第6章6.1平面向量及其线性计算 同步练习（含解析）

第6章6.1平面向量及其线性计算同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且，，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，向量，则向量可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列等式中，正确的个数为（ ）
①②③④⑤⑥．
A．3 B．4
C．5 D．6
5．如图，已知是一正六边形，是它的中心，其中，，，则等于（　　）
A． B．
C． D．
6．化简=（　　）
A． B． C． D．
7．已知平面内有一点P及一个，若，则（　　）
A．点P在外部 B．点P在线段AB上
C．点P在线段BC上 D．点P在线段AC上
8．给出下列两个命题：
①若与共线，则存在唯一实数λ，使；
②若不存在实数λ，使，则与不共线．
对这两个命题判断正确的是（　　）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题
D．①、②都是假命题
9．已知向量，，中任意两个都不共线，并且与共线，与共线，那么等于（　　）
A． B．
C． D．
10．已知是不共线的两个向量，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是（　　）
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
11．若向量与向量不相等，则与一定（ ）
A．不共线 B．长度不相等
C．不都是单位向量 D．不都是零向量
12．已知A＝{与共线的向量}，B＝{与长度相等的向量}，C＝{与长度相等，方向相反的向量}，其中为非零向量，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．A∩B＝{}
C． D．A∩B{}
13．设非零向量，若，则的取值范围为（ ）
A．[0，1] B．[0，2]
C．[0，3] D．[1，2]
14．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则等于（ ）
A． B．
C． D．
15．已知为两个不共线的向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知点O为ABC外接圆的圆心，且＋＋＝，则ABC的内角A等于________．
17．已知非零向量满足，且，则____.
18．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有_______个.
19．若且则与所在直线的夹角是____.
20．已知.其中与不共线且B，C，D三点共线，求的值___________.
三、解答题
21．如图所示，，，.
(1)用表示；
(2)用表示.
22．如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，试求集合T中元素的个数．
23．在平行四边形中，是的中点，在对角线上，且，求证：共线
24．已知点G为的重心．
(1)求；
(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设，，求的值．
25．如图，按下列要求作答．
(1)以A为始点，作出；
(2)以B为始点，作出；
(3)若为单位向量，求、和．
26．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求的模．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．A
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】解：，
．
故选：A．
2．B
【分析】如图，求出，两个相减即得解.
【详解】如图，
=)，
=)，
相减得=).
所以=.
故选：B
3．C
【分析】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.
【详解】根据向量运算法则可得，
又，
所以，
故选：C.
4．C
【分析】根据向量加减法的概念和相反向量的概念分别判断即可.
【详解】根据向量的运算及相反向量的概念知①②③④⑤正确，⑥错误，所以正确的个数为5．
故选:C．
5．D
【分析】根据相等向量和向量的减法法则即可求解．
【详解】由题可得．
故选：D．
6．C
【分析】利用平面向量减法三角形法则化简即可．
【详解】由平面向量减法三角形法则可知．
故选：C．
7．D
【分析】由向量的加减运算，化简等式，得，可得结论.
【详解】因为，所以，
即，得，即，
所以点P在线段AC上.
故选：D
8．D
【分析】直接利用向量共线定理分别分析即可.
【详解】当，时，与共线，但不存在实数使，故①为假命题；
当，时，不存在实数λ使，但与共线，故②也为假命题．
故选：D.
9．D
【分析】根据向量共线定理即可得到相关方程组，解出即可.
【详解】∵与共线，∴存在实数，使得.①
又∵与共线，
∴存在实数，使得.②
由①得，.
∴，
∴即.
∴
故选：D.
10．C
【分析】根据题意可求得，结合与的关系分析判断.
【详解】由题意可得：，
则，
故与共线，且，
∴四边形ABCD是梯形．
故选：C.
11．D
【分析】向量相等为长度和方向都相同，所以若向量与向量不相等，则说明向量与向量的方向和长度至少有一个不同，分析选项可得结果.
