第七章二元一次方程组[下学期]
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文档简介
第7章 二元一次方程组
§7.1 二元一次方程组和它的解
一课时
教学内容：二元一次和它的解，二元一次方程组和解的意义。
检验一对数是否是方程的解。教材P24—26页的内容。
教学目标：1、理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的意义。
2、会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解。
重点、难点：重点是二元一次方程、二元一次方程组及其解的意义。
难点：列二元一次方程组
教学过程：
（一）新课引入
“我们的小世界杯”足球赛规定： 胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．“勇士”队赛了9场，共得17分．已知这个队只输2场，那么胜了几场 又平了几场呢
这就要研究有两个未知数的问题了！
让我们来看导图中的问题.
（二）探究新知
1、解答问题1
暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛.勇士队在第一轮比赛中共赛9场，得17分.
比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场？又平了几场呢？
这个问题可以算术方法来解，也可以列一元一次方程来解.
思考：问题中有两个未知数，如果分别设为x、y又会怎样呢？
探索：在下表的空格中填入数字或式子.
设勇士队胜了x场，平了y场，那么根据填表的结果可知
x＋y＝7， ①
和 3x＋y＝17. ②
由题意可知，比赛场数x、y要满足两个要求：一个是胜与平的场数，一共是7场；另一个是这些场次的得分，一共是17分.也就是说，两个未知数x、y必须同时满足①、②这两个方程.因此，把两个方程合在一起，并写成
① ②
上面我们列出的这两个方程与一元一次方程不同.每个方程都有两个未知数，并且未知项的次数都是1.像这样的方程，我们把它叫做二元一次方程.把这两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
用算术方法或者通过列一元一次方程都可以求得勇士队胜了5场，平了2场，即x=5,y=2.
这里的x=5与y=2既满足方程①，即
5＋2＝7；
又满足了方程②，即
3×5＋2＝17.
我们就说x＝5与y＝2是二元一次方程组
的解，并记作
一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
2、例2 判断x=3是不是二元一次方程x+4y=22的解。
Y=5.5
3、判断下列各组数是不是二元一次方程组2x-y=3的解。
3x+4y=10
A、x=1 B、 x=2 C、x=4 D、x=-2
Y=-1 Y=1 Y=5 Y=4
（三）课堂小结：
（四）作业：P26习题第1、2题。
（五）教学反馈：
§7.2 二元一次方程组的解法
第一课时
教学内容：代入消元法。教材第26、27页的内容。
教学目标：1、能较熟练地用代入法消元法解二元一次方程组。
2、初步理解代入肖元法体现的方程思想和转化思想。
教学重点、难点：用代入消元法解二元一次方程组的步骤。
教学过程：
（一）学前准备：
问题2：某校现有校舍20000m2，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%.若建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？（单位为m2）
做一做：如图7.1.1，画出示意图.若设应拆除旧校舍xm2，建造新校舍ym2，请你根据题意列一个方程组.
探索：我们先来回顾问题2.
在问题2中，如果设应拆除上校舍xm2，建造新校舍ym2，那么根据题意可列出方程组
①②
怎样求这个二元一次方程组的解呢？
观察：方程②表明，可以把y看作4x，因此，方程①中y也可以看成4x，即将②代入①
y＝4x
y－x＝20000×30%，
可得 4x－x＝20000×30%.
解 把②代入①，得
4x－x＝20000×30%，
3x＝6000，
x＝2000.
把x＝2000代入②，得
y =8000.
所以
答：应拆除2000m2旧校舍，建造8000m2新校舍.
从这个解法中我们可以发现：通过将②“代入”①，能消去未知数y，得到一个一元一次方程，实现求解.
（二）探究新知
试一试：用同样的方法来解问题1中的二元一次方程组.
例1 解方程组：
① ②
解 由①得
y＝7－x. ③
将③代入②，得
3x＋7－x＝17，
即 x＝5.
将x＝5代入③，得
y＝2.
所以
思考：请你概括一下上面解法的思路，并想想，怎样解方程组：
（三）课堂小结：什么是代入消元法？
（四）作业：P29练习第1—4题。
（五）教学反馈：
第二课时
教学内容：代入消元法（教材第29、30页例题及习题）
教学目标：1、能熟练地利用方程变形运用代入消元法解二元一次方程组。
2、使学生体会由二元方程转化为一元方程的化归思想。
重点、难点：代入消元法的解题步骤。
教学过程：
（一）学前准备：
1、解方程组：x+y=6 x+2y=3
y=2x y-x=0
2、若5x-10y+15=0则y= x=
（二）探究新知
1、出示例2、解方程组：
①②
分析：能不能将其中一个方程适当变形，用一个未知数来表示另一个未知数呢？
解 由①，得
③
将③代入②，得
解得 y＝-0.8.
