第4章4.2对数与对数函数 同步练习（含答案）

第4章4.2对数与对数函数同步练习
2022——2023学年高中数学人教B版（2019）第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数，若且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数（为常数，其中）的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知，且，则函数与的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则有（ ）
A． B．
C． D．
6．声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：W/m2）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140 dB；一般说话时，声音的等级约为60 dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ 　）
A．106倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍
7．以下四个命题：
①当时，函数的图象是一条直线；
②函数和为同一个函数；
③若定义域为R的函数是奇函数，则；
④已知函数在区间上的图象是一段连续曲线，若，则函数在上没有零点．
其中，真命题的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
9．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度单位）和燃料的质量（单位）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是（是参数）．当质量比比较大时，函数关系中真数部分的1可以忽略不计，按照上述函数关系，将质量比从2000提升至50000，则大约增加了（附：）（ ）
A．52% B．42% C．32% D．22%
10．已知，设，则所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的图像如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．与函数有相同图象的一个函数是（ ）
A． B．
C．，其中 D．，其中
13．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
14．下列函数中，在区间上为单调增函数的是（ ）
A． B． C． D．
15．若函数为定义在上的奇函数，且在为增函数，又，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．若(且)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
17．若， ，则____．
18．若函数（）的最大值比最小值大1，则实数______.
19．通常我们以分贝（dB）为单位来表示声音大小的等级，如果强度为v的声音对应的分贝数为f（v）dB，那么满足：，若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到90dB，则90dB的声音与50dB的声音强度之比为______.
20．函数的图像一定经过点______.
三、解答题
21．计算或化简下列各式：
(1)
(2)
22．若函数与区间D同时满足：①区间D为的定义域的子集，②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间D上的有界函数，其中M称为函数的一个上界．
(1)判断函数，是否是R上的有界函数；
(2)已知函数为奇函数，求函数在区间上的所有上界M构成的集合；
(3)对实数m进行讨论，探究函数在区间上是否存在上界M？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．
23．已知函数（）.
(1)求函数的定义域，并判断的奇偶性；
(2)用定义证明函数在上是严格增函数；
(3)如果当时，函数的值域是，求与的值.
24．已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
(3)若对于恒成立，求实数的最小值．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】由已知条件结合对数的运算可知，再将所求化为关于a的一元函数，利用函数单调性求函数的值域即可.
【详解】因为且，所以，所以，
所以，所以．所以，
对勾函数在上为减函数，所以，
所以的取值范围为.
故选：D．
2．C
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，结合中间值比较大小.
【详解】因为在R上单调递减，故，即，
因为在上单调递增，故，
因为在上单调递减，故，
故.
故选：C．
3．D
【分析】根据图象判断函数单调性，可判断a的范围，结合特殊值的函数值可判断c的范围，即得答案.
【详解】由函数图象可知函数为单调递减函数，结合可知，
当时，，
当时，，故，
故选：D
4．C
【分析】根据对数函数的性质结合条件分析即得.
【详解】当时，函数为增函数，且直线与y轴的交点的纵坐标大于1；
当时，函数为减函数，且直线与y轴的交点的纵坐标在0到1之间，只有C符合，
故选：C．
5．B
【分析】根据指数函数和对数函数的性质分析判断，即得.
【详解】因为，，，
所以.
故选：B.
6．B
【分析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，，根据题意得出，，计算求的值．
【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，，，则，
，则，
所以，
因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍．
故选：B．
7．A
【分析】判断是函数的图象形状，判断①；根据函数和的定义域可判断②；根据奇函数的定义和性质可判断③；举反例可判断④.
【详解】当时，函数,定义于为,
故此时函数图象为直线上挖去点，①错误；
函数的定义域为R，函数定义域为，
故函数和不是同一个函数，②错误；
若定义域为R的函数是奇函数，则，则，③是真命题；
函数在区间上的图象是一段连续曲线，若，
不妨取，区间为，满足，
当在内有零点1和2，故④错误，
故真命题的个数为1，
故选：A
8．C
【分析】对四个选项从定义域和对应关系两个方面一一验证，即可得到正确答案.
【详解】对于A：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故A错误；
对于B：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故B错误；
对于C：的定义域为，的定义域为，所以定义域相同.又对应关系也相同，所以为同一个函数.故C正确；
对于D：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故D错误；
故选：C
9．B
【分析】质量比提升后的最大速度与提升前的最大速度相除，即可算出增加的百分比.
【详解】当质量比为2000时，最大速度，
当质量比为50000时，最大速度，
，，
所以将质量比从2000提升至50000，则大约增加了.
故选：B
10．C
【分析】由题知，进而得，故.
【详解】解：因为，所以，
因为，
所以．
因为，
所以，
所以．
故选：C．
11．D
【分析】根据图像分析可知，根据指数函数和对数函数的单调性，即可判断不等式的正误.
【详解】解：函数的图像可由函数的图像向下平移个单位长度得到，由图可知，.
对于A，，，A选项正确；
对于B，，，，B选项正确；
对于C，，，，C选项正确;
对于D，，，D选项错误；
故选：D.