【详解】若向量与向量不相等，则说明向量与向量的方向和长度至少有一个不同．
所以与有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，所以A，B，C都是错误的．但是与一定不都是零向量．
故选：D
12．B
【分析】根据向量的基本概念一一判定即可.
【详解】对于A项，与方向相反的向量与一定共线，故A正确；
对于B项，与共线且长度相等的向量可以是，故B错误；
对于C项，显然正确；
对于D项，与共线且长度相等的向量必然包含本身，故D正确.
故选：B
13．C
【分析】根据单位向量、向量加法等知识确定正确答案.
【详解】因为是三个单位向量，
因此，当三个向量同向时，取得最大值为；
当三个向量两两成角时，它们的和为，也即的最小值为，
所以的取值范围为.
故选：C
14．C
【分析】根据向量加法法则、相反向量的知识确定正确答案.
【详解】利用平行四边形法则作出向量，如图所示，
由图可知.
故选：C
15．A
【分析】由向量平行可得，由此构造方程组求得结果.
【详解】因为，则即，则
解得：.
故选：A
16．30°/
【分析】由＋＋＝，得到四边形OACB为平行四边形，再由OA＝OB，得到四边形OACB为菱形求解.
【详解】解：由＋＋＝得＋＝，
由向量加法的几何意义知四边形OACB为平行四边形，
又OA＝OB=OC，
则四边形OACB为菱形，
所以OAC是正三角形，
所以∠CAO＝60°，
所以∠CAB＝∠CAO＝30°，
故答案为：30°
17．4
【分析】根据向量加减运算及向量的模长可得出平行四边形OACB是矩形，由矩形对角线相等得解.
【详解】如图所示，设，，
则，
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则，
由于，
故，
所以是直角三角形，，
从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形，
根据矩形的对角线相等得，即.
故答案为：4
18．9
【分析】根据正六边形的特点，以及向量共线的定义可求答案.
【详解】由正六边形的性质可知，与向量共线的向量有，共9个.
故答案为：9.
19．30°/
【分析】根据向量的运算法则结合图形的几何关系即可.
【详解】
设，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则，，因为，所以||=||=||，所以是等边三角形，所以∠BOA=60°，在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，所以与所在直线的夹角为30°.
故答案为：30°
20．.
【分析】利用平面向量的线性运算、共线的性质进行求解即可.
【详解】由B，C，D三点共线，得，
又，
所以，
，
由对应系数成等比例，所以，即，
所以，解得.
故答案为：.
21．(1)；
(2).
【分析】利用向量减法与加法的规则即可用表示，用表示
【详解】（1）.
（2）.
22．12
【分析】集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，数出有向线段的条数减去相等向量的个数即为答案.
【详解】由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，
即，，，；，，，；
，，，；，，，；
，，，.
由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.
又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个．
23．证明见解析
【分析】证明向量和有倍数关系即可.
【详解】证明：设则
所以故共线.
24．(1)
(2)3
【分析】（1）根据已知得出与三边所在向量的关系，即可根据向量的运算得出答案；
（2）根据已知得出，结合，，根据M、N、G三点共线，结合向量运算与向量相等的定义列式整理，即可得出答案.
【详解】（1）点G为的重心，
，，，
，
（2）点G为的重心，
，
，
，
，
，
，
，
与共线，
存在实数，使得，
则，
根据向量相等的定义可得，
消去可得，
两边同除，整理得.
25．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)，，
【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则即可作出；（2）先将共线向量计算出结果再作出；（3）根据利用勾股定理即可计算出各向量的模长.
【详解】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示：
（2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再将向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示：
（3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知，
；
由共线向量的加法运算可知；
利用图示的向量和勾股定理可知，.
26．(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量；
（2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模.
【详解】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为，
又因为D点在B点的正北方，所以，
又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，；
即可作出、、如下图所示.
（2）如图，作出向量，
由题意可知，且，
所以四边形是平行四边形，
则，
所以的模为
答案第1页，共2页
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