重庆市重点中学校2022-2023学年高二下学期5月期中考试
数学测试试题卷（答案）
一、单选题：1--4：ABDC 5-8:CDCA
8.,
,
设，
当时，，故，
所以在上递增，所以
当时，
故选：A
二、多选题： 9.AD 10.BC 11.ACD 12.ACD
12.由图知，要使小兵、小明到科技博物馆的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，
A：小明到科技博物馆需要向上4格，向右5格，即小明共走9步其中4步向上，最短路径条数为条，正确；
B：小兵到科技博物馆需要向上1格，向右2格，即小兵共走3步其中1步向上，所以最短路径条数为条，错误；
C：小明到的最短路径走法有条，再从F处和小兵一起到科技博物馆的路径最短有3条，而小明到科技博物馆共有条，所以到F处和小兵会合一起到科技博物馆的概率为，正确；
D：由题意知：，事件的概率，所以，正确
故选：ACD
三、填空题：13. 14. 15. 16.
16.
四、解答题
17.（1） 当时，
............................................................................................5分
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，故是的真子集
，由于等号不能同时成立，故......................................10分
18.（1），
，故与的线性相关性很强...................................................................4分
从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2）
故，.........................................................................7分
所以，
所以关于的回归方程为，....................................................10分
将2025年对应的年份编号代入回归方程得
所以我国2025年的新生儿数量约为472.7万人.........................................................12分
19.（1）由条件知，，故
双曲线方程为................................................................................5分
（2）设到直线的距离为
于是
又，故
而...................................................................................7分
故弦长，
又 故..........................................................................12分
20.（1）由条件知，，且
故， 所以是首项为3，公比为3的等比数列
.....................................................................6分
（2）在中令得，，又
由得：
两式相减得： ①
当时，由①可得： ②
①—②：对任意的都成立
故是等差数列，首项是3，公差是
从而............................................................................................................12分
21.（1）由题知，抽到一级口罩的频率为0.25，，故.....4分
（2）按分层抽样抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为，，
故可能的取值为0，1，2，
.........................................6分
的分布列为
0 1 2
.........................................................................................................8分
（3）设甲乙抢购成功的订单总数量为，由题知，可能的取值为0，1，2
；
；
，
所以
因为，所以....................................................10分
令，设，则，
因为，
所以当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，故当，即时，取最大值，
所以，所以取最大值时，正整数...................................................12分
22.（1），因为
故当时，在上恒成立；
当时，令得：， 令得：
综上当时，的增区间为；当时，的增区间为，减区间为.
.........................................................................................................................................5分
（2），定义域为
令，
当时，，故在上单调递增，
又
故当时，恒成立，
当时，恒成立，且
综上，在上单调递增，
又，故在上只有1个零点.......................................................7分
当时，在上单调递增，
令，则在上恒成立
所以在上单调递增，故，故
所以存在唯一，使得，即
当时，，故
当时，，故
当时，，故
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
因为
所以当时，在上只有1个零点，.......................................................................................9分
当时，在上单调递增
因为
所以存在唯一，使得，即
当时，，故
当时，，故
当时，，故
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
因为
所以当时，恰有1个零点，
当时，
，令，解得：
所以
令，则
所以在上单调递增， 故
所以
故当时，无零点
当时，在上只有1个零点
综上，当时，函数在上只有1个零点......................................................12分秘密★启用前 【考试时间：5月12日8:00-10:00】
重庆市重点中学校2022-2023学年高二下学期5月期中考试
数学测试试题卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本卷或者草稿纸上无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“”的否定为
A. B.
C. D.
2．设，则
A. B. C. D.
3．右图是根据某班学生体育测试成绩画出的频率分布直方图，由直方图得到的中位
数为
A. B. C. D.
4．某学校为举行校园艺术节活动，共有个节目，要求节目不排在最后且节目相邻，则节目安排的方法总数为
A. B. C. D.
5．已知抛物线，直线交该抛物线于两点．若线段的中点坐标为，则直线斜率为
A. B. C. D.
6．已知函数有两个极值点， 则实数的取值范围是
A. B. C. D.
7．已知，则的最小值是
A. B. C. D.
8．已知随机变量的分布列服从，记，在上
的最大值为，若正整数满足，则和的大小关系是
A. B. C. D.无法确定
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列结论中，所有正确的结论是
A.当时， B.若时，
C.若，则 D.当时，的最小值为
10．下列说法中，正确的命题有
A．已知随机变量服从正态分布，，则
B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则 的值分别是和0.3
C．8个完全相同的球放入编号为1，2，3的三个空盒中，要求放入后3个盒子均不空且数量均不同，则有12种放法
D．若样本数据的方差为2，则数据的方差为
11．已知某一物品的单件回收费为，根据以往回收经验可得，随机变量的分布列如图所示，
其中结论正确的是
A．
B．若该物品4件，其中2件单件回收费为2的概率为
C．若该物品4件，单件回收费不为0的件数为，则
D．当时，取得最小值
12．小明与小兵两位同学计划去科技博物馆参加活动．小明在如图的街道E
处，小兵在如图的街道F处，科技博物馆位于如图的G处，则下列说
法正确的是
A．小明到科技博物馆选择的最短路径条数为126条
B．小兵到科技博物馆选择的最短路径条数为4条
C．小明到科技博物馆在选择的最短路径中，与到F处和小兵会合一起到科技博物馆的概率为
D．小明与小兵到科技博物馆在选择的最短路径中，两人约定在科技博物馆门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：从F到科技博物馆两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一个袋子中装有大小和质地均相同的3个黑球和和2个白球，则从中摸出2个球恰好是1个黑球和1个白球的概率为 .
14．若随机变量，且，则的值是 .
15．有两个分类变量和，其中一组观测值为如下的列联表：
其中均为大于的整数，则 时，在犯错误的概率不超过的前提下为“和之间有关系”.附：
16．某靶场有两种型号的步枪可供选用，其中甲使用两种型号的步枪的命中率分别为.现在两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲首先使用种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记为射击的次数，则 .
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知集合和非空集合
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
18.（12分）
根据国家统计局统计，我国2018—2022年的新生儿数量如下：
年份编号 1 2 3 4 5
年份 2018 2019 2020 2021 2022
新生儿数量（单位：万人） 1523 1465 1200 1062 956
（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合新生儿数量与年份编号的关系，请用相关系数说明相关关系的强弱；（，则认为与线性相关性很强）
（2）建立关于的回归方程，并预测我国2025年的新生儿数量.
参考公式及数据：
.
19.（12分）
已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上，且.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线交于两点，若的面积为，求正实数的值.
20.（12分）
已知正项数列满足：；为数列为的前项和，，对任意的自然数，恒有.
（1）求数列的通项公式及其前项和；
（2）证明：数列是等差数列，并求其通项公式.
21.（12分）
在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：， ，，， ，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．
（1）将上述质量检测的频率视为概率，现从该工厂此类口罩生产线上生产出的大量口罩中，采用随机抽样方法每次抽取1个口罩，抽取8次，记被抽取的8个口罩中一级口罩个数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的方差；
（2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及数学期望；
（3）在2023年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在 两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲、乙两人抢购成功的口罩总数量为 ，求当的数学期望取最大值时正整数的值．
22.（12分）
已知函数.
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）若，当时，判断函数的零点个数.
