辽宁省大连市滨城高中联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含答案）

大连市滨城高中联盟2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷
第I卷（选择题）
一 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.两点分布也叫分布，已知随机变量X服从参数为0.5的两点分布，则下列选项中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ）
A. B. C. D.
3.甲 乙 丙 丁 戊5名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（ ）
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
4.已知等比数列的前3项和为，则（ ）
A.14 B.12 C.6 D.3
5.已知为等差数列，且前项和分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.3
6.已知某地区的男性和的女性患色盲，假如该地区男性 女性人数各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（ ）
A.0.01245 B.0.05786 C.0.03745 D.0.02865
7.某企业在2013年年初贷款万元，年利率为，从该年年末开始，每年偿还的金额都是万元，并恰好在10年间还清，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知数列的前项和为，数列中的每一项可取1或2，且取1和取2的概率均为，则.能被3整除的概率为（ ）
A. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题正确的是（ ）
A.若随机变量，且，则
B.在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别为 0.3，则与是互斥事件，也是对立事件
C.一只袋内装有个白球，个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，
D.由一组样本数据得到回归直线方程，那么直线至少经过中的一个点
10.付先生每天上班，单位要求9点到岗，付先生上班采取以下方式之一：开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；付先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.从统计的角度出发，下列说法合理的有（ ）
参考数据：随机变量，则.
A.若8：00出门，则开私家车一定不会迟到
B.若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
C.若8：06出门，则开私家车上班不迟到的可能性更大
D.若8：12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到
11.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（ ）
A.事件为互斥事件 B.事件B，C为独立事件
C. D.
12.已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为为偶数的概率为，则下列说法正确的有（ ）
A.
B.，且为偶数时，
C.时，随着的增大而增大
D.时，随着的增大而减小
第II卷（非选择题）
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知数列成等差数列，成等比数列，则的值为__________.
14.现将5名志愿者全部分派到三个居民小区参加普法知识宣传，要求每个小区至少分派1人，并且志愿者甲必须安排到A小区，则不同的安排方法种数为__________.
15.如图，在“杨辉三角”中，斜线的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：，，记其前项和为，则的值为__________.
16.已知，且，记随机变量为中的最小值，则__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于46；条件②：第4项与第7项的二项式系数相等；问题：在二项式的展开式中，已知__________.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）设，求的值；
（3）求的展开式中，按的升幂排列的前三项.
18.（本小题满分12分）
已知正项数列满足，前项和满足
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）
社区是社会的基本单元，是连接城市 小区 家庭的重要桥梁.从百姓的衣食住行到政府的公共服务 社会治理，无不与社区的管理服务能力紧密相关.目前面临的问题是，粗放传统的社区管理服务已远远不能适应数字经济时代入民群众日益增长的生产生活需要.打造智慧共享 和睦共治的新型智慧社区，是提升社区居民的幸福感 提升城市管理水平 构建和谐宜居环境的必要途径.某社区为推进智慧社区建设，给居民提供了一款手机APP构建智能化社区管理服务模式.为了解居民对使用该APP的满意度，物业对小区居民开展了为期5个月的调查活动，统计数据如下：
月份x 1 2 3 4 5
不满意的人数y 120 105 100 95 80
（1）请利用所给的数据求不满意的人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区8月份对这款APP不满意的人数；
（2）工作人员发现使用这款APP的居民的年龄近似服从正态分布，求的值；（3）工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人（其中女性人数占，女性中使用APP的人数为48人，男性中使用APP的人数占男性人数的），调查是否使用这款APP与性别的关系，请填写下表：
使用APP 不使用APP 总计
女性人数
男性人数
总计
据此判断能否有的把握认为是否使用这款APP与性别有关.
参考公式：.
附：随机变量，则）
其中
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20.（本小题满分12分）
为营造浓厚的全国文明城市创建 围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.
（1）求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
（2）记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望；
（3）若志愿活动共有卫生清洁员 交通文明监督员 科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望.
21.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为是与的等差中项.
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）设，若数列是递增数列，求的取值范围.
（3）设，且数列的前项和为，求证：.
22.（本小题满分12分）
为提高学生身体素质，丰富课余生活，营造良好的运动 围，某校举办了“无'羽'伦比”羽毛球比赛.甲 乙两名选手进行比赛，假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的.
