实践与探索问题2[下学期]
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文档简介
本案例被评为省案例评比一等奖
能发现图形中的等量关系吗
————“实践与探索问题2”案例
一、背景介绍
数与形是世上万物的共同存在形式，因此反映数与形的数学，现实世界中无处不在，无处不用。“实践与探索问题2”是华师大版《数学》七年级（下）第七章“二元一次方程组”中的第三节内容，它通过对由相同大小的长方形拼成的图形中等量关系的探究，旨在培养学生各种能力，使学生体验数学活动中充满着探索性和创造性。由于所教班级学生基础一般，独立思考与创新能力缺乏，因此通过这样一个极富课改意味又极具挑战性的课题教学，有利于转变学生课堂学习方式，逐步养成“用数学”的良好习惯。
二、情景描述
1、拼一拼、想一想，思维全面很重要
在悦耳的音乐铃声后，我微笑着问：“同学们手中有三个完全一样的小长方形，它们的长和宽分别为10cm和5cm，你能否利用它们拼成一个大长方形呢？”话音刚落，学生就迫不及待动起手来。“下面请展示你们的拼法，好吗？”我巡视了一遍后说。学生纷纷举手，我请学生1回答，他给出了图1、图2两种答案（其实我心中早已有数），“我还有其它拼法。”有些同学拼命举手喊着，因为他们拼出了图3的形状，“你们的思考很全面。”我给予肯定。“现另有四个相同的小长方形，请你们想想看，它们可以拼出几个不同的大长方形？”我提高嗓门问。
考虑到问题趋于复杂，我先让学生独立思考各种可能的拼法，并画出草图，然后再互相探讨，交流的场面显得很热闹，原来他们有着不同的答案，问题的焦点集中在横竖混放能否拼成大长方形，有的说行，有的说不行，争论不休，于是我拿出两组长方形，请他们上来拼，结果“说行的”却拼出了图8的形状，而说“不行的”拼出了图7的形状，“为什么会这样呢？”我提出了疑问，“究竟有几种拼法呢？”思考后学生从分类的角度回答了问题，我感到他们的思维在变广，他们的眼光在变远（从形到数）
“老师还有一个问题想考考同学们，”我继续说，“若将长是宽3倍的四个相同的长方形拼成一个大长方形，那么大长方形的周长有几种不同的值？”
“四种。”几乎所有的同学异口同声地回答，看起来定势思维对学生的影响很大啊！
“不对。”我郑重其事地向学生宣布，学生睁大眼睛朝我看着，是“很不相信”的眼神，迷惑之后他们开始思索，但由于缺乏数形间的转化能力，还是显得不知所措。
我开始引导学生，让他们注意小长方形的长与宽的关系，如果设小长方形的宽为x，则它的长为多少？拼成的大长方形的周长呢？
经这一点拨，学生的思维马上活跃起来，很快他们得出图6、图7中的大长方形的周长都是14x，而其它两种分别为16x和26x。用数解形，引课成功。
2、找一找、比一比，数形结合在其中
“现设小长方形的长为x，宽为y，图7中x、y的关系可以用怎样的一个等式来表示呢？”
“将图8继续往下拼，得图9中的大长方形，则x、y应满足怎样的一个等式？”
我逐渐地将问题重心转移到寻找图形中的等量关系上来。
“图9中大长方形的周长、面积你能用含x、y的代数式表示吗？看谁的表示方法多？”
一听比赛，学生就来劲，拼命的找起来，过了一会儿，他们争先恐后的上台展示自己的结论，场面虽有点乱，但营造的却是民主的、开放的课堂氛围。
“图9中根据长相等可得3x=5y，那么根据其它的等量你还能得出另外的等式吗？”
学生陷入沉思，虽然得出了周长、面积的一些不同表达式，但据此列出方程，学生还不太习惯，在我耐心的启发下，学生终于找出一些等式：5x(x+y)=8xy，3x(x+y)=8xy……”
“刚才拼图的时候，我们使用了八个完全一样的小长方形，现在同样是这八个小长方形，老师还有一种拼法（如图10），请同学们仔细观察，从中你又能得出哪些结论？”我又在变化问题。
考虑到图形相对复杂，我先让学生自主探索，再进行合作交流，同时开展小组之间竞争。
交流的气氛是积极的，不久学生得出了很多结论，结合这些结论我开始问：
