第6章平面向量初步 单元练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 第6章平面向量初步 单元练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 823.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-14 09:34:08 | ||
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文档简介
第6章平面向量初步单元练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，、分别是边、上的点，且，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，是不共线的向量，，，那么，，三点共线的充要条件为（ ）．
A． B． C． D．
3．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若都是单位向量，则；
③向量与相等．
则所有正确命题的序号是（ ）
A．① B．③
C．①③ D．①②
4．已知M，P，Q三点不共线，且点O满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图在梯形ABCD中，ADBC，，且E，F分别为AB，CD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，则与向量共线的单位向量为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．设分别是的三边上的点，且，则与（ ）
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
8．设点，且，则点D的坐标为
A．（2，16） B． C．（4，16） D．（2，0）
9．设，是两个非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若|＋|＝||－||，则⊥
B．若⊥，则|＋|＝||－||
C．若|＋|＝||－||，则存在实数λ，使得＝λ
D．若存在实数λ，使得＝λ，则|＋|＝||－||
10．设非零向量，满足，则
A．⊥ B．
C．∥ D．
11．是所在平面内一点，，为中点，则的值为
A． B． C． D．
12．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋＝，下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在直线上
D．P在△ABC的外部
13．设，是不共线的两个平面向量，已知，，若，，三点共线，则（ ）
A．2 B． C．6 D．
14．在中，，，且，则（ ）
A．1 B． C． D．-1
15．已知向量，若，则锐角为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若，则＝________．(用 表示)
17．在中，，，若，则的值为______．
18．给出下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若，满足且，同向，则；
③不相等的两个空间向量的模必不相等；
④对于任意向量，，必有.
其中正确命题的序号为________.
19．在如图所示的方格纸中，向量的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若与（x，y为非零实数）共线，则的值为__________.
20．在直角梯形ABCD中，，，，，点E在线段CD上，若，则的取值范围是________.
三、解答题
21．已知，不平行，分别求满足下列各条件的实数，的值：
(1)；
(2)向量以为基底的分解式为，其中，．
22．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线.
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.
23．知非零向量和不共线.
（1）如果＝＋，＝2＋8，＝3（－），求证：A，B，D三点共线；
（2）欲使向量k＋与＋k平行，试确定实数k的值.
24．在平行四边形ABCD中，，，
（1）如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用分别表示.
（2）如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用表示.
25．如图，考虑点，，，，从这个图出发.
（1）推导公式：；
（2）利用（1）的结果证明：，并计算的值.
26．两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：
（1），分别对该质点做的功；
（2），的合力对该质点做的功.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．A
【分析】根据向量的数乘和加减法法则即可求解.
【详解】如图所示：
.
故选：A.
2．B
【分析】若、、三点共线，则向量与平行，根据题中等式结合向量平行的充要条件列式，即可找出使、、三点共线的充要条件．
【详解】解：若、、三点共线，则向量
即存在实数，使得，
，
，可得，消去得
即、、三点共线的充要条件为
故选：B．
3．A
【解析】根据零向量和单位向量的概念可以判定①②，注意相等向量不仅要长度相等，方向要相同，可否定③.
【详解】根据零向量的定义可知①正确；
根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；
向与互为相反向量，故③错误．
故选：.
【点睛】本题考查零向量和单位向量的概念，相等向量的概念，属概念辨析，正确掌握概念即可.
4．D
【解析】根据向量的差的运算，相反向量，化简条件即可求解.
【详解】由，
得，
则，
即,
故选：D
5．C
【解析】由向量减法法则可知，结合向量的加法法则从而可选出正确答案.
【详解】连接OE，OF.因为，所以.
故选:C.
6．B
【分析】由，，得到向量的坐标，再利用单位向量求解.
【详解】因为，，
所以向量，
所以与向量共线的单位向量为或.
故选：B
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示与单位向量，属于基础题.
7．A
【分析】首先根据平面向量基本定理表示，，，然后三式相加得到答案.
【详解】
同理：，，
所以
,
所以与反向平行.
故选：A
【点睛】本题主要考查向量共线定理和平面向量基本定理，重点考查向量的表示，属于基础题型.
8．A
【分析】设，利用坐标表示出，根据坐标运算可建立方程组，解方程组求得结果.
【详解】设，则：，，
，
，解得：，即
本题正确选项：
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题.
9．C
【详解】利用排除法可得选项C是正确的，∵|＋|＝||－||，则，共线，即存在实
数λ，使得＝λ．如选项A：|＋|＝||－||时，，可为异向的共线向量；选项B：若⊥，由正方形得|＋|＝||－||不成立；选项D：若存在实数λ，使得＝λ，，可为同向的共线向量，此时显然|＋|＝||－||不成立
10．A
【详解】由平方得，即，则，故选A.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.