12．D
【分析】选项A图象为折线判断错误；选项B图象上无原点判断错误；选项图象为无端点射线判断错误；选项D可化为与函数有相同图象判断正确.
【详解】选项A：，图象为折线.判断错误；
选项B：，图象上无原点.判断错误；
选项C：，图象为无端点射线.判断错误；
选项D：，与函数有相同图象.判断正确.
故选：D
13．A
【分析】根据对数的运算法则及性质判断即可.
【详解】解：对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D错误；
故选：A
14．C
【分析】根据基本初等函数函数的单调性判断即可.
【详解】解：对于A：在上单调递减，故A错误；
对于B：在上单调递减，故B错误；
对于C：在上单调递增，在上单调递减，故C正确；
对于D：在上单调递减，故D错误；
故选：C
15．A
【分析】分析出函数在上的单调性，可得出，分、两种情况解原不等式，即可得出原不等式的解集.
【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且在为增函数，
则该函数在上也为增函数，且，
由可得.
当时，则，解得；
当时，则，解得.
综上所述，不等式的解集为.
故选：A.
16．
【分析】先利用判断是增函数，进而得到是增函数，列关系计算即得结果.
【详解】因为(且)在区间(－1，＋∞)上是增函数，
知在区间(－1，＋∞)上是增函数，且，故是增函数，
所以，解得.
故a的取值范围是．
故答案为：．
17．2
【分析】根据对数的换底公式以及对数的运算法则，即可求得答案.
【详解】由可得，
由可得，即，
故，
故答案为：2
18．或
【分析】由题意讨论的取值以确定函数的单调性及最值，从而求解
【详解】当时，在上是减函数，则，解得 ；
当时，在上是增函数，则，解得 ；
故答案为：或
19．/10000
【分析】则，可得，由，可得，即可计算的值.
【详解】解：当时，则有，解得，
当时，则有，解得，
所以当.
故答案为：
20．
【分析】当对数的真数为1时，函数值与底数无关，由此求得定点的坐标.
【详解】令，得，又，所以函数图像必过定点.
故答案为：.
21．(1)3
(2)
【分析】（1）根据对数的运算性质以及指数的运算性质即可求解，
（2）根据对数的运算性质即可求解.
【详解】（1）原式
（2）原式=
22．(1)不是R上的有界函数，是R上的有界函数
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）求出，，从而得到不是R上的有界函数，是R上的有界函数；
（2）由为奇函数，得到，进而由在上的单调性求出，从而求出所有上界M构成的集合；
（3）分离常数得到，分，与三种情况，求出的范围，从而得到所有上界M构成集合.
【详解】（1）的定义域为R，且，当且仅当时，等号成立，故的值域为，
故不存在常数，使得成立，故不是R上的有界函数，
的定义域为，当时，，
当时，，
定义域为，且，
故为偶函数，
当时，，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，
画出的图象，如下：
由图象可知，当且仅当时，等号成立，
故，
综上：存在，使得，
故是R上的有界函数．
（2）为奇函数，
故，
所以，所以，解得：，
当时，，不合要求，
当时，，，
故，由得：或，
故定义域为，
在单调递减，
故，故，故，
故存在所有上界，满足要求；
（3），
当时，，，此时的取值范围是，
当时，在上是严格单调递减函数，其值域为，故，此时的取值范围是，
当时，，若在上是有界函数，
则区间为的定义域的子集，所以恒不为0，
也即恒正或恒负，
所以或，解得：或，
在上是严格单调递增函数，
此时的值域为，
①，即或时，，
此时的取值范围是，
②，即时，，
此时的取值范围是，
综上：当时，存在上界M，；
当或时，存在上界M，；
当时，存在上界M，，
当时，此时不存在上界．
【点睛】方法点睛：函数新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.
23．(1) ，是奇函数
(2)证明见解析
(3)，
【分析】（1）解即可得函数定义域吗，再根据对数运算，结合奇函数的概念判断即可；
（2）结合对数函数单调性，根据函数单调性的定义证明即可；
（3）由题知且在上的值域是，进而得且，再解方程即可得答案.
【详解】（1）解：令，解得，所以.
对任意，，
所以函数是奇函数.
（2）解：设，且，则.
因为，，，
所以，得.
又，于是，即，
所以函数在上是严格增函数.
（3）解：由（2）知，函数在上是严格增函数.
因为时，的值域是，
所以且在上的值域是，
因为在上单调递减，
所以，且，
所以，由，得，解得或（舍去），
所以，.
24．(1)
(2)偶函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据对数真数大于零可直接解不等式求得定义域；
（2）根据奇偶性的定义直接判断即可得到结论；
（3）由对数真数大于零首先确定恒成立时的范围；由对数不等式可得，采用分离变量法，结合对勾函数性质可求得的范围；综合即可得到的最小值.
【详解】（1）由得：，，即的定义域为.
（2）由（1）知：定义域关于原点对称，
，为偶函数.
（3）当时，恒成立，
则当时，，满足题意；当时，，解得：；
；
由得：，；
在上单调递减，在上单调递增，
，；
综上所述：实数的最小值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页