第4章4.1指数与指数函数 同步练习（含解析）

第4章4.1指数与指数函数同步练习
（含答案）2022——2023学年高中数学人教B版（2019）第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知为正实数，则（ ）
A． B．
C． D．
2．碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为（ ）
A． B．25730 C． D．
3．已知，则的值是（ ）
A．15 B．12 C．16 D．25
4．已知函数，当时，总有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．设a＞0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数是指数函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
7．给出下列4个等式：①；②；③若a∈R，则；④设n∈N*，则，其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
8．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．设为定义在实数上的奇函数，当时，（为常数），则（ ）
A． B． C． D．
10．函数（且）的图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
11．若函数为指数函数，则（ ）
A．或 B．且
C． D．
12．给出下列函数：①；②；③；④.其中指数函数的个数为（　）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．函数（）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知实数，满足等式，下列五个关系式：
①；②；③；④；⑤．
其中不可能成立的关系式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．设，，那么是（ ）
A．奇函数且在上是增函数 B．偶函数且在上是减函数
C．奇函数且在上是减函数 D．偶函数且在上是增函数
二、填空题
16．函数的定义域为_________.
17．函数在区间［-1，1］上的最大值为___________.
18．已知函数的零点，，则______．
19．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______．
20．有关部门2019年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车计划每年的投入量比上一年增加50%，则该市在2025年应投入电力型公交车_________辆．
三、解答题
21．计算：
(1)；
(2)已知：，求的值.
22．定义在上的奇函数，已知当时，＝.
(1)求在上的解析式；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
23．定义在的奇函数和偶函数满足．
(1)求和的解析式；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
24．已知函数的图像经过点．
(1)求的表达式；
(2)用函数单调性的定义证明：函数是上的严格增函数．
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参考答案：
1．D
【分析】根据指数的运算性质化简即可．
【详解】因为，所以B错误，D正确；
而，且，故A，C错误；
故选：D
2．C
【分析】令碳14的年衰变率为m，原有量为1，根据定义知，利用指数运算性质求衰变率即可.
【详解】设碳14的年衰变率为m，原有量为1，则，故，
所以碳14的年衰变率为.
故选：C
3．A
【分析】利用分数指数幂的运算即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
又由立方差公式，，
故选：A．
4．D
【分析】根据指数函数的图象和性质即可求解.
【详解】由指数函数的图象和性质可知，要使函数在上，总有，则，解得或，
故选：D.
5．C
【分析】根据指数幂的运算性质计算即可得答案
【详解】解：.
故选：C
6．B
【分析】由指数函数定义可设，由可求得的值，由此可得结果.
【详解】为指数函数，可设且，
，解得：，.
故选：B.
7．B
【分析】根据根式与指数式的意义及性质求解即可．
【详解】①中，所以①错误；
②错误；
③因为恒成立，所以有意义且恒等于1，所以③正确；
④若n为奇数，则，若n为偶数，则，
所以当n为偶数时，时不成立，所以④错误．
故选：B．
8．C
【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可.
【详解】A中，（），故A错误；
B中，，故B错误；
C中，（），故C正确；
D中，，故D错误.
故选：C.
9．A
【分析】利用可求得，由可求得结果.
【详解】为定义在上的奇函数，，解得：，经检验符合题意，
当时，，.
故选：A.
10．C
【分析】令指数为零，求出的值，代入函数解析式可得出函数图象所过定点的坐标.
【详解】对于函数，则，可得，则，
所以，函数（且）的图象恒过定点坐标为.
故选：C.
11．C
【分析】利用指数函数的定义列方程组求解即可.
【详解】因为函数为指数函数，
则，且，解得，
故选：C
12．A
【分析】根据指数函数的定义进行判断即可.
【详解】对于①，函数的自变量在底数位置，不在指数位置，故不是指数函数；
对于②，函数的底数，故不是指数函数；
对于③，函数中的指数式的系数不为，故不是指数函数；
对于④，函数的底数满足，符合指数函数的定义，是指数函数.
故选：A.
13．C
【分析】结合指数函数的性质，分和两种情况求解即可.
【详解】当时，，因此，且函数在上单调递增，故A、B均不符合；
当 时，，因此，且函数在上单调递减，故C符合，D不符合．
故选：C．
14．B
【分析】先画出函数与的图象，再讨论时，的情况即可．
【详解】解：画出函数与的图象，
当时，的图象在的图象下方，
当时，的图象在的图象上方，
当，时，则，
当时，成立，
当，时，则，
故③，④不成立.
故选：B．
15．D
【分析】根据奇偶函数的定义判断奇偶性，再由指数函数的单调性判断在上的单调性即可.
【详解】，，
，
故为偶函数,当时，，是增函数，
故选：D．
16．
【分析】根据解析式，列出使解析式有意义条件，解出x的取值范围.
【详解】由题意可得，解得：，所以函数的定义域为.
故答案为：.
17．7
【分析】利用换元法，令，即可求出最大值.
【详解】令，则.
所以即为.
因为对称轴为，所以在.上单调递增，
所以当时，为最大值.
故答案为：7
18．2
【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理判断零点的范围，即可得答案.
【详解】因为函数为R上单调减函数，
故函数为R上单调减函数，
又，，
故在上有唯一零点，
结合题意可知，
故答案为：2
19．
【分析】由题意设，则，利用题中所给解析式求出，再由奇函数的定义即可得出答案.
【详解】当时，则，则，
又函数是定义在R上的奇函数，
所以当时，.
故答案为：.
20．1458
【分析】根据增长指数函数模型求解.
【详解】从2019年起，经过年，投入电力型公交车为辆，
则有，
因为2019年起，经过年，
到在2025年，投入电力型公交车为辆，
故答案为: 1458.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值；
（2）在等式两边平方可得出，再利用平方关系可求得，代入计算可得出的值.
【详解】（1）解：原式.
（2）解：因为，则，所以，，
所以，，可得，，
因此，.
22．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，求得，再由奇函数的定义，结合已知解析式，可得在上的解析式；
（2）由题意可得在时恒成立，由参数分离和指数函数的单调性，结合恒成立，可得的取值范围．
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，时，，
所以，解得，
所以时，，
当时，，
所以，
又，
所以，，
即在上的解析式为；
（2）因为时，，
所以可化为，
整理得，
令，根据指数函数单调性可得，
与都是减函数，
所以也是减函数，
，
所以，
故数的取值范围是.
23．(1)，
(2)
【分析】（1）由已知可得，与联立即可解出和的解析式；
（2）由已知可得，即，令，可得只需即可，根据基本不等式即可求出；
【详解】（1）因为，①，所以．
因为是奇函数，是偶函数，所以，②
①-②得，①+②得.
（2）不等式化为，
即，令，因为，所以，
故不等式在上恒成立，所以，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
所以.
24．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据函数的图象经过点列方程可求出的值，从而得解；
（2）任取且， 作差、变形、因式分解，判断差值的正负，再判断的大小，从而可得结论.
【详解】（1）因为函数的图像经过点，
所以，即，
所以；
（2）由（1）可知，
任取且，因为是严格增函数，
所以，，，
则
，
所以，
所以函数是上的严格增函数．
答案第1页，共2页
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