，求得，将代入解析式，求得，即可求解.
【详解】因为是幂函数，所以，解得，
又因为的图象过点，可得，解得，
所以.
故选：B.
6．A
【分析】根据幂函数的图像性质，逐个选项进行计算，利用数形结合，分析可得答案.
【详解】①函数的图像是一条直线，故当时，＝；
②函数的图像是凹形曲线，故当时，；
③在第一象限，函数的图像是凹形曲线，
故当时，；
④函数的图像是凸形曲线，故当时，；
⑤在第一象限，函数的图像是一条凹形曲线，
故当时，.
故仅有函数满足当时，，
故选：A.
7．D
【分析】根据函数的单调性可判断出；根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数.
【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减，
所以0，
因为函数的图象关于y轴对称，
所以函数为偶函数，即p为偶数，
又p、q互质，所以q为奇数，
所以选项D正确，
故选：D.
8．B
【分析】①④可举出反例，②可通过不等式的基本性质得到；③可利用幂函数的单调性得到.
【详解】若，此时，①错误；
若，则，故，两边平方可得：，②正确；
因为在R上单调递增，故若，则，③正确；
若，不妨设，不满足，④错误.
故选：B
9．B
【分析】设，由图像经过点，可得，再结合选项逐一判断即可.
【详解】解：设，
又因为的图像经过点，
所以，
解得，
所以，
所以，定义域不关于原点对称，故A错误；
由幂函数的性质可知在上单调递增，故B正确；
幂函数的性质可知，故C错误；
因为函数在上单调递增，所以函数在上无最大值，故D错误.
故选：B.
10．C
【分析】利用幂函数的性质判断选项AD；利用常函数的性质判断选项B；利用对数函数的性质判断选项C
【详解】选项A：在上单调递减.不符合题意要求；
选项B：为常数函数，不具有严格单调性.不符合题意要求；
选项C：在上为严格增函数.符合题意要求；
选项D：在上单调递减.不符合题意要求.
故选：C
11．B
【分析】根据幂函数的图象在第一象限内的特征即可得答案.
【详解】解：根据幂函数的性质，在第一象限内的图象:
当时，越大，递增速度越快，故的，的；
当时，越大，曲线越陡峭，所以曲线的，曲线的.
故选:B
12．D
【分析】由幂函数所过的点求解析式，进而判断幂函数的单调增区间即可.
【详解】解：令幂函数为，由题意知：，解得，
所以，，
所以，在上递增，上递减.
故选：D
13．B
【分析】分别讨论选项中函数的单调性，选取符合题意的选项.
【详解】由幂函数单调性可知，
函数在定义域内单调递增，不满足题意；
函数在定义域内单调递减，满足题意；
函数在，上均是减函数，但在整个定义域上不是减函数，不满足题意；
函数为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，不满足题意.
故选：B
14．D
【分析】通过举反例可判断A、C项，根据幂函数的性质可判断B项，根据幂函数的性质集合偶函数的定义可判断D项.
【详解】解：对于A，幂函数的图象都经过点，当时，不过点，故A项错误；
对于B，的图象过第一、三象限，故B项错误；
对于C，与的图象有三个交点，这两个函数不相同，故C项错误；
对于D，因为幂函数的图象都经过点，所以幂函数为偶函数时，图象一定经过点，故D项正确．
故选：D．
15．A
【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.
【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，
则，解得：，当时，，，
则，所以函数为奇函数，即充分性成立；
“函数为奇函数”，
则，即，
解得：，故必要性不成立，
故选：A．
16．2
【分析】根据幂函数建立等式，解出，将代入函数检验，看是否在上单调递减即可确定答案.
【详解】解：因为是幂函数，所以，
解得或，因为函数在上单调递减，
当时，函数化为，符合题意，
当时，，不符合题意，综上.
故答案为：2
17．
【分析】由幂函数求参数，结合其为偶函数及区间单调性求解析式即可.
【详解】由是幂函数，则，解得或或.
当时，是非奇非偶函数，不满足题意；
当时，是偶函数，但在上递减，不满足题意；
当时，是偶函数且上递增，满足题意．
综上，实数t的值为，所求解析式为.
故答案为：
18．
【分析】求得的坐标，进而求得，从而求得.
【详解】依题意，，所以是线段的三等分点，
而，所以，
所以，
.
故答案为：
19．4
【分析】设，代入，求出，函数解析式，从而得到.
【详解】设幂函数，故，解得：，
则，则.
故答案为：4
20．
【分析】根据幂函数的知识求得正确答案.
【详解】幂函数的图像恒过定点.
故答案为：
21．(1)
(2)
【分析】（1）化简为，利用函数图象的平移变换即可得到函数的解析式.
（2）化简为，根据其与函数的变换关系，可得答案.
【详解】（1）由题意可知，
将函数的图象向上平移1个单位，得到函数的图象，
再将该图象向左平移2个单位，得到函数的图象，
即得到函数的图象，于是有.
（2）,
其图象可看作是由函数向左平移1单位，向上平移2个单位得到的，
所以它的对称中心为,
22．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由题知或，再分别讨论求解即可；
（2）当时得，当时，结合二次函数性质得，再根据基本不等式求解即可得答案.
【详解】（1）解：因为是幂函数，
所以或
若，则，，；
若，则，，.
（2）解：①若，则，
因为在区间上单调递减，所以，得，
所以；
②若，则图像的开口向上，对称轴为 ，
因为在区间上单调递减，所以，整理得 ，
所以，所以，当且仅当，时取等号，
综上，的最大值为.
23．(1)，定义域为；
(2)证明见解析
【分析】（1）由幂函数的定义可得答案；
（2）求出利用单调性定义证明即可
【详解】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或，
若时，在上单调递增，不满足题意，
所以，，定义域为；
（2）由（1）知函数，
设，则．
因为，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递减
24．(1)
(2)
【分析】（1）由幂函数定义列出方程，求出m的值，检验函数单调性，舍去不合题意的m的值；（2）在第一问的基础上，由函数单调性得到集合，由并集结果得到，从而得到不等式组，求出k的取值范围.
（1）
依题意得：，∴或．
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去．
当时，在上单调递增，符合要求，故.
（2）
由（1）可知，当时，函数和均单调递增．
∴集合，．
又∵，∴，∴，
∴，
∴实数k的取值范围是.
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