第4章4.7数学建模活动：生长规律的描述 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 第4章4.7数学建模活动：生长规律的描述 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 384.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-14 09:30:19 | ||
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文档简介
第四章4.7数学建模活动：生长规律的描述同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．据统计，第x年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）近似满足.观测发现第1年有越冬白鹤3000只，估计第7年有越冬白鹤（ ）
A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只
2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.0418 7.5 12 18.01
A． B． C． D．
3．已知光线每通过一块玻璃板强度就减弱，要使通过玻璃板的光线的强度不大于原来强度的，则至少需要重叠玻璃板的块数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长，那么，经过x年，绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．如果某种放射性元素每年的衰减率是，那么的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）等于（ ）
A． B． C． D．
6．我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，设平均每年的增长率为，则有（ ）
A． B．
C． D．
7．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的的关系式为：，已知新丸经过50天后，体积变为；若一个新丸体积变为，则需经过的天数为
A．75天 B．100天 C．125天 D．150天
9．某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为( )
A．10% B．12% C．25% D．40%
二、填空题
10．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，后物体的温度可由公式求得．把温度是的物体，放在的空气中冷却后，物体的温度是，那么的值约等于_________．（保留三位有效数字，参考数据：取，取）
11．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件．
三、双空题
12．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数;t表示时间,单位:小时;y表示病毒个数),则k=____,经过5小时,1个病毒能繁殖为____个.
四、解答题
13．2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：
1 2 3 4 5 6 …
y(万个) … 10 … 50 … 150 …
若该变异毒株的数量y(单位：万个)与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择．
(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．(参考数据：，)
14．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120．设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)．
（1）求f(50)的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？
15．下表表示的是某款车的车速与刹车距离的关系，试分别就，，三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为120km/h时的刹车距离．
车速/（km/h） 10 15 30 40 50
刹车距离/m 4 7 12 18 25
车速/（（km/h） 60 70 80 90 100
刹车距离/m 34 43 54 66 80
16．习近平总书记在十九大报告中指出，“要着力解决突出环境问题，持续实施大气污染防治行动”．为落实好这一精神，市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放．已知在过滤过程中，废气中的污染物含量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量）．过滤小时后检测，发现污染物的含量为原来的．
（1）求函数的关系式；
（2）要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几小时？（参考数据：）
17．为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周年，特发行黑山谷纪念邮票，从2017年11月1日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念邮票在一周内每1张的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
上市时间x天 1 2 6
市场价y元 5 2 10
（Ⅰ）分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的变化关系，并判断y与x满足下列哪种函数关系，①一次函数；②二次函数；③对数函数，并求出函数的解析式；
（Ⅱ）利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低的价格．
18．水葫芦原产于巴西，年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为. 现水葫芦覆盖面积（单位）与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择.
（参考数据： ）
（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（Ⅱ）求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】将代入表达式得，再将代入计算即可.
【详解】解：由题意，得，得，
所以当时，.
故选：C.
2．B
【分析】由表中的数据分析得出，自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的图象与性质，利用排除法即可得出正确的答案
【详解】由题中表格可知函数在上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B．
【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用问题，解题时应掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图象与性质，是基础题．
3．D
【分析】设出至少需要n块玻璃，列出，利用对数的运算性质，求出最小n的正整数即可．
【详解】设需要重叠玻璃板的块数为n，由题意得，解得，所以至少要重叠11块玻璃板．
故选D
【点睛】本题考查对数的运算性质，考查计算能力，是基础题．
4．D
【分析】先根据题意确定函数y=f（x）的表达式，然后根据表达式确定对应的函数图象．
【详解】设山区第一年绿色植被的面积为a，则，易知其定义域为，值域为，且随x的增大；y增长的速度越来越快．故选D．
【点睛】本题主要考查指数函数的定义和图象，比较基础
5．C
【分析】设物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间），可以得出一个方程，两边取对数，即可求出.
【详解】千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）为，
，两边取对数，
，即，
.
故选C.
【点睛】本题以实际问题为问题载体，考查指数函数模型的构建及解指数方程，属于基础题．
6．D
【分析】设的总产值为，我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，说明年的工农业总产值是年工农业总产值的倍，然后根据平均增长率的定义列等式即可.
