云南省大理白族自治州民族中学2022-2023学年高二下学期5月期中考试数学试题(PDF版含解析)

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名称 云南省大理白族自治州民族中学2022-2023学年高二下学期5月期中考试数学试题(PDF版含解析)
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文件大小 542.7KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-05-14 10:54:38

文档简介

大理州民族中学 2022-2023 学年下学期 期中考试 则 =( )
A. 2√ 13 B. √ 13 C. 2√ 39 D. √ 39
高二数学 13 13 13 13
1
7. (1 + )( + )4的展开式中 3的系数为6,则实数 的值为( )

3 5 7 9
A. B. C. D.
注意:1.试卷满分 150分,考试时间 120分钟。 4 4 4 4
ln 1 ln 38. 若对任意的 1, 2 ∈ ( ,+∞),且当 1 < 2时,都有
2 > ,则 的最小值是 ( )

2.客观题用 2B 铅笔填涂,主观题用黑色水性笔填写。 1 2 1 2
1 1
A. B. C. 3 D. 2
第 I 卷(选择题 共 3 60 分)
二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分;在每小题给出的四个选项中,
一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分;在每小题给出的四个选项中,
有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.
只有一项是符合题目要求的.
1
9. 关于(2 )6的展开式,下列结论正确的是( )
一、单选题(本大题共 小题,共 分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项) 8 40.0
A. 二项式系数之和为64 B. 所有项的系数之和为1
1. 已知集合 = { 2, 1,0,1,2}, = { | √ 3 ≤ ≤ 1},则 ∩ =( )
C. 常数项为160 D. 2项的系数为240
A. { 2, 1,0,1} B. { 1,0,1} C. {0,1} D. { 2, 1,0,1,2}
10. 已知7名同学排成一排,下列说法正确的是( )
2
2. 已知复数 = + ( , ∈ )是复数 的共轭复数,则3 + =( )
1+ A. 甲不站两端,共有 15
6
6种排法 B. 甲、乙必须相邻,共有
5
5
2
2种排法
A. 4 B. 2 C. 4 D. 2 C. 甲、乙不相邻,共有 2 55 5种排法 D. 甲不排左端,乙不排右端,共有
7
7 2
6
6 +
5
5种排法
3. 甲、乙、丙、丁、戊五人周末去某景点游玩,到达景点时,他们站成一排拍照留念,则甲不站 11. 如图所示,在正方体 1 1 1 1中, 为 的中点,直线 1 交平面 1 于点 ,则下
在正中间的站法有( ) 列结论正确的是 ( )
A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 96种 A. 1, , 三点共线
4. 沙漏是我国古代的一种计时工具,是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的(如图).在 B. 1 ⊥平面 1
一个圆锥中装满沙子,放在上方,沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中,假定沙
C. 直线 1 1与平面 1 1所成角的为 6
子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个
D. 直线 1 和直线 1是共面直线
圆锥中需用时1小时.当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时,所需时间为( )
12. 已知顶点在原点 的抛物线 2 = 2 ( > 0),过抛物线焦点 的动直线 交抛物线于 、 两点,
1 7 3 2
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
2 8 4 3 当直线 垂直于 轴时,△ 面积为8.下列结论正确的是( )
5. 由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数中,比2019大的数的个数为( ) A. 抛物线方程为 2 = 8 . B. 若 = 12,则 的中点到 轴距离为4.
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 C. △ 有可能为直角三角形. D. | | + 4| |的最小值为18.
6. 在△ 中, , , 分别为角 , , 的对边,已知 = 60°, = 1,△ 的面积为√ 3,
数学试卷·第 1 页(共 8 页 ) 数学试卷·第 2 页(共 8 页)
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 20. (本小题12.0分)
三、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分,共 20 分. 如图,在以 , , , , , 为顶点的六面体中(其中 ∈平面 ),四边形 是正方形, ⊥
平面 , = ,且平面 ⊥平面 .
13. 计算:3log32
1
+ 0.25 2 + 0 = . (1)设 为棱 的中点,证明: , , , 四点共面;
14. 已知 是等差数列{ }的前 项和,且 3 + 6 = 40, 2 = 10,则 1 = . (2)若 = 2 = 2,求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
15. 已知△ 所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直, = = 3, = 2,∠ =
60 ,则多面体 的外接球的表面积为 .
16. 点 是抛物线 : 21 = 4 的焦点,点 2为抛物线 的对称轴与其准线的交点,过 2作抛物线 的
切线,切点为 ,若点 恰好在以 1, 2为焦点的椭圆上,则椭圆的离心率为 .
四、解答题:本大题满分 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题10.0分) 21. (本小题12.0分)
小明每天去学校有 , 两条路线可供选择,小明上学时随机地选择一条路线.如果小明上学时选择 已知函数 ( ) = ln .
路线,那么放学时选择 路线的概率为0.6;如果小明上学时选择 路线,那么放学时选择 路线的概 (1)若 = 1,求函数 ( )在(1, (1))处的切线方程;
率为0.8. (2)讨论函数 = ( )在[1, 2]上的单调性.
(1)求小明放学时选择 路线的概率;
(2)已知小明放学时选择 路线,求小明上学时选择 路线的概率.
18. (本小题12.0分)
22. (本小题12.0分)

