第6章6.3平面向量线性运算的应用 同步练习（含解析）

第6章6.3平面向量线性运算的应用同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
2．一只鹰正以与水平方向成角的方向向下直扑猎物，太阳光直射地面，鹰在地面上影子的速度为，则鹰的飞行速率为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知三个不共线的向量满足，则为的（　　）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
4．已知，，，，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．在四边形ABCD中，若，则该四边形为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形
6．如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知向量表示“向东航行”，向量表示“向南航行”，则表示（ ）
A．向东南航行 B．向东南航行
C．向东北航行 D．向东北航行
8．如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（ ）
A．1000J B． C．2000J D．500J
9．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（ ）
A．＝ B． C．＞ D．＜
10．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝，则△ABM与△ABC的面积之比为（　　）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5
11．物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（ ）
A．3N B． C．2N D．
12．已知平面内作用于点O的三个力，，，且它们的合力为，则三个力的分布图可能是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若，则下列结论正确的是（ ）
A．点P在△ABC内部 B．点P在△ABC外部
C．点P在直线AB上 D．点P在直线AC上
14．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设船行驶方向与水流方向的夹角为，若船的航程最短，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，若，，，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，则点A的坐标是________．
17．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60米，若牵绳与行进方向夹角为，人的拉力为200N，则纤夫对船所做的功为________J．
18．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为，，，则的形状为______.
19．若地位于地正西方向处，地位于地正北方向处，则地相对于地的位移是________．
20．如图，在矩形中，，分别为线段，的中点，若，，则的值为___________.
三、解答题
21．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，.
(1)用，表示，.
(2)如果，EF，EG有什么位置关系 用向量方法证明你的结论.
22．已知两个力，，，作用于同一质点，使该质点从点移动到点(其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量)．试求：
(1)，分别对质点所做的功；
(2)，的合力对质点所做的功．
23．如图，在直角三角形ABC中，，，，，，其中，，设DE中点为M，AB中点为N．
(1)若，求证：C、M、N三点共线；
(2)若，求的最小值．
24．如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.
(1)用表示；
(2)如果，用向量的方法证明：.
25．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.
(1)用表示；
(2)求证：B，E，F三点共线．
26．如图，长江某地南北两岸平行，江面的宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度的大小为 ，水流速度的大小为 ，设和的夹角为，北岸在A的正北方向．
(1)当时，判断游船航行到北岸时的位置是在图中的左侧还是右侧，并说明理由．
(2)当多大时，游船能到达处？需航行多长时间？
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】根据向量平行的坐标运算求出，然后利用向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为，
所以，得，
所以.
故选：B.
2．B
【分析】将原问题转化为向量的问题，然后结合几何关系求得鹰的飞行速度即可.
【详解】如图，表示鹰在地面上的影子的速度，表示鹰的飞行速度，
由题意知，，且，
所以.
故选：B.
3．A
【分析】根据题意和向量加法的平行四边形法则作出几何图形，得到四边形是菱形，根据菱形性质可得在的角平分线上，从而可得出为内心．
【详解】如图所示，在上取点，在延长线上取点，使得，
可得，以为邻边作平行四边形，
则,
因为，所以平行四边形是菱形，所以，
过点作的平行线交于点，
因为，即，所以，所以点在上，
因为，所以，
由菱形的性质可得，所以，
所以为的角平分线，所以在的角平分线上，
同理可得：在的角平分线上，故在的角平分线上，
所以为的内心.
故选：A.
4．A
【分析】先求出，再根据即可求解.
【详解】，
，
因为，
所以，即.
故选：A.
5．B
【分析】由结合向量的加减法法则可得，再由得，从而可判断出四边形的形状.
【详解】由得，
所以，∥，
所以四边形ABCD为平行四边形，
又，所以．
所以四边形ABCD为矩形
故选：B
6．C
【分析】设两根绳子的拉力分别为，，作，根据题意得到其为矩形求解.
【详解】解：如图所示：
设两根绳子的拉力分别为，.
作，使，.
在中，，
所以，
所以，，
所以，
故两根绳子拉力的大小分别为，.
故选：C.