将y＝-0.8代入③，得
x＝1.2.
所以
2、出示例题：解方程组：+ = 2 – x
4（x-4）-y=2y+1
分析：原方程组形式比较复杂，应先化简。
解：原方程组化简得：9x+2y=12
4x-3y=17
由3得：y=
把5代入4得：x=2
将x=2代入5得：y = -3
所以：x = 2
y = - 3
说明：解二元一次方程组时，一般要先整理成标准形式，以有利于解出未知数之间的表达式。
（三）课堂练习：P30练习第1题。
（四）课堂小结：代入消元法解二元一次方程组的步骤。
（五）作业：P30页练习第2题。
（六）教学反馈：
第三课时
教学内容：加减消元法解二元一次方程组（教材P30、31页的内容）
教学目标：1、掌握用加减消元法解二元一次方程组。
2、加深学生对解二元一次方程组的关键是“消元”的认识和理解。
重点、难点：
重点：加减消元法解二元一次方程组。
难点：灵活地运用加减消元法解方程组。
教学过程：
（一）学前准备
提问：1、方程的性质；
2、代入消元的目的。
3、用代入法解方程组：
（二）探究新知
例1、解方程组：： ①②
学生活动：找出1和2中未知数系数的特征；
分析：如果利用方程的性质，将1和2两边分别相加，将会消去y而转化成x的一元一次方程。
解①＋②，得
7x＝14，
x＝2.
将x＝2代入①，得
6＋7y＝9，
7y＝3，
即 y=.
所以
出示例2、解方程组： ①②
探索：
注意到这个方程组中，未知数x的系数相同，都是3.请你把这两个方程的左边与左边相减，右边与右边相减，看看，能得到什么结果？
把两个方程的两边分别相减，就消去了x，得到
9y＝-18.
y=-2.
把y=-2代入①，得
3x＋5×(-2)=5,
解得 x＝5.
这样，我们求得了一对x、y的值.通过检验，我们可以知道是原方程组的解.
思考：
从上在的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新解法吗？
概括：
在解问题1、问题2和例1、例2时，我们是通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的.这种解法叫做代入消元法，简称代入法.
在解例3、例4时，我们是通过将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程转化为一元一次方程来解的.这种解法叫做加减消元法，简称加减法.
（三）课堂小结：加减消元法的步骤。
（四）作业：P31练习第1—4题。
（五）教学反馈：
第四课时
教学内容：加减消元法解二元一次方程组（教材第32页例题及相关的内容）
教学目标：1、使学生掌握用加减消元法解二元一次方程组的方法。
2、能灵活运用加减消元法解二元一次方程组。
3、培养学生的观察能力和解题能力。
教学重点、难点：
未知数的系数绝对值不等时，用加减消元法解二元一次方程组。
教学过程：
（一）学前准备：
提问：1、加减消元法的解题思想是什么？
2、方程的特征是什么？
（二）探究新知
出示例1、解方程组 5x + 6y =11 1
3x – 2y = 1 2
启发学生分析：将2*3，就可以使y的系数成为互为相反数。
解；2*3得 9x – 6y = 3 3
1+2得： 14x = 14
x = 1
将x = 1代入1中得：y = 1
所以 x = 1
y = 1
出示例题5：解方程组：
①②
分析 设法把这个方程组变成像例3或例4那样的形式.想想看，如何才能
达到要求？
解 ①×3，②×2，得
③④
③＋④，得 19x＝114，
所以 x＝6.
把x＝6代入②，得
30＋6y＝42，
6y＝12，
即 y＝2.
