第5章5.3概率同步练习
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.下列事件中不可能发生的是( )
A.打开电视机,中央一台正在播放新闻
B.我们班的同学将来会有人当选为劳动模范
C.在空气中,光的传播速度比声音的传播速度快
D.太阳从西边升起
2.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”,事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”,事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”,事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”,则下列关系不正确的是( )
A. B.
C. D.
3.如图,随机事件A,B互斥,记分别为事件A,B的对立事件,那么( )
A.A∪B是必然事件
B.∪是必然事件
C.与一定互斥
D.与一定不互斥
4.有两个事件,事件A:367人中至少有2人生日相同;事件B:抛掷一枚均匀的骰子,朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是( )
A.事件A、B都是随机事件
B.事件A、B都是必然事件
C.事件A是随机事件,事件B是必然事件
D.事件A是必然事件,事件B是随机事件
5.下列事件:①在足球赛中,弱队战胜强队;②抛掷一枚硬币,落地后正面朝上;③任取两个正整数,其和大于1;④长分别为3厘米,5厘米,9厘米的三条线段能围成一个三角形.其中确定事件的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子(如图),观察向上的 面的点数,下列属必然事件的是( )
A.出现的点数是7 B.出现的点数不会是0
C.出现的点数是2 D.出现的点数为奇数
7.蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类,在我国的云南及周边各省都有分布,春暖花开的时候是放蜂的大好时机,养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂,养蜂人乙在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂.某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂,假设每箱中蜜蜂的数量相同,那么,该生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是养蜂人 放养的比较合理( )
A.甲 B.乙
C.甲和乙 D.不能确定
8.某工厂生产的产品的合格率是99.99%,这说明( )
A.该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B.该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C.该厂生产的10 000件产品中没有不合格的产品
D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
9.某商场对某一商品搞活动,已知该商品每个的进价为3元,售价为8元,每天销售的第20个及之后的商品按半价出售,该商场统计了近10天这种商品的销售量,如图所示.从日利润不少于96元的几天里任选2天,则选出的这2天日利润都是97元的概率为( )
A. B.
C. D.
10.三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为,,,且是互相独立的.若将它们接入电路中,则电路不发生故障的概率是( )
A. B. C. D.
11.对满足的非空集合、,有下列四个命题:
①“若任取,则”是必然事件; ②“若,则”是不可能事件;
③“若任取,则”是随机事件; ④“若,则”是必然事件.
其中正确命题的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
12.采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率.先由计算机给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
7527 0293 7140 9857 0347
4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011
3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )
A.0.852 B.0.8192 C.0.8 D.0.75
13.下列关于古典概型的说法正确的是( )
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;
③每个样本点出现的可能性相等;④样本点的总数为n,随机事件A若包含k个样本点,则.
A.②④ B.②③④ C.①②④ D.①③④
14.某学校高中部共有学生2100名,高中部各年级男、女生人数如下表.已知在高中部学生中随机抽取1名学生,抽到高三年级女生的概率是0.2,现用分层抽样的方法在高中部抽取60名学生,则应在高二年级抽取的学生人数为( )
高一年级 高二年级 高三年级
女生 372
男生 327 420
A.12 B.16 C.18 D.24
15.某射手射击一次,命中的环数可能为0,1,2,…,10共11种,设事件A:“命中环数大于8”,事件B:“命中环数大于5”,事件C:“命中环数小于4”,事件D:“命中环数小于6”,在事件A、B、C、D中,互斥事件有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
二、填空题
16.哥德巴赫猜想的部分内容如下:任一大于2的偶数可以表示为两个素数(素数是在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)之和,如18=7+11.在不超过16的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于16的概率是_______.
17.在12件同类产品中,有10件正品,2件次品.从中任意抽出3件.下列事件中:
①3件都是正品;
②至少有1件是次品;
③3件都是次品;
④至少有1件是正品.
随机事件有__________,必然事件有__________,不可能事件有__________.
18.在高考数学试题中有12道选择题,每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的,则随机选择其中1个选项正确的概率是.某学生家长说:“要是都不会做,那么每题都随机选择其中的1个选项,则一定有3道题答对.”这句话____(填“正确”或“错误”).
19.如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球(只有颜色不同)若干个,有放回地从中任取1球,取了10次有7个白球,估计袋中数量较多的是_________球.
20.若,为互斥事件,,,则______.
三、解答题
21.试验E:箱子里有3双不同的手套,随机拿出2只,记随机事件A为“拿出的手套配不成对”;随机事件B为“拿出的是同一只手上的手套”;随机事件C为“拿出的手套一只是左手的,一只是右手的,但配不成对”.
