第5章统计与概率 单元练习（含解析）

第5章统计与概率单元练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个白球与都是红球 B．恰好有一个白球与都是红球
C．至少有一个白球与都是白球 D．至少有一个白球与至少一个红球
2．抽样统计某校部分学生的物理测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是（ ）
A． B．
C． D．
3．给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
4．老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学（其中男同学30名，女同学20名）采取分层抽样的方法，抽取一个容量为10的样本进行研究，则女同学甲被抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为
A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.6
6．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）
A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92
7．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是
A． B． C． D．
8．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18
[27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3
根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占
A． B． C． D．
9．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是(　　)
A．恰有1件一等品 B．至少有一件一等品
C．至多有一件一等品 D．都不是一等品
10．设有两组数据与，它们的平均数分别是和，则新的一组数据的平均数是
A． B． C． D．
11．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[20，60）元的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图估计学生在课外读物方面的支出费用的中位数为元．
A．45 B．46 C． D．
12．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是
A．甲得9张，乙得3张
B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张
D．甲得10张，乙得2张
13．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为
A．85，85，85 B．87，85，86
C．87，85，85 D．87，85，90
14．从分别写有的张卡片中，任取张，这张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表（没有罚球）：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中不正确的是（ ）
A．P(A)=0.55 B．P(B)=0.18 C．P(C)=0.27 D．P(B＋C)=0.55
二、填空题
16．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．
17．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生 1号 2号 3号 4号 5号
甲班 6 7 7 8 7
乙班 6 7 6 7 9
则以上两组数据的方差中较小的一个为=____.
18．从字母中任取两个不同的字母，则取到字母的概率为_____________.
19．某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___________________．
20．袋中装有大小相同的总数为个的黑球、白球若从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，则从中任意摸出个球，得到的都是白球的概率为______．
三、解答题
21．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．
22．某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题：
用户用水量频数直方图 用户用水量扇形统计图
（1）此次抽样调查的样本容量是________；
（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数；
（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格．
23．某班的全体学生共有人，参加数学测试(百分制)成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，，，. 依此表可以估计这一次测试成绩的中位数为分.
（1）求表中，的值；
（2）请估计该班本次数学测试的平均分.
24．对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
分组 频数 频率
[10，15） 10 0.25
[15，20） 25 n
[20，25） m p
[25，30] 2 0.05
合计 M 1
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数.
25．海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区 A B C
数量/件 50 150 100
（1）求这6件样品中来自A，B，C三个地区商品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
26．，两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
组：10，11，12，13，14，15，16
组：12，13，15，16，17，14，
假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的
人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.
【详解】解：对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；
对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，
所以两个事件互斥而不对立，故B正确；
对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；
对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球” ，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.
故选：B.
2．D
【分析】根据频率分布直方图，求出不低于60分的频率即可得出答案
【详解】解：根据频率分布直方图，
不低于60分的频率为，
所以及格率是.
故选：D.
3．C
【解析】利用必然事件的概念可以判断①是正确的命题，③是偶然事件，利用不可能事件的概念判断②正确，利用随机事件的概念判断④正确.
【详解】对于①，三个球全部放入两个盒子，有两种情况：1+2和3+0，故必有一个盒子有一个以上的球，所以该事件是必然事件，①正确；
对于②，x=0时x2=0，所以该事件不是不可能事件，②错误；
对于③，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以该事件是随机事件，③错误；
对于④，“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”，发生与否是随机的，所以该事件是随机事件，④正确．故正确命题有2个.
故选：C．
4．C
【分析】根据古典概型特点判断，每个个体被抽到的概率都是等可能的，结合古典概型公式即可求解
【详解】由题知，从50个人抽10个，每个个体被抽取的概率都是等可能的，为，则女同学甲被抽到的概率也为
故选：C
【点睛】本题考查随机事件的概率，属于基础题
5．A
【分析】设摸出红球的概率为，摸出黄球的概率是，摸出白球的概率为，求出、的值，相加即可求解．
【详解】设摸出红球的概率为，摸出黄球的概率是，摸出白球的概率为，
所以，且，
所以，，
所以
【点睛】本题主要考查了互斥事件的概率加法公式的应用，其中解答中熟记互斥事件的概率加法公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6．A
【详解】8个班参加合唱比赛的得分从小到大排列分别是87，89,90,91,92,93,94,96，中位数是91,92,的平均数91.5，平均数是=91.5
7．C
【详解】试题分析：由题意可知，事件A与事件B是相互独立的，而事件A、B中至少有一件发生的事件包含、、，又，，所以所事件的概率为，故选C．
考点：相互独立事件概率的计算．
8．B
【详解】由题意，该样本中大于或等于31.5的数据的频率为，
所以可估计大于或等于31.5的数据约占.
故选：B.
9．C
【分析】将件一等品编号为，件二等品的编号为，列举出从中任取件的所有基本事件的总数，分别计算选项的概率，即可得到答案．
【详解】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝.
【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中明确古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的计算公式，合理作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
10．B
【分析】由题意结合平均数的性质即可求得结果.
【详解】由题意结合平均数的性质可知：
的平均数为，
的平均数为，
则的平均数为：.
故选：B.