（1）若比赛为“三局两胜制”，求比赛仅需两局就结束的概率为多少？
（2）若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛的局数的数学期望是多少？
附：当时，（此式表示：当无限接近于正无穷大时，无限接近于0）
大连市滨城高中联盟2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷答案
一 单项选择题：
1.D 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8.C
8.法一：被3除，有3种情况，分别为被3整除，余数为1，余数为2，
设为被3整除的概率，
所以，则，又，则，
所以，是以为首项，以为公比的等比数列，有，
即，所以.
法二：由古典概型可知，数列共有种情况，
能被3整除，有以下4种情况：
①中有10个1，1个2，有种情况；
②中有7个1，4个2，有种情况；
③中有4个1，7个2，有种情况；
④中有1个1，10个2，有种情况，
所以，被3整除的概率为
故选C
二 多项选择题：
9.BC 10.CD 11.ACD 12.AC
12.对于选项，由二项分布可知正确；
对于B选项，由时，，则
所以，
，
所以，故B不正确，
对于C，D选项，，
当时，，且为正项且单调递增的数列，
故随着的增大而增大，故C正确，当时，，且为摆动数列，故D不正确，故选
三 填空题：
13. 14. 15. 16.
15.
.
16.因为，所以随机变量可能取值为1和2，用隔板法求得事件总情况为种，
时，分两种情况：
①三个数中只有一个1，有种；
②三个数中有两个1，有种，
所以，
时，也分两种情况：
①三个数中只有一个2，有种；
②三个数中有两个2，有种，
所以，
所以，
四 解答题：
17.解：选择①，因为，解得，
选择②，因为，解得，
（1）展开式中二项式系数最大的项为
和.
（2）令，则，
令，则，
所以.
（3）在的展开式中：常数项：
含的项：
含的项：所以，在的展开式中，按的升幂排列的前三项是：.
18.解：（1）由）可得
得，即，
因为，所以，则，
所以，，
又因为，所以是以1为首项，为公差的等差数列.
，
当时，，
当时，，
所以，
（2）当时，
.
又因为满足上式，所以
19.解：（1）由表中的数据可知，，
所以，故，
所以，所求的回归直线方程为，
令，则（人）
故预测该小区8月份对这款APP不满意的人数为55人.
（2）依题意得.
（3）列联表如下：
使用APP 不使用APP 总计
女性人数 48 12 60
男性人数 22 18 40
总计 70 30 100
，
又因为，而且查表可得，
由于，所以有的把握认为是否使用这款APP与性别有关.
20.解：（1）设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件B.
则，
所以，.
（2）
可取
所以的分布列为：
0 1 2
（3）法一：根据题意，一名女生参加活动可获得工时的期望为
一名男生参加活动可获得工时的期望为
有名女生参加活动，则男生有2-X名参加活动.
所以.
即两人工时之和的期望为13个工时.
法二：“选取的两人中女生人数为“记为事件，
则.
由题意知，的可能值为，“得分为“分别记为事件
，则
，
，
.
.
所以，的分布列为：
6 9 12 15 18
所以，.
即两人工时之和的期望为13个工时.
21.（1）证明：是与的等差中项
①
于是有②
①②
即
又，
，
，即有
又
是以3为首项，3为公比的等比数列，
则.
（2）由（1）可知，
，
.
是递增数列，，
当是奇数时，，即恒成立，
数列单调递增，，
当是偶数时，，即恒成立
数列单调递减，.
综上，的取值范围是
（3）即.
当时，
.
当时，.
综上所述，.
（其他方法酌情给分）
22.解：（1）若比赛为“三局两胜制”，比赛仅需两局就结束的概率为.
（2）法一：一个人比另一个人多赢两局时比赛结束，则需要局比赛，且从第一局开始到第局每两局甲 乙必需各赢一局，最后两局由一个人取得胜利.所以设需要比赛的局数为可取
.
则
设①
则②
①-②：
所以，.
法二：设需要进行的比赛局数的数学期望为，两局结束比赛的概率为，两局还末结束比赛的概率为，
若两局还末结束比赛，说明前两局必定两人各赢一局，此时两局之后的比赛可以看成一个全新的比赛，其期望也为，所以总的期望为，
解得.