(1)写出试验E的样本空间Ω,并指出样本点的个数;
(2)分别用样本点表示随机事件A、随机事件B、随机事件C,并指出每个随机事件的样本点的个数;
(3)写出,,,.
22.某村为提高村民收益,种植了一批蜜柚,现为了更好地销售,从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重,测得其质量(单位:克)均分布在区间内,并绘制了如图所示的频率分布直方图:
(1)按分层随机抽样的方法从质量落在区间的蜜柚中随机抽取5个,再从这5个蜜柚中随机抽取2个,求这2个蜜柚质量均小于2 000克的概率;
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该村的蜜柚树上大约还有5 000个蜜柚待出售,某电商提出两种收购方案:
.所有蜜柚均以40元/千克收购;
.低于2 250克的蜜柚以60元/个的价格收购,高于或等于2 250克的蜜柚以80元/个的价格收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
23.某次高三年级模拟考试中,数学试卷有一道满分10分的选做题,学生可以从A,B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试,为了了解该校学生解答该选做题的得分情况,为下一步教学作参考依据,计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本.现采用分层抽样,按照学生选择A题目或B题目将成绩分为两层.已知该校高三学生有540人选做A题目,有360人选做B题目,选取的样本中,A题目的成绩平均数为5,方差为2,B题目的成绩平均数为5.5,方差为0.25.
(1)用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差;
(2)本选做题阅卷分值都为整数,且选取的样本中,A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5.从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查,求取到的两个成绩来自不同题目的概率.
24.某市准备引进优秀企业加快城市建设.该市的甲地、乙地分别对5个企业(共10个企业)进行综合评估,得分(单位:分)情况如茎叶图所示.
(1)根据茎叶图,求乙地对企业评估得分的平均值和方差;
(2)规定得分在85分以上的为优秀企业,若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个,求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率.
25.某县共有90个农村淘宝服务网点,随机抽取其中的6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位:万元),相关数据如下表所示:
网点 1 2 3 4 5 6
金额 6 4 12 18 12 20
(1)计算样本数据的平均数;
(2)若将网购金额(单位:万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点,其余为非优秀服务网点,试估计这90个服务网点中优秀服务网点的个数;
(3)从随机抽取的6个服务网点中任取2个进行网购商品的调查,求恰有1个网点是优秀服务网点的概率.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案:
1.D
【分析】根据随机事件的概念判断各选项即可.
【详解】对于A、B,属于随机事件,有可能发生;
对于C,属于必然事件,一定会发生;
对于D,“太阳从西边升起”这个事件一定不会发生,所以它是一个不可能事件.
故选:D.
2.D
【分析】根据试验过程,分析出事件A、B、C、D的含义,对四个选项一一判断.
【详解】“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况:一种是恰有一枚炮弹击中飞机,
另一种是两枚炮弹都击中飞机.所以,,
“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中,
所以,
又包含该试验的所有样本点,为必然事件,
而事件表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”,所以.
故选:D
3.B
【分析】用集合的思想看事件的Venn图即可的解.
【详解】由Venn图可知A,B互斥,即为不可能事件,∪是必然事件,
故选:B.
4.D
【分析】利用随机事件,必然事件的概念求解.
【详解】对于事件A,一年有365天或366天,由抽屉原理可知,367人中至少有2人生日相同,事件A为必然事件.
对于事件B,抛掷一枚均匀的骰子,朝上的面的点数可能是奇数,也可能是偶数,则事件B为随机事件;
故选:D
5.A
【分析】利用随机事件、不可能事件和必然事件的定义逐一判断得解.
【详解】①、②为随机事件;④为不可能事件;只有③是必然的、确定的.
故选:A
6.B
【分析】根据必然事件,不可能事件,随机事件的定义判断即可.
【详解】掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子,
是不可能出现0的,
所以事件出现的点数不会是0为必然事件,B正确;
掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子,
是不可能出现7的,
所以事件出现的点数是7为不可能事件,A错误;
掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子,
可能出现2点,也可能不出现3点,
所以事件出现的点数是2和事件出现的点数为奇数都为随机事件,C,D错误,
故选:B.
7.B
【分析】根据频率估算出捕获甲、乙两人小黑蜂的概率,根据概率判断合理性.
【详解】由题意可知,从养蜂人甲放养的蜜蜂中捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为,
而从养蜂人乙放养的蜜蜂中捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为,
所以认为这只黑小蜜蜂是养蜂人乙放养的比较合理.
故选:B.
8.D
【分析】由概率的定义逐一分析即可.