11．A
【详解】试题分析：结合题意，画出图形，利用图形，延长MD至E，使DE=MD，得到平行四边形MAEC，求出与的关系，即可得出正确的结论．
如图所示，∵D是AC之中点，延长MD至E，使得DE=MD，∴四边形MAEC为平行四边形，
，故选A．
考点：平面向量基本定理的应用
12．D
【详解】由＋＝可得
＝－＝，∴四边形PBCA为平行四边形．
可知点P在△ABC的外部．选D.
13．D
【分析】根据向量数乘及向量共线条件，即可求得的值.
【详解】若、、三点共线，则，
即满足系数成比例，则，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了平面向量数乘的意义，平面向量共线求参数，属于基础题.
14．C
【分析】根据向量的线性运算法则，化简得，再结合，求得以的值，即可求解.
【详解】由题意在中，，，
根据向量的线性运算法则，可得：
，
又由，所以，所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理得应用，其中解答中熟记平面向量的加法、减法的运算法则，结合平面向量的基本定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
15．B
【分析】根据向量平行坐标表示列方程，解得结果.
【详解】因为，所以
因为为锐角，所以
故选：B
【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．
【解析】根据＝，利用向量的线性运算转化即可.
【详解】在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，
所以＝,
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，较为容易.
17．1
【解析】由，得，再由可得，从而可求求出，，进而可得答案
【详解】解：因为，所以,
所以，
因为，
所以，
因为
所以，，
故．
故答案为：1
18．④
【分析】根据向量的基本概念对四个选项逐一判断即可.
【详解】对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；
对于②，向量是不能比较大小的，故②错误；
对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错误；
只有④正确.
故答案为：④
【点睛】本题主要考查了向量的相关概念，属于基础题.
19．
【分析】由题意易得每个向量的坐标，由斜率共线可得和的关系式，变形可得答案．
【详解】解：设图中每个小正方形的边长为1，
则，，，
，
与共线，
，
，即
故答案为：
【点睛】本题考查平行向量与共线向量，属于基础题．
20．
【分析】由题易求,,即可得,设,则,即可得,进而求得的范围
【详解】由题意,设上的高为,则,,所以
因为点E在线段CD上,所以,
因为,则,
所以,即,
因为,所以
故答案为：
【点睛】本题考查向量的线性运算,考查平面向量基本定理的应用
21．(1)
(2)
【分析】（1）由待定系数法得出实数，的值；
（2）由向量的数乘运算结合待定系数法得出实数，的值.
(1)
，，解得
(2)
22．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根据平面向量的加法运算，得出，再利用，，三点共线，利用向量的共线定理可知存在实数，使得，解出的值，即可得出结果；
（2）根据平面向量坐标的加法运算，得出，可求出的坐标；
（3）由平行四边形的性质，可知，设，则，计算得出点的坐标.
【详解】解：（1）由题可知，，，，
，
，，三点共线，
存在实数，使得，
即，
得．
，是平面内两个不共线的非零向量，
，解得：，.
（2）已知，，
.
（3）四点按逆时针顺序构成平行四边形，且，
，
设，则，
，
，解得，即点的坐标为．
23．（1）证明见解析；（2）±1.
【分析】（1）利用共点向量的共线证明三点共线即可；
（2）利用向量共线可得，又非零向量和不共线，只能，求解即可.
【详解】（1）因为=＋==5，
且为非零向量，所以与共线，即A，B，D三点共线.
（2）因为k＋与＋k平行，且两向量都为非零向量，
所以存在实数λ使得k＋=＋k成立，
即,
因为e1和e2不共线，
所以所以k＝±1.
24．（1），（2）.
【分析】（1）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可；
（2）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.
【详解】（1），
；
（2）.
25．（1）推导见解析；（2）证明见解析，
【分析】（1）根据图象可知，再展开化简，得到两角和的余弦公式；（2）首先令，求，再代入所证明的公式；首先根据二倍角公式和诱导公式化简为，再根据两角差的余弦公式化简.
【详解】（1）因为，
根据图象，可得，即，
即.
即.
（2）由（1）可得， ①
②
由①+②可得：
所以，
所以.
【点睛】本题考查两角和差余弦公式的证明，以及利用三角恒等变换求值，重点考查逻辑推理证明，公式的灵活应用，属于基础题型.
26．（1）做的功，做的功.
（2）
【解析】（1）由已知可得两个力，和位移，再由公式计算即得；（2）先计算，的合力，再由公式可得功。
【详解】（1），，.
做的功，
做的功.
