第4章4.5增长速率的比较 同步练习（含解析）

第4章4.5增长速率的比较同步练习
2022——2023学年高中数学人教B版（2019）第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下面对函数，与在区间上的衰减情况的叙述正确的是（ ）
A．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢
B．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快
C．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢
D．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快
2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
3．以下四种说法中，正确的是（ ）
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x>0，xn>logax
C．对任意的x>0，ax>logax
D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax
4．函数，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率为（ ）
A．2.1 B．1.1 C．2 D．1
5．某企业近几年的年产值如图，则年增长率最高的是（ ）
A．2015年 B．2016年 C．2017年 D．2018年
6．若函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系与的取值有关
7．在函数 的图象上有一点，此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为
A． B．
C． D．
8．某公司的盈利y（元）和时间x（天）的函数关系是，假设恒成立，且，，则这些数据说明后10天与前10天比较（ ）
A．公司已经亏损
B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大
C．公司在亏损且亏损幅度变小
D．公司的盈利在增加，增加的幅度变小
9．若函数，，在上的平均变化率分别记为，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
10．甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点，丁车最后到达终点.若甲、乙两车的图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是
A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域 B．丙在Ⅰ区域，丁在Ⅲ区域
C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域 D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域
11．如图，阴影部分的面积S是h(0≤h≤H)的函数，则该函数的图像是图中的(　　)
A． B． C． D．
12．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　)
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2
13．某地区在六年内第年的生产总值 （单位：亿元）与之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是
A．第一年到第三年 B．第二年到第四年
C．第三年到第五年 D．第四年到第六年
14．客车从甲地以60km/h的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度行驶1小时到达丙地.下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图象中，正确的是
A． B． C． D．
15．对于以下四个函数：①；②；③；④．在区间上函数的平均变化率最大的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题
16．函数在区间上的平均变化率为___________.
17．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则婴儿体重在第________年增长较快．
18．函数与在区间上增长较快的是________．
19．汽车行驶的路程和时间之间的函数图像如图所示，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为______.
20．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：
①当时，甲走在最前面；
②当时，乙走在最前面；
③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．
其中，正确结论的序号为_________（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）．
三、解答题
21．某棵果树前n年的总产量与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，求m的值.
22．已知函数，判断与的相对大小，并求出使得成立的的取值范围.
23．已知函数的定义域为R，分别判断下列条件下的单调性：
（1）在任意区间内的平均变化率均为正数；
（2）在任意区间内的平均变化率均比在同一区间内的平均变化率小.
24．已知函数.
（1）求在区间与上的平均变化率；
（2）记，判断直线AB与直线BC斜率的相对大小.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】根据幂指对函数的图象以及性质即可求解.
【详解】由函数，与在区间上的图象以及性质知函数，，的衰减速度均逐渐变慢，
故选:C．
2．A
【详解】，
又，
所以随x的增大而减小，
故D不正确；
又与它们都是增函数，
因为为指数函数，为对数函数，
则随x的增大而增大且速度最快的是
故选：A
3．D
【分析】通过举例说明幂函数、指数函数和对数函数以及一次函数的性质，判断选项中的命题是否正确即可．
【详解】解：对于A，幂函数增长的速度不一定比一次函数增长的速度快，如和在时，所以A错误；
对于B，当时，由幂函数和对数函数的性质知，对任意的，不成立，所以B错误；
对于C，当时，由指数函数和对数函数的性质知，对任意的，不成立，所以C错误；
对于D，当时，由幂函数和指数函数、对数函数的性质知，不一定存在，当时，总有，所以D正确．
故选：D．
4．A
【分析】根据函数平均变化率的求法即可得到答案.
【详解】由题意，函数的平均变化率为：.
故选：A.
5．B
【分析】分别求出2015，2016，2017，2018四年的大致增长率，即可得出答案.
【详解】解：2015年的增长率大约为，
2016年的增长率约为，
2017年的增长率约为，
2018年的增长率约为，
所以年增长率最高的为2016年.
故选：B.
6．A
【分析】直接代入函数平均变化率公式进行化简得到，表达式，由题意知，即可得判断，大小关系.
【详解】，．
由题意知，所以，
故选：A．
7．B
【解析】可列出S与t的函数关系式，再根据解析式判定函数图像.
【详解】因为，所以其对应图象为B,
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.
