甘肃省秦安县二中2013-2014学年高二下学期期末考试数学（理）试题

第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
1．设全集为，集合，则( )

2.在平面直角坐标系中，曲线C：经过伸缩变换后，所得曲线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．执行如右下图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的最大值是(　 　)

4．若直线的参数方程为，则直线的斜率为( )

5. 若存在实数使成立，则实数的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
6.在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
7.随机变量的概率分布列规律为其中为常数，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
8.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为(t为参数)．以原点O为极点，以x8．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是

9. 在极坐标系中,直线与曲线相交于两点, 为极点,则的大小为 （　　）

10．我校15届高二有名学生, 现采用系统抽样方法, 抽取人做问卷调查, 将人按随机编号, 则抽取的人中, 编号落入区间的人数为（　　）

第Ⅱ卷（非选择题，共60分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）
11．若随机变量，则.
12. 二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 .
13．在区间上随机取一个数，使成立的概率为 ．
14.如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆的参数方程为 .
15. 用1、2、3、4、5、6六个数组成没有重复数字的六位数，其中5、6均排在3的同侧，这样的六位数共有 个（用数字作答）．
三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16. （本小题满分6分）在直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
（Ⅰ）判断点与直线的位置关系，说明理由；
（Ⅱ）设直线与曲线的两个交点为、，求的值.
17. （本小题满分8分）设函数
（Ⅰ）若，解不等式；
（Ⅱ）若函数有最小值，求的取值范围.
18. （本小题满分8分）某校举行综合知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有6次答题的机会，选手累计答对4题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对4题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答题连续两次答错的概率为（已知甲回答每道题的正确率相同，并且相互之间没有影响）.
（Ⅰ）求选手甲回答一个问题的正确率；
（Ⅱ）求选手甲可以进入决赛的概率.
19. (本大题满分8分) 巴西世界杯足球赛正在如火如荼进行.某人为了了解我校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关,从全校学生中随机抽取30名学生进行了问卷调查,得到了如下列联表:
男生
女生
合计
收看
10
不收看
8
合计
30
已知在这30名同学中随机抽取1人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是.
(I)请将上面的列联表补充完整,并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是否有关?
(II)若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加一活动,记“通过电视收看世界杯”的人数为X,求X的分布列和均值.
(参考公式：， )
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
20.（本小题满分10分）已知函数
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，若在区间上的最小值为，其中是自然对数的底数，
求实数的取值范围；
参考答案
选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应横线上．）
11. 12. 180 13. 14. 为参数） 15. 480
三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （本小题满分8分）
解：（Ⅰ）当时，
当时，可化为 ，解得 ；
当时，可化为 ，解得 .
综上可得，原不等式的解集为 …………………………4分
（Ⅱ） ………………6分
函数有最小值的充要条件为即 ………………8分
19.（本小题满分8分）
解(Ⅰ)
男生
女生
合计
收看
10
6
16
不收看
6
8
14
合计
16
14
30
由已知数据得:
所以,没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关 . …………4分
(Ⅱ)的可能取值为
， ……6分
所以的分布列为:
0
1
2
的均值为: …………………………8分
令得 …………………………5分
当，所以在上的最小值是，满足条件，于是；