（2），
所以做的功.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，以及数量积在物理中的应用，是基础题。
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，、分别是边、上的点，且，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，是不共线的向量，，，那么，，三点共线的充要条件为（ ）．
A． B． C． D．
3．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若都是单位向量，则；
③向量与相等．
则所有正确命题的序号是（ ）
A．① B．③
C．①③ D．①②
4．已知M，P，Q三点不共线，且点O满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图在梯形ABCD中，ADBC，，且E，F分别为AB，CD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，则与向量共线的单位向量为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．设分别是的三边上的点，且，则与（ ）
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
8．设点，且，则点D的坐标为
A．（2，16） B． C．（4，16） D．（2，0）
9．设，是两个非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若|＋|＝||－||，则⊥
B．若⊥，则|＋|＝||－||
C．若|＋|＝||－||，则存在实数λ，使得＝λ
D．若存在实数λ，使得＝λ，则|＋|＝||－||
10．设非零向量，满足，则
A．⊥ B．
C．∥ D．
11．是所在平面内一点，，为中点，则的值为
A． B． C． D．
12．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋＝，下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在直线上
D．P在△ABC的外部
13．设，是不共线的两个平面向量，已知，，若，，三点共线，则（ ）
A．2 B． C．6 D．
14．在中，，，且，则（ ）
A．1 B． C． D．-1
15．已知向量，若，则锐角为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若，则＝________．(用 表示)
17．在中，，，若，则的值为______．
18．给出下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若，满足且，同向，则；
③不相等的两个空间向量的模必不相等；
④对于任意向量，，必有.
其中正确命题的序号为________.
19．在如图所示的方格纸中，向量的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若与（x，y为非零实数）共线，则的值为__________.
20．在直角梯形ABCD中，，，，，点E在线段CD上，若，则的取值范围是________.
三、解答题
21．已知，不平行，分别求满足下列各条件的实数，的值：
(1)；
(2)向量以为基底的分解式为，其中，．
22．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线.
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.
23．知非零向量和不共线.
（1）如果＝＋，＝2＋8，＝3（－），求证：A，B，D三点共线；
（2）欲使向量k＋与＋k平行，试确定实数k的值.
24．在平行四边形ABCD中，，，
（1）如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用分别表示.
（2）如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用表示.
25．如图，考虑点，，，，从这个图出发.
（1）推导公式：；
（2）利用（1）的结果证明：，并计算的值.
26．两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：
（1），分别对该质点做的功；
（2），的合力对该质点做的功.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．A
【分析】根据向量的数乘和加减法法则即可求解.
【详解】如图所示：
.
故选：A.
2．B
【分析】若、、三点共线，则向量与平行，根据题中等式结合向量平行的充要条件列式，即可找出使、、三点共线的充要条件．
【详解】解：若、、三点共线，则向量
即存在实数，使得，
，
，可得，消去得
即、、三点共线的充要条件为
故选：B．
3．A
【解析】根据零向量和单位向量的概念可以判定①②，注意相等向量不仅要长度相等，方向要相同，可否定③.
【详解】根据零向量的定义可知①正确；
根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；
向与互为相反向量，故③错误．
故选：.
【点睛】本题考查零向量和单位向量的概念，相等向量的概念，属概念辨析，正确掌握概念即可.
4．D
【解析】根据向量的差的运算，相反向量，化简条件即可求解.
【详解】由，
得，
则，
即,
故选：D
5．C
【解析】由向量减法法则可知，结合向量的加法法则从而可选出正确答案.
【详解】连接OE，OF.因为，所以.
故选:C.
6．B
【分析】由，，得到向量的坐标，再利用单位向量求解.
【详解】因为，，
所以向量，
所以与向量共线的单位向量为或.
故选：B
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示与单位向量，属于基础题.
7．A
【分析】首先根据平面向量基本定理表示，，，然后三式相加得到答案.
【详解】
同理：，，
所以
,
所以与反向平行.
故选：A
【点睛】本题主要考查向量共线定理和平面向量基本定理，重点考查向量的表示，属于基础题型.
8．A
【分析】设，利用坐标表示出，根据坐标运算可建立方程组，解方程组求得结果.
【详解】设，则：，，
，
，解得：，即
本题正确选项：
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题.
9．C
【详解】利用排除法可得选项C是正确的，∵|＋|＝||－||，则，共线，即存在实
数λ，使得＝λ．如选项A：|＋|＝||－||时，，可为异向的共线向量；选项B：若⊥，由正方形得|＋|＝||－||不成立；选项D：若存在实数λ，使得＝λ，，可为同向的共线向量，此时显然|＋|＝||－||不成立
10．A
【详解】由平方得，即，则，故选A.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.