所以
试一试
你在解本节例2中的方程组
时，用了什么方法？现在你会不会用加减法来解？试试看，并比较一下哪种方法更方便？
（三）课堂小结：
当方程组中某未知数的继绝对值不等时，可利用方程的性质，将系数的绝对值化为相等，再用加减消元法。
（四）作业：P33第1—4题。
（五）教学反馈：
第五课时
教学内容：二元一次方程组的解法。
教学目标：
1、使学生能灵活运用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组。
2、会解含有括号或分母的二元一次方程组。
3、培养学生的观察力和解题能力。
重点、难点：
重点：二元一次方程组的解法。
难点：灵活、简便的实现消元。
教学过程：
（一）学前准备：解下列方程组：
（二）探究新知
例1、解方程组：- = 3 1
+ = 13 2
分析方程的特征：未知数的系数是分数，可化分数为整系数。
解：方程组变形为： 4x – 3y = 36 3
3x + 2y = 78 4
解法（一），1*2，2*3得： 8x – 6y = 72 5
9x + 6y = 234 6
5+6得： 17x = 306
x = 18
把x=18代入4得，y = 12
所以 x=18
y=12
解法（二）3 – 4得，x = 5y – 42 5
把5代入4得：y = 12
把y = 12代入5得：x = 18
所以 x = 18
y = 12
说明：第二种解法中，两个方程相减，虽然没有达到消元的目的，但是却出现了一个可以用代入法消元的方程，这是一种很好的解题技巧。
例2、解方程组成 2（x – 150）=5（3y + 50） 1
10% x+ 6%y = 8.5% * 800 2
分析：此方程组比较复杂，有括号，有分母，应先化简整理。
解：化简方程组得 2x – 15 = 550 3
5x + 3y=3400 4
4*5得：25x + 15y = 17000 5
3+5得： 27x = 17500
x = 650
把x = 650代入4得 5*650 + 3y = 3400
解得 y = 50
所以 x = 650
y = 50
说明：（1）当方程组比较复杂时，应先化简，如去分母，去括号，合并同类项等。
（2）在求出一个未知数的值之后，可以将它代入化简以后的方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值。
（三）课堂练习：P34习题第1题。
（四）作业：练习册
（五）教学反馈：
第六课时
教学内容：二元一次方程组的解法和应用。
教学目标：1、灵活运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
2、能运用二元一次方程的解法解相关的问题。
3、使学生进一步提高用代数方法分析问题、解决问题的能力。
重点、难点：用二元一次方程组解相关问题。
教学过程：
（1） 学前准备
反馈小测：解方程组：（1） （2）
（2） 探究新知
例1：已知X+2Y=Y－X=2X+1求X、Y的值。
分析：根据这个连等式，可列出两个方程，而X、Y的值需满足这两个方程，所以应是求这两个方程组成的方程组的解。
例2：K为何值时，方程组 2X+3Y=11－K
X+Y=6－K
的解也是二元一次方程3X+Y=5的解。
分析：因为方程3X+Y=5的解也是方程组的解，所以可以将方程3X+Y=5中Y用5－3X表示。即Y=5－3X代入方程组中，从而消去X，得到关于X、K的二元一次方程组，解这个方程组，就可以求出K的值。
例3：已知∣X－3Y+6∣+（X+2Y+1）2=0，求X、Y的值。
分析：因为绝对值是一个非负数，平方数也是一个非负数，又它们的和等于0，所以只有当这两个数都是0 时，和才为零，即X－3Y+6=0，X+2Y+1=0，将它们组成一个二元一次方程组，就可以求出X、Y的值。
（3） 课堂练习：
1、解下列方程组：
2、 等式中，当x＝1时，y＝－2；当x＝－1时，y＝－4.求k、b的值.
（4） 课堂小结：
（5） 作业：练习册
第七课时
教学目标：
1、使学生会根据实际问题合理设未知数，初步掌握列二元一次方程的方法。
2、加深学生对二元一次方程组与现实生活之间密切关系的认识。
3、 培养学生理解问题、分析问题的能力。
重点、难点：
重点：列二元一次方程组。
难点：找等量关系。
教学过程：
（1） 学前准备
提问：1、列一元一次方程解应用题的步骤是什么？
2、 关键的步骤是什么？
3、甲数与乙数的2倍的和是6，若用两个未知数表示甲乙数，就怎么设未知数？所列方程是什么？
（二）探究新知
例6 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售.该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？
分析 问题的关键是先解答前一半问题，即先求出安排精加工和粗加工的天数.我们不妨用列方程组的办法来解答.
解 设应安排x天精加工， y天粗加工.根据题意，有
解这个方程组，得
出售这些加工后的蔬菜一共可获利
2000×6×10＋1000×16×5
＝200000（元）
答：应安排10天精加工，5天粗加工，加工后出售共可获利200000元.
归 纳
在第6章中，我们借助列一元一次方程解决了一些简单的实际问题.在这一章中，又借助列二元一次方程组解决了另一些实际问题.实际上，在很多问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题.这种处理问题的过程可以进一步概括为：
要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应该根据具体问题灵活选用.
（三）课堂练 习：第34页练习
（四）作业设计；第35页习题：2，3，4
7.3 实践与探索
第一课时
教学目标：
1、 掌握列二元一次方程组的一般步骤。
2、 能根据实际问题中的数量关系，寻找等量关系，能列二元一次方程组解应用问题。
重点、难点：
寻找等量关系，列方程组。
教学过程：
一、探究新知：
试解下列问题，与你的同伴讨论与交流.