设向量 = (√ 3 , ), = ( , ), ∈ [0, ]. 2 2 2
已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左焦点为 ,右顶点为 ,渐近线方程为 = ±√ 3 , 到
(1)若| | = | |,求 的值;
渐近线的距离为√ 3.
(2)设函数 ( ) = ,求 ( )的最大值.
(Ⅰ)求 的方程;
19. (本小题10.0分) (Ⅱ)若直线 过 ,且与 交于 , 两点(异于 的两个顶点),直线 = 与直线 , 的交点分别为
已知数列{ }的前 项和为
2
, +1 > ,4 = + 4 . , .是否存在实数 ,使得| + | = | |?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理
(1)求{ }的通项公式;
由.

(2)求数列{ +1}的前 项和 2

数学试卷·第 3 页(共 8 页 ) 数学试卷·第 4 页(共 8 页)高二数学答案和解析
1.【答案】
【解答】
解:由题意得,
∩ = { 1,0,1}
故选 B.
2.【答案】
【解答】
2 2(1 )
解:由题知 = = 1 ,
1+ 2
∴ = 1, = 1,
故3 + = 3 + 1 = 4.
3.【答案】
【解答】
解:甲、乙、丙、丁、成五人站成一排,总的站法有 55 = 120种,
其中甲站在正中间的站法有 44 = 24种,
则甲不站在正中间的站法有120 24 = 96种.
故选 D.
4.【答案】
【解答】
解:如图,
1 4
依题意可知 = 2 , 2 2大 = = 3 3

1 2 1 1 = = 2
大 小 7 7 7
小 ,所以 = ,1小时 小时.3 2 6 8 × = 大 8 8
故选: .
第 1页,共 9页
5.【答案】
【解答】
解:根据题意,分2种情况讨论:
①、当首位为3时,将剩下的三个数字全排列,
安排在后面的三个数位,有 33 = 6种情况,即有6个符合条件的4位数;
②,当首位为2时,
若百位为1或3时,将剩下的两个数字全排列,
安排在后面的两个数位,有2 22 = 4种情况,即有4个符合条件的4位数;
若首位为2,百位为0时,只有2031一个符合条件的4位数;
综上共有6 + 4 + 1 = 11个符合条件的4位数;
故选: .
6.【答案】
【解答】
解:∵在△ 中, = 60°, = 1,△ 的面积为√ 3,
1 √ 3
∴ = = √ 3,解得 = 4,
2 4
由余弦定理得: 2 = 2 + 2 2 = 13,解得 = √ 13,
√ 13 4
由正弦定理 = ,可得 =
sin sin √ 3 sin

2
2√ 39
∴ = .
13
故答案选: .
7.【答案】
【解答】
解:( + )4的二项展开式的通项 4 +1 = 4 ,
1
(1 + )( + )4的展开式中含 3的项包含两部分,