11．D
【详解】试题分析：根据中位数是把频率分布直方图分成面积相等的两部分的平行于y轴的直线横坐标，求出即可．
解：第一个矩形的面积是0.10，第二个矩形的面积是0.24，
第三个矩形的面积是0.36，第四个矩形的面积是1﹣0.70=0.30；
前面两个矩形的面积和是0.34，故将第三个矩形分成4：5即可，
∴中位数是40+×10=．
故选D．
考点：频率分布直方图．
12．A
【详解】试题分析：由题意可知：乙获得12张游戏牌概率为，所以甲应分得张牌，乙应分得张牌，故选A．
考点：排列组合问题．
13．C
【详解】由题意可知，学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数，成绩排列为75,80,85,85,85,85，90,90,95,100，可得众数为85，中位数，因此选C
14．B
【分析】分别求出从张卡片中任取张的取法总数和字母相邻的种数，根据古典概型概率公式求得结果.
【详解】从张卡片中任取张，共有：种取法
其中字母相邻的有：，，，，共种情况
所求概率
本题正确选项：
【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.
15．D
【分析】结合概率的计算公式求得正确答案.
【详解】依题意，，
，
所以D选项结论不正确.
故选：D
16．
【解析】先利用人数比例和青年教师人数计算该校全部教师人数，再利用古典概型计算每位老年教师被抽到的概率即可.
【详解】由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1， 知青年教师的人数比例为，故该校全部教师人数为：120÷＝300(人)．
采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P＝＝.
故答案为：.
17．
【详解】试题分析：甲班的方差较小，数据的平均值为7，
故方差s2==．
考点：本题主要考查平均数及方差的概念和计算．
点评：简单题，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
18．/0.4
【分析】利用古典概型中的列举法，即可求得所求.
【详解】从字母中任取两个不同的字母的基本事件有、、、、、、、、、，共个，
其中 “取到字母”（记为事件）所包含的基本事件有、、、，共个，
故所求事件的概率为.
故答案为：0.4
19．
【详解】试题分析：由平均数及方差的定义可得；
.
考点：样本数据的数字特征：平均值与方差.
20．
【详解】因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种，没有得到白球的概率为，设白球个数为x,黑球个数为5-x,那么可知白球共有3个，黑球有2个，因此可知填写为
21．(1)；(2)平均数为，中位数为；(3)．
【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率；
(2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；
(3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率.
【详解】解：(1)第六组的频率为，
∴第七组的频率为．
(2)由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，，
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，
由得，
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为
．
(3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，
第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，
则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．
22．（1）答案见解析；（2）答案见解析，79.2°；（3）4.08万户.
【解析】（1）根据用户用水量在吨的户数以及所占比例得出样本容量；
（2）由样本容量减去用水15～20吨之外的户数，即可得出用水15～20吨的户数，再由用水15～20吨的户数占样本容量的比例求出圆心角；
（3）将样本中享受基本价格的户数所占样本的比例乘以得出答案.
【详解】（1）；
（2）用水15～20吨的户数为100－10－36－24－8＝22(户)，
“15～20吨”部分的圆心角的度数为
（3）(万户)
所以该地区6万用户中约有4.08万户的用水全部享受基本价格．
23．（1），；（2）分.
【解析】（1）利用中位数为解得，然后利用频率和为求解；
（2）利用每个区间的中点值乘以该组的频率求和即可得到答案.
【详解】（1）由中位数为70可得，
，
解得.
又，
解得.
（2）由频率分布直方图可知，每组的频率依次为：，，，，则该班本次数学测试的平均分的估计值为:分.
【点睛】利用频率分布直方图估计样本的中位数及平均值的方法如下：
（1）平均数的估计值等于各小矩形面积乘以底边中点的横坐标之和；
（2）中位数的估计值等于把频率分布直方图分成面积相等的两部分时，分界线与横轴交点的横坐标.
24．（1）M＝40，，；（2）90人.
【解析】（1）根据频数与频率的统计表和频率分布直方图计算可得结果；
（2）根据频数样本容量频率可求得结果.
【详解】（1）由[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，所以M＝40.
因为频数之和为40，所以10＋25＋m＋2＝40，m＝3..
因为a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以.
（2）因为该校高一学生有360人，分组[10，15）内的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为90人.
【点睛】关键点点睛：根据频数与频率的统计表和频率分布直方图计算求解是解题关键.
25．（1）1，3，2；（2）.
【解析】（1）由分层抽样的性质运算即可得解；
（2）利用列举法，结合古典概型概率的计算公式，即可得解.
【详解】（1）由题意，样品中来自A地区商品的数量为，
来自B地区商品的数量为，
来自C地区商品的数量为；
（2）设来自地区的样品编号为，来自地区的样品编号为,,，
来自地区的样品编号为,，
则从6件样品中抽取2件产品的所有基本事件为:
,,,,,,,,
,,,,,,,共15个；
抽取的这2件产品来自相同地区的基本事件有:
,,,,共4个；
故所求概率.
【点睛】本题考查了分层抽样的应用及古典概型概率的求解，考查了运算求解能力，属于中档题.
26．（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）或
【详解】试题分析：针对甲有7种情况，康复时间不少于14天有3种情况，概率为；如果，甲、乙随机各取一人有49种情况，用列举法列出甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有10种，概率为，由于A组数据为10，11，12，13，14，15，16；B组数据调整为，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，，由于，两组病人康复时间的方差相等，即波动相同，所以或.
试题解析：(Ⅰ)甲有7种取法，康复时间不少于14天的有3种取法，所以概率；
(Ⅱ) 如果，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙共有49种取法，甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下：（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），（15，13），(15,14),（16，12）（16，13）,（16，15）,(16,14)有10种取法，所以概率.
(Ⅲ)把B组数据调整为，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，，可见当或时，与A组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明，但本题不需要)
考点：1、古典概型；2、样本的方差
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页