8．D
【分析】根据平均变化率与增长幅度的关系说明．
【详解】平均变化率为正说明盈利是增加的，平均变化率变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的，故选D．
【点睛】本题考查平均变化率的实际意义，属于基础题．
9．A
【详解】函数在的平均变化率为：；
函数在的平均变化率为：；
函数在的平均变化率为：；
∴
故选A.
10．A
【详解】由图可得：丙车最先到达终点，丁车最后到达终点，∴丙车速度最大，丁车速度最小，由几何意义可得丙车所在直线的倾斜角最大，丁车所在直线的倾斜角最小，故选A.
11．C
【详解】由题可知，是，是减函数，故A、B错；
由图形阴影面积的变化趋势来看，函数减小的趋势是变慢的，故选C．
点睛：观察函数的单调性和变化趋势来解决问题，本题观察阴影部分的变化情况，首先可知是减函数，再根据等长递减观察，可知递减的趋势是由快变慢的，故得到图象为C选项．
12．C
【详解】由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，是幂函数，是指数函数，是对数函数，故选C．
13．A
【详解】试题分析：由图可知3-4-5这一段，增长率明显偏低，5-6虽然高，但“分散到”六年平均就不高了．
故选：A．
考点：年平均增长率
14．D
【详解】由题意可知客车在整个过程中的路程函数S(t)的表达式为
对比各选项的曲线知应选D．
15．C
【分析】分析求出四个函数的平均变化率，然后比较即可.
【详解】①，②，③，④．
故选：C．
16．/
【分析】利用平均变化率的定义求解
【详解】函数在区间上的平均变化率为
，
故答案为：
17．一
【分析】计算每年的体重变化率．
【详解】解析，，，
故第一年婴儿体重的平均变化率大，婴儿体重增长较快．
故答案为一．
【点睛】本题考查平均变化率的实际意义，属于基础题．
18．
【分析】求两个函数的平均变化率，比较它们的大小可得．
【详解】在上取，，
，
因为，所以，，
所以，所以函数在区间上的增长速度慢于函数的增长速度，故增长较快的为．
故答案为．
【点睛】本题考查平均变化率的概念，平均变化率的大小反应了函数值增长的快慢程度．
19．/
【分析】根据题意，有平均速度的定义可得汽车在时间段上的平均速度即为该段直线的斜率，结合图像即可得出答案.
【详解】解：因为，，
，
由图可知，
所以.
故答案为：.
20．③④⑤
【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数的图像进行比较，判断各结论即可.
【详解】，，，，它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型，函数图像如图：
当时，,∴命题①不正确；
当时，，∴命题②不正确；
对数型函数的变化是先快后慢，当时，甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面，命题③正确；
结合对数型和指数型函数的图像变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．
指数型函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．
故答案为：③④⑤
21．9
【分析】前年的年平均产量表示的是点与原点组成的斜率，观察图象即可得到答案.
【详解】前n年的年平均产量即前n年的总产量在上的平均变化率，即点与原点连线的斜率.连接各点与原点0，可知当时，连线的斜率最大，所以m的值为9.
故答案为：9
22．，.
【分析】分别求出，比较大小；成立，化为，成立，解不等式，即可得出结论.
【详解】因为，
所以.
所以
而，
.
使，
即成立的的取值范围为，即.
故答案为：①；②.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关比较函数值的大小以及增长速度的比较问题，关键点是求得自变量所对应的函数值，利用数值比较大小，根据大小关系构造不等式求解即可.
23．（1）增函数；（2）减函数.
【解析】（1）根据区间内函数平均变化率的定义，设且，则，在任意区间内的平均变化率，结合函数的单调性定义，即可证明；
（2）在任一区间内的平均变化率为0，则在任意区间内的平均变化率小于0，同（1）可证结论.
【详解】（1）是增函数，理由如下：
取且，则，
由题意知在任意区间内的平均变化率
.
是增函数
（2）是减函数，理由如下：
取任意区间，则在该区间上的平均变化率为
在该区间上的平均变化率为.
由题意，.
，
是减函数.
【点睛】本题考查任意区间内平均变化率，与函数的单调性的关系，属于中档题.
24．（1）；（2）.
【解析】（1）在区间上的平均变化率为，同理在区间上的平均变化率为，
（2）用斜率公式可求，并比较大小.
【详解】（1）在区间上的平均变化率为：
.
在区间上的平均变化率为：
（2）
【点睛】本题考查函数在区间上的平均变化率，以及区间两端点连线的斜率，属于基础题.
答案第1页，共2页
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