第6章6.2向量基本定理与向量的坐标 同步练习（含解析）

第6章6.2向量基本定理与向量的坐标同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设向量，，，若表示向量，，，的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（ ）
A．(2，6) B．(－2，6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
2．若为正交基底，设（其中x∈R），则向量对应的坐标位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
3．在四边形中，，若则（ ）
A． B． C． D．
4．若点O为平行四边形ABCD的中心，，，则＝（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，，，如果，那么（ ）
A．且与同向 B．且与反向
C．且与同向 D．且与反向
6．已知为平面内所有向量的一组基底，，，，则与共线的条件为（ ）
A． B．
C． D．或
7．设是不共线的向量，则下面四组向量中，能作为一组基底的组数有（ ）
①和；②和；③和；④和.
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
8．设，向量， ，，，则 （ ）
A．5 B． C． D．10
9．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
10．设一直线上三点A，B，P满足（），O是直线所在平面内一点，则用，表示为（　　）
A．＝＋m B．＝m＋
C．＝ D．＝＋
11．已知向量，，平面上任意向量都可以唯一地表示为，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
12．已知向量在正方形网格中的位置如图所示,用基底表示,则（　　）
A． B．
C． D．
13．已知,则四边形的形状为（ ）
A．平行四边形 B．正方形或菱形
C．直角梯形 D．等腰梯形
14．如图，已知分别是的中点，交于点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
15．已知为平面内所有向量的一组基底，，，，则与共线的条件为（　　）
A． B．
C． D．或
二、填空题
16．在平行四边形ABCD中，，，，M为BC的中点，则＝________.(用，表示)
17．若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为_____.
18．已知，若三点共线，则的关系式为____.
19．在△ABC所在平面上有一点P，满足+4，则△PBC与△PAB的面积比为______.
20．已知点和向量，若，则点的坐标为________．
三、解答题
21．如图，在△OBC中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E.设.
(1)用向量表示，
(2)若＝λ，求实数λ的值．
22．已知向量与向量的对应关系可用表示.
(1)证明:对于任意向量，及常数m，n，恒有成立；
(2)设，，求向量及的坐标；
(3)求使成立的向量.
23．已知．
(1)若三点共线，求与满足的关系式；
(2)若三点共线，，求点的坐标．
24．如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
(1)试用向量表示；
(2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值.
25．设两个非零向量与不共线．
(1)若，，求证三点共线．
(2)试确定实数，使和共线．
26．如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为、、．
(1)写出向量，的坐标；
(2)如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】根据向量加法可知，，再结合向量的坐标运算，即可求解.
【详解】由题意知，
∴
故选：D
2．D
【分析】利用配方法求出的横纵坐标的正负情况即可作答.
【详解】，，
因此对应的坐标满足，，
所以向量对应的坐标位于第四象限.
故选：D
3．C
【分析】先利用向量平行充要条件求得k的值，再根据题意舍去增根，进而求得k的值.
【详解】因为，，且反向
则，解之得（负根舍去），
故选：C.
4．A
【分析】由平面向量的线性运算可解.
【详解】因为＝－＝－＝，
所以＝.
故选; A
5．D
【分析】根据向量平行列方程，解得，再判断方向即可．
【详解】依题意得，，
又，则，得，
所以，即与反向．
故选：D．
6．A
【分析】由题意可得存在使得，得到关于的方程组，根据方程组求解即可.
【详解】因为为平面内所有向量的一组基底，所以不共线，且不为零向量，
由与共线可得使得，即，
又因为不共线，所以，
所以，
故选：A
7．C
【分析】根据基底向量的概念，利用向量共线定理一一代入计算分析即可.
【详解】由基底的概念可知两个非零不共线向量可作为一组基底向量，
又因为是不共线的向量，由此可判断：
①设，则，无解，
所以与不共线，即与可作为一组基底；
②设，则，无解，
所以与不共线，即与可作为一组基底；
③因为，所以与共线，即与不可作为一组基;
④设，则，无解，
所以与不共线，即与可作为一组基底；
综上①②④可作为一组基底，
故选：C
8．D
【分析】首先根据向量共线求得的值，根据向量垂直求得的值，再求得向量的坐标，利用向量模的坐标公式求得结果.
【详解】,
,则,
,
故选:D.
9．D
【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案.
【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线，
根据向量的加减法法则可知和不共线，和不共线，
和不共线，故A，B，C中向量能作为平面的基底，
，故和共线，不能作为平面的基底，D错误，
故选：D
10．C
【分析】由变形得到答案.