【详解】本题为增长率模型函数，为指数函数形式.
设年总产值为，由于我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，说明年的工农业总产值是年工农业总产值的，则.
故选D.
【点睛】本题考查平均增长律的定义，根据题意列式是解本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
7．D
【分析】分别分析一次函数、二次函数、指数型函数、对数型函数单调性以及其变化快慢结合题意即可得结果.
【详解】根据基本初等函数的图象与性质可知，一次函数增长的速度不变，不满足题意；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是二次函数，则必须开口向上，而此时在二次函数对称轴的右侧增长的速度是越来越快，没有慢下来的可能，不符合要求；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是指数函数，则底数必是大于1的数，而此时指数函数增长的速度也是越来越快的，也不满足要求；对于对数函数，当底数大于1时，对数函数增长的速度先快后慢，符合要求，故选D．
【点睛】本题主要考查了基本初等函数的性质在实际中的应用，熟练掌握它们的单调性是解题的关键，属于中档题.
8．A
【详解】试题分析：由题意，得，解得；令，即，
即需经过的天数为75天.
考点：指数的运算.
9．C
【详解】分析：欲求税率，只须求出去年的总收入即可，而总收入由两部分构成：去年的利润，广告费超支．根据税率公式计算即得．
解答：解：由题意得：去年的利润为：1000-500-200=300（万元），
广告费超支：200-（1000×2%）=180（万元），
税率为：=25%．
故选C．
点评：本小题主要考查根据实际问题选择函数类型等基础知识，考查运算求解能力，考查解决实际问题的能力．属于基础题．
10．
【详解】试题分析：依题意将代入公式可得，解得，．
考点：解指数方程．
【方法点睛】本题是一个物理背景下的函数问题．解该类题型时，不应把精力集中在物理背景上，应从物理背景中脱离出来，看到问题的数学本质，本题经分析其实就是一个关于的一个函数，只需将相应的量代入解析式即可求解．
11．1.75
【详解】由已知得，解得.
∴y＝－20.5x＋2.
当x＝3时，y＝1.75.
故答案为1.75.
12． 2ln2 1024
【详解】当t=0.5时,y=2,∴2=,∴k=2ln 2,∴y=e2tln 2,
当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.
13．(1)更合适，；
(2)11.
【分析】(1)将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据的值，即可判断．
(2)设至少需要个单位时间，则，再结合对数的计算方法即可求解．
【详解】（1）若选，将，和，代入可得，，解得，故，将代入，；
若选，将，和，代入可得，，解得，
故，将代入可得，；
所以选择函数更合适，解析式为．
（2）设至少需要个单位时间，
则，即，两边同时取对数可得，，
则，
，
的最小值为11，
故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．
14．（1）277.5；（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大．
【分析】（1）由计算可得；
（2）由已知列出函数式，注意定义域，然后换元，化为二次函数，由二次函数知识得最大值．
【详解】（1）若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，
所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5．
（2）由题知，
f(x)＝80＋4＋ (200－x)＋120
＝－x＋4＋250，
依题意得
解得20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．
令t＝，则t2＝x，t∈[2，6]，
y＝－t2＋4t＋250＝－ (t－8)2＋282，
当t＝8，即x＝128时，y取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．
15．以为模拟函数，当车速为120km/h时，停车距离为114m．
【分析】先求出，，解析式，再分别计算车速为90km/h，100km/h时的停车距离，确定函数模型，即可求得结论．
【详解】解：若以为模拟函数，将，代入函数关系式，得，解得，，以此函数关系式计算车速为90km/h，100km/h时，停车距离分别为220.8m，364.5m，与实际数据相比，误差较大．
若以为模拟函数，将，代入函数关系式，得，解得，，以此函数关系式计算车速为90km/h，100km/h时，停车距离分别为43.39m，48.65m，与实际情况误差也较大．
若以为模拟函数，将，，代入函数关系式，得，解得，，
以此函数关系式计算车速为90km/h，100km/h时，停车距离分别为68m，82m，与前两个函数相比，此函数更符合实际情况．
当时，，即当车速为120km/h时，停车距离为114m．
【点睛】本题考查函数模型的选择，考查学生的计算能力，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．
16．（1）（2）30
【分析】（1）由题意代入点（1，P0），求得函数P（t）的解析式；
（2）根据函数P（t）的解析式，列不等式求出t的取值范围即可．
【详解】解：（1）根据题设，得，
所以，
（2）由，得，
两边取以10为底的对数，并整理，得t（1﹣3lg2）≥3，∴t≥30
因此，至少还需过滤30小时
【点睛】本题考查了指数函数模型的应用问题，求指数型函数的解析式，指数型不等式的解法，是中档题．
17．（1）f（x）=x2﹣6x+10(x≥0)； （2）黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市为第3天，最低的价格为1元.