“你们发现了八个小长方形拼成了一个大正方形，中间小空也是正方形，那它们为什么是正方形呀？”
学生面面相觑，左顾右盼的，看来他们还没有考虑过这个问题，于是我趁热打铁：“你们再讨论一下看，这是为什么？”几个小组马上热闹起来，我也加入到讨论行列，在与学生的交流中，感觉到他们对中间小空是正方形存在的疑惑较大。的确，这是本节课的难点，若能突破这一难点对后面的问题解决是很有帮助的。
讨论后，学生2开始发言：“因为中间的小空，每条边长都是2y-x，……”
“2y-x”我顿了一下，假装很迷惑，“那请你上来解释一下”
学生指着图形线段AB所在位置说：“因为AB=2y，AC=x，所以BC=2y-x，同样道理，小空的另外三边都是2y-x。”太精彩了，全班响起热烈的掌声。
接着，我指着黑板上学生写出的等式说：“请解释一下依据好吗？”
“因为八个小长方形拼成一个大长方形，所以它们的面积相等。“写出该结论的同学很自信的说。
“对吗？”我反问道。
同学们又开始争论起来，不久有同学站出来说：“不对，因为大正方形是由八个小长方形和中间一个小正方形拼成的，因此我认为应该是。”
“说得太好了”，全班再一次响起了热烈的掌声。
3、列一列、算一算，数学建模是关键
“现在老师增加一个条件：如果中间小正方形的边长为2cm，你能求出小长方形的长与宽吗？”
同学们开始思索，表情有些凝重，似乎找不到方法，随着时间的流逝，我心里有些着急，但我又不能直接告知答案，于是我就试探性的问了几位同学。
他们有的列出方程，也有的想到了一个方程组，但均表示求不出x、y的值。
令人欣慰的是虽然学生没有求出答案，但他们给出了解决问题的思路，我随即表示了赞许，并顺势作了一连串的引导：
“根据前面所学知识，要求x、y，我们可以想到什么？”
“列出一个方程行吗？列出方程组一定能求出x、y吗？”
“根据图9、图10中的等量关系，如何列出一个你们会解的方程组？”
学生们开始了新的思考，一人不行，几人合作，气氛相当活跃。终于他们找出了一个关键的方程：2y-x=2，有的欣喜若狂，有的恍然大悟。学生经历了此过程，必将体会到数学的应用价值，领悟数学建模思想。
“想不想检验一下自己的学习效果，老师还有两个问题等着你来解决呢。”我又开始激励学生。
问题1：如图11，用八块相同的小长方形地砖拼成一个大
长方形地面，如果每平方米地砖的价格是30元，则购买地砖需多少钱？
问题2：将一个正方形分成八个大小一样的长方形，你有哪些分法，方法越多越好。
教室里出奇的安静，学生为了证明自己，他们的学习变得更积极、更投入。
由于有了解决前面问题的实践经历，学生在考虑问题时显得不那么盲目了，大部分学生能独立完成问题1，对于问题2学生画出很多分法，其中不乏有创意的，像图12、图13等，很多学生课后还在认真寻找分法，将课堂学习延伸到课外，这不正是我们教学所需要的吗？
三、教学反思
1．新课程标准对本节课的要求不仅仅是让学生会求小长方形的长和宽，更主要的是让学生在自主学习的过程中去寻找实际问题中的等量关系，从而让学生学会应用二元一次方程组的知识去解决生活中的问题，经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，渗透数形结合思想，进一步感知方程组的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力。我觉得本节课基本实现了教学目标。
2．新课标注重情景创设，课前的导入是一节课的前奏，为了从上课伊始就能“抓住”学生，唤起学生的学习欲望，通过反复琢磨，我决定利用简单的拼图开放题开始教学，由于问题的可操作性和答案的多样性，上课时确实能够马上吸引学生的注意力，另外在此基础上展开教学，将拼图逐渐复杂化，既保证了学生学习中的新鲜感与好奇心，也符合循序渐进的教学原则，有利于问题的突破，从而使教学层层推进，整堂课教起来自然流畅，学生也乐于学习，讨论、争论的场面时有出现，一定程度上达到了“探究性学习”的目的。