【详解】因为，所以，
故
故选：C
11．C
【分析】分析可知、不共线，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为向量，，平面上任意向量都可以唯一地表示为，
则、不共线，所以，，解得.
故选：C.
12．A
【分析】建立直角坐标系,设向量,利用平面向量基本定理和向量的坐标运算求解.
【详解】如图建立直角坐标系,设正方形网格的边长为1,
则,
设向量,则解得
所以.
故选：A.
13．D
【分析】先利用题给条件求得且，再由即可判定四边形的形状为等腰梯形.
【详解】因为，所以且，
则，且，则四边形的形状为梯形；
又，所以，
则四边形为等腰梯形.
故选：D.
14．A
【分析】设，利用三点共线求得，进而求得的值，进而得到的值.
【详解】因为分别是的中点，易知，
设，
由向量加法的平行四边形法则可得，
由于三点共线，则，解之得
从而=，
所以，则
故选：A.
15．A
【分析】由题意得存在，使得，得到关于的方程组，解之即得解．
【详解】为平面内所有向量的一组基底，则 不共线，，
与 共线，∴ ，
即 ，又 不共线，则 ，所以.
故选：A
16．
【分析】由向量的加法和数乘运算求解即可.
【详解】.
故答案为：
17．-8
【分析】由题得存在实数λ，使得，把代入计算即得解.
【详解】因为不能作为一组基，
所以存在实数λ，使得，
即，
则6λ=3，且kλ=-4，解得λ=，k=-8.
故答案为：
18．
【分析】由三点共线，可得，利用向量共线的充要条件即可得到的关系式.
【详解】由可得：
，
因为三点共线，所以，
所以，整理得：.
故答案为：
19．1∶2
【分析】利用平行向量，根据数乘向量的几何意义，分析出点P在AC边上，且AP=2PC，进而求解出△PBC与△PAB的面积比.
【详解】+4，所以2，即点P在AC边上，且AP=2PC，所以△PBC与△PAB的面积比为1∶2.
故答案为：1∶2.
20．
【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由求向量的坐标，由此可得点的坐标.
【详解】设为坐标原点，
因为，，
故，
故点的坐标为．
故答案为：.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量的线性运算求解；
（2）根据三点共线结合平面向量基本定理运算求解.
【详解】（1）∵点A是BC的中点，则，即，
整理得，
可得，
故.
（2）由题意可得：，
∵三点共线，则，且，
则，
可得，解得，
故.
22．(1)证明见解析
(2)，
(3)
【分析】（1）首先分别设向量，，再根据条件中的对应关系，列式证明；
（2）根据条件中的对应关系，代入数值；
（3）首先设向量，根据条件中的对应关系，列出方程组，即可求解.
【详解】（1）证明设向量，.
则，
又，，
所以，
所以.
（2）因为，所以，
，所以
（3）设向量，则
解得，所以.
23．(1)
(2)点的坐标为或．
【分析】（1）由点坐标求出向量的坐标，将三点共线转化为向量共线，由平面向量共线定理求解即可；
（2）由题意可得，或，分别利用向量相等的坐标表示，求出a，b，即可得到点C的坐标．
【详解】（1）因为，
所以，，
因为三点共线，
则，
所以，即，
故a与b满足的关系式为；
（2）因为三点共线，，
则或，
当时，有，解得；
当时，有，解得．
所以点的坐标为或．．
24．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据三点共线可得，同理由三点共线可得，根据向量相等的条件可求出的值，即可求解；
（2）设，由及三点共线联立即可求解.
【详解】（1）因为三点共线，
所以存在实数使得，
又因为三点共线，
所以存在实数使得，
根据向量相等可得，解得，
所以.
（2）设，
由（1）可得①，②，
又三点共线，所以③，
由①②可得，，代入③式可得，
即不论点在线段上如何移动，为定值.
【点睛】本题主要考查了共线向量的基本定理：当为直线外一点时，三点共线的应用，属于基础知识的应用.
25．(1)证明见解析；
(2)或.
【分析】(1)转化为证明向量，共线，即可证明三点共线；
(2)由共线定理可知，存在实数，使，利用向量相等，即可求解的值.
【详解】（1）因为，，，
所以
所以，共线，
又因为它们有公共点，
所以三点共线；
（2）因为和共线，
所以存在实数，使，
所以，
即 .
又，是两个不共线的非零向量，
所以
所以，
所以或.
26．(1)，
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标表示求解；（2）根据平行四边形中对边平行且相等的关系转化为向量的相等关系，利用坐标表示即可求解.
【详解】（1），
.
（2）设，所以
四边形ABCD是平行四边形，
所以，所以解得，
所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页