【分析】（Ⅰ）根据y的变化趋势可知函数不单调，从而选择②，利用待定系数法求出解析式，
（Ⅱ）根据二次函数的性质得出最小值及其对应的时间；
【详解】（Ⅰ）由于市场价y随上市时间x的增大先减小后增大，
而模型①③均为单调函数，不符合题意，
故选择二次函数模型②，
设f（x）=ax2+bx+c由表中数据可知 ，解得a=1，b=﹣6，c=10，
∴f（x）=x2﹣6x+10(x≥0)，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1，
当x=3时，黑山谷纪念邮票市场价最低，最低为1元，
故黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市为第3天，最低的价格为1元
【点睛】本题考查了函数模型的选择和应用，二次函数的性质与应用，属于中档题．
18．（1）（2）原先投放的水葫芦的面积为8m2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.
【分析】（Ⅰ）判断两个函数y=kax（k＞0，a＞1），在（0，+∞）的单调性，说明函数模型y=kax（k＞0，a＞1）适合要求．然后列出方程组，求解即可．
（Ⅱ）利用 x=0时，，若经过个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍则有
，求解即可．
【详解】（Ⅰ）的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢.
则有， 解得 ，
（Ⅱ）当时，
该经过个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍. 有
答：原先投放的水葫芦的面积为8m2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.
【点睛】本小题考查数学建模能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力；考查数学应用意识.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．据统计，第x年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）近似满足.观测发现第1年有越冬白鹤3000只，估计第7年有越冬白鹤（ ）
A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只
2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.0418 7.5 12 18.01
A． B． C． D．
3．已知光线每通过一块玻璃板强度就减弱，要使通过玻璃板的光线的强度不大于原来强度的，则至少需要重叠玻璃板的块数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长，那么，经过x年，绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．如果某种放射性元素每年的衰减率是，那么的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）等于（ ）
A． B． C． D．
6．我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，设平均每年的增长率为，则有（ ）
A． B．
C． D．
7．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的的关系式为：，已知新丸经过50天后，体积变为；若一个新丸体积变为，则需经过的天数为
A．75天 B．100天 C．125天 D．150天
9．某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为( )
A．10% B．12% C．25% D．40%
二、填空题
10．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，后物体的温度可由公式求得．把温度是的物体，放在的空气中冷却后，物体的温度是，那么的值约等于_________．（保留三位有效数字，参考数据：取，取）
11．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件．
三、双空题
12．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数;t表示时间,单位:小时;y表示病毒个数),则k=____,经过5小时,1个病毒能繁殖为____个.
四、解答题
13．2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：
1 2 3 4 5 6 …
y(万个) … 10 … 50 … 150 …
若该变异毒株的数量y(单位：万个)与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择．
(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．(参考数据：，)
14．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120．设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)．
（1）求f(50)的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？
15．下表表示的是某款车的车速与刹车距离的关系，试分别就，，三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为120km/h时的刹车距离．
车速/（km/h） 10 15 30 40 50
刹车距离/m 4 7 12 18 25
车速/（（km/h） 60 70 80 90 100
刹车距离/m 34 43 54 66 80
16．习近平总书记在十九大报告中指出，“要着力解决突出环境问题，持续实施大气污染防治行动”．为落实好这一精神，市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放．已知在过滤过程中，废气中的污染物含量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量）．过滤小时后检测，发现污染物的含量为原来的．
（1）求函数的关系式；
（2）要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几小时？（参考数据：）
17．为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周年，特发行黑山谷纪念邮票，从2017年11月1日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念邮票在一周内每1张的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
上市时间x天 1 2 6
市场价y元 5 2 10
（Ⅰ）分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的变化关系，并判断y与x满足下列哪种函数关系，①一次函数；②二次函数；③对数函数，并求出函数的解析式；
（Ⅱ）利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低的价格．
18．水葫芦原产于巴西，年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为. 现水葫芦覆盖面积（单位）与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择.