3．新课标强调把课堂还给学生，但并非否定教师在教学过程中的重要作用，我认为在课改中教师更应突出其主导作用，就拿这节课来说，教本只提供一个素材，教师怎样设计教学过程，使之成为一堂有价值的探究课，而并非是简单的列方程组解应用题的例题课；怎样为学生的数学活动创造一个良好的学习环境，使课堂成为学生相互交流，思想开放，协商争辩的理想场合；怎样使教师成为一个真正的质疑者；怎样帮助学生自我反省，促进其内部认识结构的更新等等，教师都必须努力去思考。“不化时间万万做不到，化了时间未必能做好”，新课标对我们教师提出了更高的要求。
4．《标准》明确指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”因此在本节课的教学中，我适当采用了这种新的学习方式，从学生的发言积极性、讨论的热烈度、所得结论的多样性等来看，他们实实在在地进行着观察、猜测、验证、推理与交流等数学活动，这对提高学生从事数学活动的能力，促进自身的整体发展有着很大的帮助。但在欣喜之余也存在很多担忧，可以说学习困难生的参与是不积极的，往往出现“能者多劳”的现象，这样会导致两极分化。如何让弱势群体的学习变得更主动，是我面临的一个较大的也急需解决的难题。
5．培养学生应用数学的意识和提高解决问题的能力应该是一个渐进的、长期的过程。像本节课中，我原以为分析清楚图10中小正方形的边长为2y-x后，学生在后面解决问题时会很轻易地想到方程2y-x=2，但事实并非如此，学生将实际问题转化为合理的数学模型，还存在很多困惑，因此教学中教师需要耐心，需要多给学生提出、认识和理解问题的机会，鼓励他们从不同的角度、不同的途径来思考和解决问题，从而使学生在数学化的过程中真正实现“再创造”。
总之，反思这一节课，应该说是有得有失，得的要继续发扬，失的则要在今后的教学实践中逐步弥补，从而不断完善自我、发展自我。
图10
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能发现图形中的等量关系吗
————“实践与探索问题2”案例
一、背景介绍
数与形是世上万物的共同存在形式，因此反映数与形的数学，现实世界中无处不在，无处不用。“实践与探索问题2”是华师大版《数学》七年级（下）第七章“二元一次方程组”中的第三节内容，它通过对由相同大小的长方形拼成的图形中等量关系的探究，旨在培养学生各种能力，使学生体验数学活动中充满着探索性和创造性。由于所教班级学生基础一般，独立思考与创新能力缺乏，因此通过这样一个极富课改意味又极具挑战性的课题教学，有利于转变学生课堂学习方式，逐步养成“用数学”的良好习惯。
二、情景描述
1、拼一拼、想一想，思维全面很重要
在悦耳的音乐铃声后，我微笑着问：“同学们手中有三个完全一样的小长方形，它们的长和宽分别为10cm和5cm，你能否利用它们拼成一个大长方形呢？”话音刚落，学生就迫不及待动起手来。“下面请展示你们的拼法，好吗？”我巡视了一遍后说。学生纷纷举手，我请学生1回答，他给出了图1、图2两种答案（其实我心中早已有数），“我还有其它拼法。”有些同学拼命举手喊着，因为他们拼出了图3的形状，“你们的思考很全面。”我给予肯定。“现另有四个相同的小长方形，请你们想想看，它们可以拼出几个不同的大长方形？”我提高嗓门问。
考虑到问题趋于复杂，我先让学生独立思考各种可能的拼法，并画出草图，然后再互相探讨，交流的场面显得很热闹，原来他们有着不同的答案，问题的焦点集中在横竖混放能否拼成大长方形，有的说行，有的说不行，争论不休，于是我拿出两组长方形，请他们上来拼，结果“说行的”却拼出了图8的形状，而说“不行的”拼出了图7的形状，“为什么会这样呢？”我提出了疑问，“究竟有几种拼法呢？”思考后学生从分类的角度回答了问题，我感到他们的思维在变广，他们的眼光在变远（从形到数）