即 3
1
4
3 = 4 3, 4 44 =
3,

1
故(1 + )( + )4的展开式中 3的系数为4 + 1 = 6,

5
所以 = .
4
故选 B.
第 2页,共 9页
8.【答案】
【解答】
ln ln 3
解:由 1 2 > ,且 < ,且 > 0, > 0,
1
1 2 1 2
2 1 2
3 3
可得ln 1 + < ln 2 + , 1 2
3
构造函数 ( ) = ln + , > 0,则 ( 1) < ( 2),
故题干的条件转化为函数 ( )在区间( ,+∞)上单调递增.
1 3
′( ) = 2 , > 0,
3
由 ′( ) = 2 > 0得 3 > 0,解得 > 3,
故函数 ( )的单调递增区间为(3,+∞),
由( ,+∞) (3,+∞)得 3,
故 的最小值为3.
9.【答案】
【解答】
解: 1
6
(2 ) 的展开式的所有二项式系数和为26 = 64,故 A 正确:

取 = 1,可得所有项的系数和为1,故 B 正确;
1
二项展开式的通项为 6 +1 = 6 (2 ) · ( ) = ( 1)
· 26 · 6 2
6

由6 2 = 0,得 = 3,代入通项得常数项为 4 = 160,C 错误,
由6 2 = 2,得 = 2,∴含 2项的系数为240,故 D 正确.
故选: .
10.【答案】
【解答】
解: ,特殊元素优先考虑,先确定甲,有 15情况,共有
1
5
6
6种排法,A 正确;
,捆绑法,甲、乙必须相邻,有 22情况,看作是6个元素的全排列,共有
6
6
2
2种排法,B 错误;
,利用插空法,甲乙不相邻,其余五人先排,有 55,剩下有6个空位置,既有
2 2 5
6,一共 6 5,C 错误;
,间接法,一共 77种排法,甲在左端,有
6
6种排法;乙在右端,有
6
6种排法,甲在左端,乙在右端,有
5
5种
排法,
所以甲不排左端,乙不排右端,共有 7 2 67 6 +
5
5种排法,D 正确。
故选 AD。
第 3页,共 9页
11.【答案】
【解答】
解:由于 1 为正方体 1 1 1 1的体对角线,
1 在平面 1 1内,据此可得平面 1 1 ∩ 1 = 1 ,
又 1 交平面 1 于点 ,点 在 1 上,
∴ 1, , 三点共线,故 A 项正确;
很明显 ⊥平面 1 1, 1 平面 1 1,故 1 ⊥ ,
同理, 1 ⊥ 1, ∩ 1于点 ,故 1 ⊥平面 1 ,
故 B 项正确;
设正方体的边长为1,直线 1 1与平面 1 1的夹角为 ,则 1 1 = √ 2,
1
点 1到平面
1 √ 2
1 1的距离为 1 = ,故sin = , = , 项正确; 2 2 2 6
直线 1 与直线 1为异面直线,故 D 项错误.
故选: .
12.【答案】
【解答】
2
解:当直线 垂直于 轴时,可得| | = 2 ,则△ 面积为 = 8,可得 = 4,故 A 正确;
2
抛物线 2 = 8 的准线为 = 2,取 中点 ,过 作 垂直准线于点 ,
由梯形中位线定理| | = 6,故 到 轴距离为6 2 = 4,故 B 正确;
由题意知直线 的斜率存在,则可设直线 : = + 2,且 ( 1, 1), ( 2, 2),
联立 2 = 8 可得 2 8 16 = 0,
2 2 2
则有 1 2 = 16,