11．A
【详解】试题分析：结合题意，画出图形，利用图形，延长MD至E，使DE=MD，得到平行四边形MAEC，求出与的关系，即可得出正确的结论．
如图所示，∵D是AC之中点，延长MD至E，使得DE=MD，∴四边形MAEC为平行四边形，
，故选A．
考点：平面向量基本定理的应用
12．D
【详解】由＋＝可得
＝－＝，∴四边形PBCA为平行四边形．
可知点P在△ABC的外部．选D.
13．D
【分析】根据向量数乘及向量共线条件，即可求得的值.
【详解】若、、三点共线，则，
即满足系数成比例，则，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了平面向量数乘的意义，平面向量共线求参数，属于基础题.
14．C
【分析】根据向量的线性运算法则，化简得，再结合，求得以的值，即可求解.
【详解】由题意在中，，，
根据向量的线性运算法则，可得：
，
又由，所以，所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理得应用，其中解答中熟记平面向量的加法、减法的运算法则，结合平面向量的基本定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
15．B
【分析】根据向量平行坐标表示列方程，解得结果.
【详解】因为，所以
因为为锐角，所以
故选：B
【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．
【解析】根据＝，利用向量的线性运算转化即可.
【详解】在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，
所以＝,
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，较为容易.
17．1
【解析】由，得，再由可得，从而可求求出，，进而可得答案
【详解】解：因为，所以,
所以，
因为，
所以，
因为
所以，，
故．
故答案为：1
18．④
【分析】根据向量的基本概念对四个选项逐一判断即可.
【详解】对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；
对于②，向量是不能比较大小的，故②错误；
对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错误；
只有④正确.
故答案为：④
【点睛】本题主要考查了向量的相关概念，属于基础题.
19．
【分析】由题意易得每个向量的坐标，由斜率共线可得和的关系式，变形可得答案．
【详解】解：设图中每个小正方形的边长为1，
则，，，
，
与共线，
，
，即
故答案为：
【点睛】本题考查平行向量与共线向量，属于基础题．
20．
【分析】由题易求,,即可得,设,则,即可得,进而求得的范围
【详解】由题意,设上的高为,则,,所以
因为点E在线段CD上,所以,
因为,则,
所以,即,
因为,所以
故答案为：
【点睛】本题考查向量的线性运算,考查平面向量基本定理的应用
21．(1)
(2)
【分析】（1）由待定系数法得出实数，的值；
（2）由向量的数乘运算结合待定系数法得出实数，的值.
(1)
，，解得
(2)
22．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根据平面向量的加法运算，得出，再利用，，三点共线，利用向量的共线定理可知存在实数，使得，解出的值，即可得出结果；
（2）根据平面向量坐标的加法运算，得出，可求出的坐标；
（3）由平行四边形的性质，可知，设，则，计算得出点的坐标.
【详解】解：（1）由题可知，，，，
，
，，三点共线，
存在实数，使得，
即，
得．
，是平面内两个不共线的非零向量，
，解得：，.
（2）已知，，
.
（3）四点按逆时针顺序构成平行四边形，且，
，
设，则，
，
，解得，即点的坐标为．
23．（1）证明见解析；（2）±1.
【分析】（1）利用共点向量的共线证明三点共线即可；
（2）利用向量共线可得，又非零向量和不共线，只能，求解即可.
【详解】（1）因为=＋==5，
且为非零向量，所以与共线，即A，B，D三点共线.
（2）因为k＋与＋k平行，且两向量都为非零向量，
所以存在实数λ使得k＋=＋k成立，
即,
因为e1和e2不共线，
所以所以k＝±1.
24．（1），（2）.
【分析】（1）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可；
（2）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.
【详解】（1），
；
（2）.
25．（1）推导见解析；（2）证明见解析，
【分析】（1）根据图象可知，再展开化简，得到两角和的余弦公式；（2）首先令，求，再代入所证明的公式；首先根据二倍角公式和诱导公式化简为，再根据两角差的余弦公式化简.
【详解】（1）因为，
根据图象，可得，即，
即.
即.
（2）由（1）可得， ①
②
由①+②可得：
所以，
所以.
【点睛】本题考查两角和差余弦公式的证明，以及利用三角恒等变换求值，重点考查逻辑推理证明，公式的灵活应用，属于基础题型.
26．（1）做的功，做的功.
（2）
【解析】（1）由已知可得两个力，和位移，再由公式计算即得；（2）先计算，的合力，再由公式可得功。
【详解】（1），，.
做的功，
做的功.
（2），
所以做的功.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，以及数量积在物理中的应用，是基础题。
答案第1页，共2页
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