“老师还有一个问题想考考同学们，”我继续说，“若将长是宽3倍的四个相同的长方形拼成一个大长方形，那么大长方形的周长有几种不同的值？”
“四种。”几乎所有的同学异口同声地回答，看起来定势思维对学生的影响很大啊！
“不对。”我郑重其事地向学生宣布，学生睁大眼睛朝我看着，是“很不相信”的眼神，迷惑之后他们开始思索，但由于缺乏数形间的转化能力，还是显得不知所措。
我开始引导学生，让他们注意小长方形的长与宽的关系，如果设小长方形的宽为x，则它的长为多少？拼成的大长方形的周长呢？
经这一点拨，学生的思维马上活跃起来，很快他们得出图6、图7中的大长方形的周长都是14x，而其它两种分别为16x和26x。用数解形，引课成功。
2、找一找、比一比，数形结合在其中
“现设小长方形的长为x，宽为y，图7中x、y的关系可以用怎样的一个等式来表示呢？”
“将图8继续往下拼，得图9中的大长方形，则x、y应满足怎样的一个等式？”
我逐渐地将问题重心转移到寻找图形中的等量关系上来。
“图9中大长方形的周长、面积你能用含x、y的代数式表示吗？看谁的表示方法多？”
一听比赛，学生就来劲，拼命的找起来，过了一会儿，他们争先恐后的上台展示自己的结论，场面虽有点乱，但营造的却是民主的、开放的课堂氛围。
“图9中根据长相等可得3x=5y，那么根据其它的等量你还能得出另外的等式吗？”
学生陷入沉思，虽然得出了周长、面积的一些不同表达式，但据此列出方程，学生还不太习惯，在我耐心的启发下，学生终于找出一些等式：5x(x+y)=8xy，3x(x+y)=8xy……”
“刚才拼图的时候，我们使用了八个完全一样的小长方形，现在同样是这八个小长方形，老师还有一种拼法（如图10），请同学们仔细观察，从中你又能得出哪些结论？”我又在变化问题。
考虑到图形相对复杂，我先让学生自主探索，再进行合作交流，同时开展小组之间竞争。
交流的气氛是积极的，不久学生得出了很多结论，结合这些结论我开始问：
“你们发现了八个小长方形拼成了一个大正方形，中间小空也是正方形，那它们为什么是正方形呀？”
学生面面相觑，左顾右盼的，看来他们还没有考虑过这个问题，于是我趁热打铁：“你们再讨论一下看，这是为什么？”几个小组马上热闹起来，我也加入到讨论行列，在与学生的交流中，感觉到他们对中间小空是正方形存在的疑惑较大。的确，这是本节课的难点，若能突破这一难点对后面的问题解决是很有帮助的。
讨论后，学生2开始发言：“因为中间的小空，每条边长都是2y-x，……”
“2y-x”我顿了一下，假装很迷惑，“那请你上来解释一下”
学生指着图形线段AB所在位置说：“因为AB=2y，AC=x，所以BC=2y-x，同样道理，小空的另外三边都是2y-x。”太精彩了，全班响起热烈的掌声。
接着，我指着黑板上学生写出的等式说：“请解释一下依据好吗？”
“因为八个小长方形拼成一个大长方形，所以它们的面积相等。“写出该结论的同学很自信的说。
“对吗？”我反问道。
同学们又开始争论起来，不久有同学站出来说：“不对，因为大正方形是由八个小长方形和中间一个小正方形拼成的，因此我认为应该是。”
“说得太好了”，全班再一次响起了热烈的掌声。
3、列一列、算一算，数学建模是关键
“现在老师增加一个条件：如果中间小正方形的边长为2cm，你能求出小长方形的长与宽吗？”
同学们开始思索，表情有些凝重，似乎找不到方法，随着时间的流逝，我心里有些着急，但我又不能直接告知答案，于是我就试探性的问了几位同学。
他们有的列出方程，也有的想到了一个方程组，但均表示求不出x、y的值。
令人欣慰的是虽然学生没有求出答案，但他们给出了解决问题的思路，我随即表示了赞许，并顺势作了一连串的引导：
“根据前面所学知识，要求x、y，我们可以想到什么？”
“列出一个方程行吗？列出方程组一定能求出x、y吗？”
“根据图9、图10中的等量关系，如何列出一个你们会解的方程组？”
学生们开始了新的思考，一人不行，几人合作，气氛相当活跃。终于他们找出了一个关键的方程：2y-x=2，有的欣喜若狂，有的恍然大悟。学生经历了此过程，必将体会到数学的应用价值，领悟数学建模思想。