（参考数据： ）
（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（Ⅱ）求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.
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第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】将代入表达式得，再将代入计算即可.
【详解】解：由题意，得，得，
所以当时，.
故选：C.
2．B
【分析】由表中的数据分析得出，自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的图象与性质，利用排除法即可得出正确的答案
【详解】由题中表格可知函数在上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B．
【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用问题，解题时应掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图象与性质，是基础题．
3．D
【分析】设出至少需要n块玻璃，列出，利用对数的运算性质，求出最小n的正整数即可．
【详解】设需要重叠玻璃板的块数为n，由题意得，解得，所以至少要重叠11块玻璃板．
故选D
【点睛】本题考查对数的运算性质，考查计算能力，是基础题．
4．D
【分析】先根据题意确定函数y=f（x）的表达式，然后根据表达式确定对应的函数图象．
【详解】设山区第一年绿色植被的面积为a，则，易知其定义域为，值域为，且随x的增大；y增长的速度越来越快．故选D．
【点睛】本题主要考查指数函数的定义和图象，比较基础
5．C
【分析】设物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间），可以得出一个方程，两边取对数，即可求出.
【详解】千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）为，
，两边取对数，
，即，
.
故选C.
【点睛】本题以实际问题为问题载体，考查指数函数模型的构建及解指数方程，属于基础题．
6．D
【分析】设的总产值为，我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，说明年的工农业总产值是年工农业总产值的倍，然后根据平均增长率的定义列等式即可.
【详解】本题为增长率模型函数，为指数函数形式.
设年总产值为，由于我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，说明年的工农业总产值是年工农业总产值的，则.
故选D.
【点睛】本题考查平均增长律的定义，根据题意列式是解本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
7．D
【分析】分别分析一次函数、二次函数、指数型函数、对数型函数单调性以及其变化快慢结合题意即可得结果.
【详解】根据基本初等函数的图象与性质可知，一次函数增长的速度不变，不满足题意；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是二次函数，则必须开口向上，而此时在二次函数对称轴的右侧增长的速度是越来越快，没有慢下来的可能，不符合要求；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是指数函数，则底数必是大于1的数，而此时指数函数增长的速度也是越来越快的，也不满足要求；对于对数函数，当底数大于1时，对数函数增长的速度先快后慢，符合要求，故选D．
【点睛】本题主要考查了基本初等函数的性质在实际中的应用，熟练掌握它们的单调性是解题的关键，属于中档题.
8．A
【详解】试题分析：由题意，得，解得；令，即，
即需经过的天数为75天.
考点：指数的运算.
9．C
【详解】分析：欲求税率，只须求出去年的总收入即可，而总收入由两部分构成：去年的利润，广告费超支．根据税率公式计算即得．
解答：解：由题意得：去年的利润为：1000-500-200=300（万元），
广告费超支：200-（1000×2%）=180（万元），
税率为：=25%．
故选C．
点评：本小题主要考查根据实际问题选择函数类型等基础知识，考查运算求解能力，考查解决实际问题的能力．属于基础题．
10．
【详解】试题分析：依题意将代入公式可得，解得，．
考点：解指数方程．
【方法点睛】本题是一个物理背景下的函数问题．解该类题型时，不应把精力集中在物理背景上，应从物理背景中脱离出来，看到问题的数学本质，本题经分析其实就是一个关于的一个函数，只需将相应的量代入解析式即可求解．
11．1.75
【详解】由已知得，解得.
∴y＝－20.5x＋2.
当x＝3时，y＝1.75.
故答案为1.75.