【详解】对于A:该厂生产的10000件产品中不合格的产品不一定有1件,
可能是多件或者没有,故A错误;
对于B:该厂生产的10000件产品中合格的产品不一定是9999件,故B错误;
对于C:该厂生产的10000件产品中可能有不合格产品,故C错误;
对于D:该厂生产的产品合格的可能性是99.99%,故D正确;
故选:D.
9.B
【分析】根据题意得日销售量为20个时,日利润为96元;日销售量为21个时,日利润为97元,日销售量为20个的有3天,日销售量为21个的有2天,设日销售量为20个的3天分别记为,日销售量为21个的2天分别记为,列举法解决即可.
【详解】日销售量不少于20个时,日利润不少于96元,其中日销售量为20个时,日利润为96元;日销售量为21个时,日利润为97元.
从题中条形统计图可以看出,日销售量为20个的有3天,日销售量为21个的有2天.
设日销售量为20个的3天分别记为,日销售量为21个的2天分别记为,
从这5天中任选2天,可能的情况有:
共10种,
其中选出的2天的日销售量都为21个的情况只有1种,
所以所求概率为.
故选:B.
10.A
【分析】记“三个元件T1,T2,T3正常工作”分别为事件A1,A2,A3,“电路不发生故障”为事件M,由M=(A2∪A3)∩A1求解.
【详解】解:记“三个元件T1,T2,T3正常工作”分别为事件A1,A2,A3,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,
记“电路不发生故障”为事件M,则M=(A2∪A3)∩A1,
∴不发生故障的概率为P(M)=P[(A2∪A3)∩A1]=[1-P() P()] P(A1)=×=.
故选:A.
11.B
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件、子集的定义逐一判断即可.
【详解】①:因为,,所以,因此“若任取,则”是必然事件,故本命题是真命题;
②:当集合是集合的真子集时,显然存在一个元素在集合中,不在集合中,
因此“若,则”是随机事件,故本命题是假命题;
③:任取,当集合是集合的真子集时,有可能成立,也可能不成立,
因此“若任取,则”是随机事件,故本命题是真命题;
④:因为,所以一定有,显然“若,则”是必然事件,故本命题是真命题.
因此①③④为真命题.
故选:B
12.D
【分析】从20组随机数中找到至少击中三次的所有情况,用对立事件公式计算即可.
【详解】因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610,共5组,所以射击4次至少击中3次的概率为.
故选:D.
13.D
【分析】利用古典概型概念及的概率计算公式直接求解.
【详解】在①中,由古典概型的概念可知:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,故①正确;
在②中,由古典概型的概念可知:每个基本事件出现的可能性相等,故②错误;
在③中,由古典概型的概念可知:每个样本点出现的可能性相等,故③正确;
在④中,基本事件总数为n,随机事件A若包含k个基本事件,则由古典概型及其概率计算公式知,故④正确.
故选:D.
14.B
【分析】根据古典概型的概率公式求得高三年级女生人数,进而得到高二年级人数,再根据分层抽样,按比例抽取即可得到答案.
【详解】因为在高中部学生中随机抽取1名学生,抽到高三年级女生的概率是0.2,
所以,解得,
所以高二年级的学生人数为人,
所以用分层抽样的方法在高中部抽取60名学生,则应在高二年级抽取的学生人数为人,
故选:B
15.D
【分析】根据互斥事件的知识对选项进行分析,从而确定正确答案.
【详解】,
所以与、与,与,与是互斥事件,
共对.
故选:D
16.
【分析】确定不超过16的素数,写出任取2上的基本事件,同时得出和为16的基本事件,由概率公式计算概率.
【详解】不超过16的素数有2、3、5、7、11、13,
随机选取两个不同的数: (2,3)、(2,5)、(2,7)、(2,11)、(2,13)、(3,5)、(3,7)、(3,11)、(3,13)、(5,7)、(5,11)、(5,13)、(7,11)、(7,13)、(11,13) 共有15个基本事件, 满足“和”等于16的有(3,13)、(5,11)共有2个基本事件,,
所以其和等于16的概率.
故答案为:.
17. ①② ④ ③
【分析】根据正品和次品产品的数目,结合事件的概念,即可得出答案.
【详解】对于①,由题意知,抽出的3件可能都是正品,故①是随机事件;
对于②,由题意知,抽出的3件可能包含次品,也可能不包含次品,故②是随机事件;
对于③,由题意知,只有2件次品,所以抽出的3件不可能都是次品,故③是不可能事件;
对于④,由题意知,只有2件次品,所以抽出的3件不可能都是次品,即至少有一件正品,故④是必然事件.