“想不想检验一下自己的学习效果，老师还有两个问题等着你来解决呢。”我又开始激励学生。
问题1：如图11，用八块相同的小长方形地砖拼成一个大
长方形地面，如果每平方米地砖的价格是30元，则购买地砖需多少钱？
问题2：将一个正方形分成八个大小一样的长方形，你有哪些分法，方法越多越好。
教室里出奇的安静，学生为了证明自己，他们的学习变得更积极、更投入。
由于有了解决前面问题的实践经历，学生在考虑问题时显得不那么盲目了，大部分学生能独立完成问题1，对于问题2学生画出很多分法，其中不乏有创意的，像图12、图13等，很多学生课后还在认真寻找分法，将课堂学习延伸到课外，这不正是我们教学所需要的吗？
三、教学反思
1．新课程标准对本节课的要求不仅仅是让学生会求小长方形的长和宽，更主要的是让学生在自主学习的过程中去寻找实际问题中的等量关系，从而让学生学会应用二元一次方程组的知识去解决生活中的问题，经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，渗透数形结合思想，进一步感知方程组的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力。我觉得本节课基本实现了教学目标。
2．新课标注重情景创设，课前的导入是一节课的前奏，为了从上课伊始就能“抓住”学生，唤起学生的学习欲望，通过反复琢磨，我决定利用简单的拼图开放题开始教学，由于问题的可操作性和答案的多样性，上课时确实能够马上吸引学生的注意力，另外在此基础上展开教学，将拼图逐渐复杂化，既保证了学生学习中的新鲜感与好奇心，也符合循序渐进的教学原则，有利于问题的突破，从而使教学层层推进，整堂课教起来自然流畅，学生也乐于学习，讨论、争论的场面时有出现，一定程度上达到了“探究性学习”的目的。
3．新课标强调把课堂还给学生，但并非否定教师在教学过程中的重要作用，我认为在课改中教师更应突出其主导作用，就拿这节课来说，教本只提供一个素材，教师怎样设计教学过程，使之成为一堂有价值的探究课，而并非是简单的列方程组解应用题的例题课；怎样为学生的数学活动创造一个良好的学习环境，使课堂成为学生相互交流，思想开放，协商争辩的理想场合；怎样使教师成为一个真正的质疑者；怎样帮助学生自我反省，促进其内部认识结构的更新等等，教师都必须努力去思考。“不化时间万万做不到，化了时间未必能做好”，新课标对我们教师提出了更高的要求。
4．《标准》明确指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”因此在本节课的教学中，我适当采用了这种新的学习方式，从学生的发言积极性、讨论的热烈度、所得结论的多样性等来看，他们实实在在地进行着观察、猜测、验证、推理与交流等数学活动，这对提高学生从事数学活动的能力，促进自身的整体发展有着很大的帮助。但在欣喜之余也存在很多担忧，可以说学习困难生的参与是不积极的，往往出现“能者多劳”的现象，这样会导致两极分化。如何让弱势群体的学习变得更主动，是我面临的一个较大的也急需解决的难题。
5．培养学生应用数学的意识和提高解决问题的能力应该是一个渐进的、长期的过程。像本节课中，我原以为分析清楚图10中小正方形的边长为2y-x后，学生在后面解决问题时会很轻易地想到方程2y-x=2，但事实并非如此，学生将实际问题转化为合理的数学模型，还存在很多困惑，因此教学中教师需要耐心，需要多给学生提出、认识和理解问题的机会，鼓励他们从不同的角度、不同的途径来思考和解决问题，从而使学生在数学化的过程中真正实现“再创造”。
总之，反思这一节课，应该说是有得有失，得的要继续发扬，失的则要在今后的教学实践中逐步弥补，从而不断完善自我、发展自我。
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