12． 2ln2 1024
【详解】当t=0.5时,y=2,∴2=,∴k=2ln 2,∴y=e2tln 2,
当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.
13．(1)更合适，；
(2)11.
【分析】(1)将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据的值，即可判断．
(2)设至少需要个单位时间，则，再结合对数的计算方法即可求解．
【详解】（1）若选，将，和，代入可得，，解得，故，将代入，；
若选，将，和，代入可得，，解得，
故，将代入可得，；
所以选择函数更合适，解析式为．
（2）设至少需要个单位时间，
则，即，两边同时取对数可得，，
则，
，
的最小值为11，
故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．
14．（1）277.5；（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大．
【分析】（1）由计算可得；
（2）由已知列出函数式，注意定义域，然后换元，化为二次函数，由二次函数知识得最大值．
【详解】（1）若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，
所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5．
（2）由题知，
f(x)＝80＋4＋ (200－x)＋120
＝－x＋4＋250，
依题意得
解得20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．
令t＝，则t2＝x，t∈[2，6]，
y＝－t2＋4t＋250＝－ (t－8)2＋282，
当t＝8，即x＝128时，y取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．
15．以为模拟函数，当车速为120km/h时，停车距离为114m．
【分析】先求出，，解析式，再分别计算车速为90km/h，100km/h时的停车距离，确定函数模型，即可求得结论．
【详解】解：若以为模拟函数，将，代入函数关系式，得，解得，，以此函数关系式计算车速为90km/h，100km/h时，停车距离分别为220.8m，364.5m，与实际数据相比，误差较大．
若以为模拟函数，将，代入函数关系式，得，解得，，以此函数关系式计算车速为90km/h，100km/h时，停车距离分别为43.39m，48.65m，与实际情况误差也较大．
若以为模拟函数，将，，代入函数关系式，得，解得，，
以此函数关系式计算车速为90km/h，100km/h时，停车距离分别为68m，82m，与前两个函数相比，此函数更符合实际情况．
当时，，即当车速为120km/h时，停车距离为114m．
【点睛】本题考查函数模型的选择，考查学生的计算能力，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．
16．（1）（2）30
【分析】（1）由题意代入点（1，P0），求得函数P（t）的解析式；
（2）根据函数P（t）的解析式，列不等式求出t的取值范围即可．
【详解】解：（1）根据题设，得，
所以，
（2）由，得，
两边取以10为底的对数，并整理，得t（1﹣3lg2）≥3，∴t≥30
因此，至少还需过滤30小时
【点睛】本题考查了指数函数模型的应用问题，求指数型函数的解析式，指数型不等式的解法，是中档题．
17．（1）f（x）=x2﹣6x+10(x≥0)； （2）黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市为第3天，最低的价格为1元.
【分析】（Ⅰ）根据y的变化趋势可知函数不单调，从而选择②，利用待定系数法求出解析式，
（Ⅱ）根据二次函数的性质得出最小值及其对应的时间；
【详解】（Ⅰ）由于市场价y随上市时间x的增大先减小后增大，
而模型①③均为单调函数，不符合题意，
故选择二次函数模型②，
设f（x）=ax2+bx+c由表中数据可知 ，解得a=1，b=﹣6，c=10，
∴f（x）=x2﹣6x+10(x≥0)，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1，
当x=3时，黑山谷纪念邮票市场价最低，最低为1元，
故黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市为第3天，最低的价格为1元
【点睛】本题考查了函数模型的选择和应用，二次函数的性质与应用，属于中档题．
18．（1）（2）原先投放的水葫芦的面积为8m2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.
【分析】（Ⅰ）判断两个函数y=kax（k＞0，a＞1），在（0，+∞）的单调性，说明函数模型y=kax（k＞0，a＞1）适合要求．然后列出方程组，求解即可．
（Ⅱ）利用 x=0时，，若经过个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍则有
，求解即可．
【详解】（Ⅰ）的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢.
则有， 解得 ，
（Ⅱ）当时，
该经过个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍. 有
答：原先投放的水葫芦的面积为8m2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.
【点睛】本小题考查数学建模能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力；考查数学应用意识.
答案第1页，共2页
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