= 1 · 2
( 1 2) ,
1 2 = = 48 8 64
于是 · = + 1 2 1 2 = 12 < 0,由题意知 与 不共线,
故∠ > 90°,即△ 一定是钝角三角形,故 C 错误;
由题意知 1 > 0, 2 > 0,则| | + 4| | = 1 + 2 + 4( 2 + 2) = 1 + 4 2 + 10 ≥ 2√ 4 1 2 + 10 = 18,
当且仅当 1 = 4, 2 = 1时,取等号,故 D 正确.
13.【答案】5
【解答】
1
1 2 1
解:原式= 2 + ( ) + 1 = 3 + = 54 .
√ 1
4
第 4页,共 9页
5
14.【答案】
2
【解答】
+ = 40
解:由题意可得{ 3 6 ,
2 = 1 + 2 = 10
2 + 7 = 40
即{ 1 ,
2 1 + = 10
5
解得{ 1 = 2.
= 5
15.【答案】16
【解答】
解:设球心到平面 的距离为 ,则
∵△ 所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直,
∴ 到平面 的距离为3√ 3, = = 3,∠ = 60°,
2
2 2
2 √ 4+9 3√ 3∴ = ( ) + 2 = 12 + ( ) ,
2 2
√ 3
∴ = , 2 = 4,
2
∴多面体 的外接球的表面积为4 2 = 16 .
故答案为:16 .
16.【答案】√ 2 1
【解答】
解:有题意得 1(1,0), 2( 1,0),
设过 2作抛物线 的切线为 = —1,
= 1
联立{ 2
2 4 + 4 = 0,
= 4
所以 = 16 2 16 = 0 = ±1,
取 = 1时,可得切点 (1,2)
所以| 1| + | 2| = 2√ 2 + 2,
即椭圆的2 = 2√ 2 + 2 = √ 2 + 1,
| |
又因为 = 1 2 = 1,
2
1
所以椭圆的离心率 = = = √ 2 1
√ 2+1
第 5页,共 9页
17.【答案】解:(1)设 1 =“上学时选择 路线”, 1 =“上学时选择 路线”, 2 =“放学时选择 路线”,
则 1与 1互斥,
根据题意得 ( 1) = ( 1) = 0.5,
( 2| 1) = 0.6, ( 2| 1) = 0.8,
由全概率公式,得
( 2) = ( 1) ( 2| 1) + ( 1) ( 2| 1) = 0.5 × 0.6 + 0.5 × 0.8 = 0.7,
所以小明放学时选择 路线的概率为0.7;
( ) ( ) ( | ) 0.5×0.8 4
(2)由(1)得 ( | 2 1 1 2 11 2) = = = = , ( 2) ( 2) 0.7 7
4
所以已知小明放学时选择 路线,上学选择 路线的概率为 .
7
18.【答案】解:(1)由题意可得 2 = (√ 3 )2
2
+ sin2 = 4 2 , = cos2 + sin2 = 1,
由| | = |
1
|,可得4 2 = 1,即sin2 = .
4
1
∵ ∈ [0, ],∴ = ,即 = .
2 2 6
(2) ∵函数 ( ) = = (√ 3 , ) ( , )
= √ 3 + sin2
√ 3 1 2 1
= 2 + = sin(2 ) + .
2 2 6 2

∈ [0, ] 5 ,∴ 2 ∈ [ , ],
2 6 6 6
1 1 3
∴当2 = ,sin(2 ) + 取得最大值为1 + = .
6 2 6 2 2 2
19.【答案】解:(1)因为在数列{ }中,4
2
= + 4 ,
所以 1 = 1 = 2.
因为4 2 +1 = +1 + 4( + 1),
所以4 2 2 2 2 +1 = 4 +1 4 = +1 + 4,即( +1 2) = .
又因为 +1 > ≥ 1 = 2,所以 +1 2 = ,即 +1 = 2,
所以数列{ }是首项为2,公差为2的等差数列,其通项公式为 = 2 .

(2)由(1)得 +1 = 2 , 2
1 2 1
所以 =
21
+ + + + , ①
22 2 1 2

1 1 2 1
= + + + + , ② 2 22 23 2 2 +1
第 6页,共 9页
1 1 1 1
由 ① ②,得 = ( 1 + 2 + + ) 2 2 2 2 2 +1
1 2+
= 1 = 1 ,
2 2 +1 2 +1
+2
所以 = 2 . 2
20.【答案】解:(1)证明:连接 ,交 于点 ,连接 , ,
如图所示:
由 = ,得 ⊥ ,
因为平面 ⊥平面 ,平面 ∩平面 = , 平面