故答案为:①②;④;③.
18.错误
【分析】根据概率的含义,及事件的随机性判断正误.
【详解】把解答一道选择题作为一次试验,选择正确选项的概率是,说明答对的可能性为.
做12道选择题,即进行了12次试验,每次试验的结果都是随机的,
那么答对3道题的可能性较大,但并不一定答对3道题,可能都选错,也可能有1、2、3、4、…、12道题都选择正确.
故答案为:错误
19.白
【分析】根据频率估计概率即可求解.
【详解】取了10次有7个白球,则取出白球的频率是0.7,估计其概率是0.7,那么取出黄球的概率约是0.3,取出白球的概率大于取出黄球的概率,所以估计袋中数量较多的是白球.
故答案为:白
20.0.3/
【分析】根据互斥事件的概率公式即可求解.
【详解】因为随机事件,是互斥事件,
所以,
又,
所以.
故答案为:0.3.
21.(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】(1)对应题目要求,写出样本点即可;
(2)对应题目要求,写出样本点即可;
(3)利用集合的运算法则,即可得到本题答案.
【详解】(1)分别设3双手套为,其中分别代表左手的3只手套,分别代表右手的3只手套.
试验E的样本空间
,样本点的个数为15.
(2)随机事件
,样本点的个数为12.
随机事件,样本点的个数为6.
随机事件,样本点的个数为6.
(3),
,
,
.
22.(1)
(2)选择方案
【分析】(1)由题知,应在质量为的蜜柚中抽取2个和3个.
记抽取的质量在区间的蜜柚分别为,质量在区间的蜜柚分别为,列举解决即可.
(2)由频率分布直方图计算得,按方案收购总收益为457500(元),按方案收购总收益为365000 (元),由于,即可解决.
【详解】(1)由题图可得蜜柚质量在区间和的比为2∶3,
所以应分别在质量为的蜜柚中抽取2个和3个.
记抽取的质量在区间的蜜柚分别为,质量在区间的蜜柚分别为,
则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有10种:
其中质量均小于2 000克的仅有这1种情况,
所以所求概率为.
(2)方案好,
理由:由题中频率分布直方图可知,
蜜柚质量在区间的频率为,
同理,蜜柚质量在区间
的频率依次为,
若按方案收购:由题意知各区间的蜜柚个数依次为,
于是总收益为
(元).
若按方案收购:由题意知蜜柚质量低于2 250克的个数为,
蜜柚质量高于或等于2 250克的个数为,
所以总收益为(元).
因为,
所以方案的收益比方案的收益高,应该选择方案.
23.(1)平均数为5.2,方差为1.36
(2)0.6
【分析】(1)根据已知及平均数求法求样本平均数,应用方差公式求样本方差;
(2)应用列举法求古典概率的概率.
【详解】(1)由题意,按照分层随机抽样的方法抽出的样本中,
A题目的成绩有6个,按分值降序分别记为,
B题目的成绩有4个,按分值降序分别记为,
记样本的平均数为,样本的方差为,
由题意知:,
,
,
所以
所以估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2,方差为1.36.
(2)由题意,样本中A题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个,设为,
B题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个,设为.
从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有10种取法,为、、、、、、、、、,
其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种,为、、、、、,
记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据,取到的两个成绩来自不同题目”为事件A,
则.
24.(1)平均值是88,方差是
(2)
【分析】(1)根据平均值,方差公式计算即可解决;
(2)根据列举法解决即可.
【详解】(1)乙地对企业评估得分的平均值是,
方差是.
(2)从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个,有
共12组,
设“这两个企业得分的差的绝对值不超过5分”为事件,则事件包含
共8组,
所以.
所以两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率是.
25.(1)12
(2)30(个)
(3).
【分析】(1)根据题中给出的数据求出平均数即可;
(2)根据概率值,求出优秀服务站的个数即可;
(3)分别列举出所有的基本事件以及满足条件的事件,作商求出概率即可.
【详解】(1)由题意知, 样本数据的平均数为 .
(2)样本中优秀服务网点有 2 个, 概率为 , 由此估计这 90 个服务网点中优秀服务网 点有 (个).
(3)样本中优秀服务网点有 2 个, 分别记为 , 非优秀服务网点有 4 个, 分别记为 , , 从随机抽取的 6 个服务网点中任取 2 个的可能情况有, , ,共 15 种,
记“恰有 1 个是优秀服务网点”为事件 , 则事件 包含的可能情况有 , , 共 8 种, 故所求概率.
答案第1页,共2页
答案第1页,共2页