7．B
【分析】如图，设，，以，为邻边作平行四边形，由平行四边形法则可知，根据，可得平行四边形是正方形，从而得到答案．
【详解】如图，设，，则，，以，为邻边作平行四边形，
由平行四边形法则可知．∵，，∴平行四边形是正方形，∴方向为东南方向．
∵，∴．
故选：B．
8．A
【分析】利用功的计算公式以及向量数量积定义，列式求解即可．
【详解】解：因为且与小车的位移方向的夹角为，
又力作用于小车，使小车发生了40米的位移，
则力做的功为．
故选：A．
9．B
【分析】根据向量的大小和方向来判断，另外再根据向量除了相等，是不能比较大小的来判断.
【详解】与是等腰梯形的两腰，则它们必不平行，但长度相同，故，
又向量不是实数，是不能比较大小的.
故选：B.
10．B
【分析】由平面向量的加法结合已知可得M为AD的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得.
【详解】如图，D为BC边的中点，
则
因为－－＝
所以，
所以
所以.
故选：B
11．C
【分析】如图所示，，即得解.
【详解】
由题得,
所以,所以,
所以,
所以和大小相等，都为2.
故选：C
12．C
【分析】根据平面向量的加法和减法的几何意义进行判断即可.
【详解】根据平面向量加法和减法的几何意义可知选项C符合题意，
故选：C
13．D
【分析】由向量的运算可得，进而可得解.
【详解】∵，
∴，
∴，
即.
故点P在边AC所在的直线上.
故选：D.
14．D
【分析】理解各物理量的物理性质，即可判断是否为向量.
【详解】题设物理量中向量有：速度、力、加速度，而质量、路程、密度、功都是标量.
故选：D
15．C
【分析】利用垂线段最短得到船的行驶方向，结合三角函数的知识求出夹角
【详解】解：当航线垂直于河岸时，航程最短，
如图，在中，，所以，
所以，所以，
故选：C
16．
【分析】先计算出，然后利用即可求解
【详解】因为，，，
所以，
由题意，设，所以，
，得
所以点坐标为．
故答案为：
17．
【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积求解作答.
【详解】依题意，人的位移向量，拉力向量，则有，向量与的夹角为，
所以纤夫对船所做的功.
故答案为：
18．等腰直角三角形
【分析】求出向量，计算数量积，计算它们的模后可判断三角形形状．
【详解】由已知，得，，
∴，
∴，，
又，
∴是等腰直角三角形.
故答案为：等腰直角三角形.
19．西北方向
【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，再由直角边长可得答案.
【详解】根据题意画出图形如图所示，由图可知，且，故地相对于地的位移是西北方向．
故答案为：西北方向.
20．/
【分析】利用向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解.
【详解】因为，分别为线段，的中点，
所以,
,
,
所以
,
所以，解得，
所以，
所以的值为.
故答案为：.
21．(1)；
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据向量加减法法则和向量数乘即可求解；
（2）证明即可判断EF⊥EG.
【详解】（1）；
.
（2）.
证明如下：
由（1）知，，，
.
，.
22．(1)120；-9
(2)111
【分析】（1）由已知可得两个力，和位移，再由公式计算即可求解；
（2）先计算，的合力，再由公式即可求得合力对质点所做的功．
【详解】（1）依题意有，，，
则做的功为，
做的功为．
（2）由，
所以做的功为．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平面向量基本定理，化简得证明即可；
（2）根据，代入化简可得，再根据二次函数的最值分析最小值即可
【详解】（1）当时， ，，故，故C、M、N三点共线，即得证
（2）当时，，，故，故，故当时，取得最小值，即的最小值为
24．(1)，.
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用平面向量基本定理表示出；
（2）利用数量积为0证明.
【详解】（1）因为点是的中点，所以.
因为，,所以.
所以，.
（2）由（1）可得： ，.
因为，
所以，
所以.
25．(1)，，，，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合图像计算即可得解；
（2）利用平面向量共线定理证明，即可得证.
【详解】（1）解：在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则，
故，
，
，
；
（2）证明：因为，，
所以，
所以，
又因有公共点，
所以B，E，F三点共线．
26．(1)左侧，理由见解析；
(2)，时间为 h.
【分析】(1)时，游船水平方向的速度大小为然后确定方向即可．
(2)若游船能到处，则有，求出，然后求出时间即可；
【详解】（1）时，游船水平方向的速度大小为=1 ，方向水平向左，故最终到达北岸时游船在点的左侧；
（2）若游船能到处，则有，
则有，
此时游船垂直江岸方向的速度 ，
时间 h.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页