所以 ⊥平面 ,
由 ⊥平面 , 平面 ,得 ⊥ ,
又因为四边形 是正方形, ⊥ ,且 ∩ = , 平
面 , 平面 ,
所以 ⊥平面 ,
得 // ,
故 A, , , 四点共面;
(2)因为 ⊥平面 , , 平面 ,
所以 ⊥ , ⊥ ,
又四边形 是正方形,所以 ⊥ ,
则 , , 两两垂直,
以点 为坐标原点,以 , , 方向分别为 轴, 轴, 轴建立空
间直角坐标系 ,如图所示:
因为 // , 平面 , 平面 ,所以 //平面

而 平面 ,且平面 ∩平面 = ,故 // ,
由(1)知, // ,
故四边形 为平行四边形,
1
得 = = = 1,
2
由于 // , // ,
所以 // ,又 ⊥平面 ,
所以 ⊥平面 ,
第 7页,共 9页
故 F(0,1,1), (0,0,2), (1,1,0), (1,0,0),
则 = (0,1, 1), = (1,0, 1), = (1,0, 2), = (0,1,0),
设平面 的法向量为 = ( , , ),
由{
· = 0 = 0,得{ ,令 = 1,得 = (1,1,1),
· = 0 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , ),
由{
· = 0 2 = 0,得{ ,令 = 1,得 = (2,0,1),
· = 0 = 0
| · | 2+1 √ 15
则|cos < , >| = = = ,
| |·| | √ 3×√ 5 5
故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为√ 15.
5
1
21.【答案】解:(1)当 = 1时, ( ) = ln ,则 ′( ) = 1 ,

故切线的斜率 = ′(1) = 0.
又 (1) = 1.
所以函数 ( )在(1, (1))处的切线方程为: = 1.
′ 1 1(2)由 ( ) = ln ,得 ( ) = = ,

①当 ≤ 0时, ′( ) < 0, ( )在[1,2]上单调递减;
1
②当0 < ≤ 时, ′( ) ≤ 0, ( )在[1,2]上单调递减;
2
1 1
③当 < < 1时,令 ′( ) = 0,得 = ,
2
1 1
当1 ≤ < 时, ′( ) < 0, ( )在[1, )上单调递减;

1 1
当 < ≤ 2时, ′( ) > 0, ( )在( , 2]单调递增;

④当 ≥ 1时, ′( ) ≥ 0, ( )在[1,2]上单调递增;
1
综上:当 ≤ 时, ( )在[1,2]上单调递减;
2
1 1 1
当 < < 1时, ( )在[1, )上单调递减,在( , 2]上单调递增;
2
当 ≥ 1时, ( )在[1,2]上单调递增.

22.【答案】解:(Ⅰ)由题意可知 = √ 3,又焦点( , 0)到√ 3 ± = 0的距离为
√ 3
= √ 3,所以 = 2, 2
所以 2 + 2 = 4,解得 = 1, = √ 3,
2
所以 的方程为 2

= 1.
3
第 8页,共 9页
(Ⅱ)假设存在实数 满足题意.
由题意知直线 斜率不为0,可设直线 的方程为 = 2,
设 ( 1, 1), ( 2, 2),
3 2 2 = 3
联立方程{ ,得(3 2 1) 2 12 + 9 = 0,
= 2
3 2 1 ≠ 0
= 144
2 36(3 2 1) > 0
可得 12 1 + 2 =
,
3 2 1
9
{ 1 2 = 3 2 1

直线 : = 1 ( 1),直线 : = 2 ( 1) , 1 1 2 1

当 = 时,可得 ( , 1 ( 1)), ( , 2 ( 1)) 1 1 , 1 2
若| + | = | |,则 = 0,

可得( + 2, 1 ( 1)) ( + 2, 2 ( 1)) = 0 1 1 2 1


即( + 2)2 + 1 2 ( 1)2 = 0 1 1 2 1

因为( 1 1)( 2 1) = 1 2 ( 1 + 2) + 1 = ( 1 2)( 2 2) ( 1 2 + 2 2) + 1 =
2 1 2
9
3 ( 1 + 2) + 9 = 3 2

1
1
所以( + 2)2 ( 1)2 = 0,可得 = ,
2
1
所以存在实数 = 满足题意.
2
第 9页,共 9页
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