问题1
要用20张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个.如果一个盒身和2个底盖可以做成一个包装盒，那么能否把这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？
请你设计一种分法.
想一想，如果一张白卡纸可以适当的套裁出一个盒身和一个盒盖，那么，又怎样分这些白卡纸，才能既使做出的盒身和盒盖配套，又能充分地利用白卡纸？
问题2
小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图7.3.1那样，恰好可以拼成一个大的长方形.
小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图7.3.2那样的 了一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形！
探 索
从两个图形看，问题可能与这些长方形的长、宽有关.
设长方形的长、宽分别为x mm与y mm.现在该如何着手呢？图7.3.2给我们提供了一个信息：
，
即
但这是我们还没有遇到过的方程！你有什么其他好的办法吗？
做一做
在第6章实践与探索一切提出的问题中选出一个，用本章的方法来处理，并比较一下两种方法，谈谈你的感受.
二、作业：第36页习题：1，2
小 结
第一课时
教学目标：
1、 使学生深刻理解二元一次方程、方程组以及解的意义。
2、 熟练掌握二元一次方程组的解法。
3、 使学生进一步认识到代数解法的优越性。
重点、难点：
解二元一次方程组。
教学过程：
一、知识结构
二、注意事项
1. 在实际问题中，经常会遇到有多个未知量的问题.和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一.要学会将实际问题转化为数学问题，列出二元一次方程组，最终求得符合实际的解.
2. 二元一次方程组的解法众多，但它的基本思路都是通过消元，转化为一元一次方程来解的.最常见的消元方法有代入法和加减法，一个方程组用什么方法来逐步消元、转化，应根据它的特点灵活选定.
3. 通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确作答.检验不仅要检查求得的解是否适合方程组中的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求.
二、练习
1. 填空：
（1） 在中，如果x＝1.5，那么y＝_______；如果y＝0，那么x =______;
（2） 由3x－2y＝5，得到用x表示y有式子为y＝________.
2. 解下列方程组：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （5）
三、作业：解下列方程组：
（1） （2）
第二课时
教学目标：
1、 使学生熟练掌握二元一次方程组的解法。
2、 进一步加强对应用题的理解和分析。能熟练寻找等量关系列出方程组。
重点、难点：列二元一次方程组。
教学过程：
一、解应用题：
A、B两地相距36千米.甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地.两人同时出发，4小时后相遇；6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍.求两人的速度.
3. 今年，小李的年龄是他爷爷的.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的.试求出今年小李的年龄.
4. 两块试验田去年共产共生470千克.改用良种后，今年共产花生523千克.已知其中第一块田的产量比去年增产16%，第二块田的产量比去年增产10%.这两块田改用良种前每块田产量分别为多少千克？今年每块田各增产多少千克？
5. 小明与他的爸爸一起做投篮球游戏.两人商定规则为：小明投中1个得3分，小明爸爸投中1个得1分.结果两人一共投中了20个，一计算，发现两人的得分恰好相等.你能告诉我，他们两人各投中几个吗？
6. 某检测站要在规定时间内检测一批仪器，原计划每天检测30台这种仪器，则在规定时间内只能检测完总数的；现在每天实际检测40台，结果不但比原计划提前了一天完成任务，还可以多检测25台.问规定时间是多少天？这批仪器共多少台？
7. 已知某个三角形的周长为18cm ，其中两条边的长度和等于第三条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边长度的，求这个三角形的三边长.
8. 客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长150米，货车长250米.如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需10秒钟；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需要1分40秒.求两车的速度.
9. 甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时甲先花了1小时修理工具，因此甲每小时比以前多加工10件，结果在后一段时间内，甲比乙多加工了10件，甲、乙两人原来每小时各加工多少
10. 二果问价（源于我国古代算书《四元玉鉴》）：
九百九十九文钱 甜果苦果买一千 甜果九个十一文
苦果七个四文钱 试问甜苦果几个 又问各该几个钱
二、作业：
11. 李老师去一家文具店给美术小组的30名同学买铅笔和橡皮，到了商店后发现，按商店规定，如果给全组每人都买2枝铅笔和1块橡皮，那么要按零售价计算，共需要付30元；如果给全组每人都买3枝铅笔和2块橡皮，那么可以按批发价计算，共需要付40.50元.已知铅笔每枝批发价比零售价低0.05元，橡皮每块批发价比零售价低0.10元.这家文具店每枝铅笔和每块橡皮的批发价是多少元？
12. 一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成.如果1立方米木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有5立方米木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？
§7.1 二元一次方程组和它的解
一课时
教学内容：二元一次和它的解，二元一次方程组和解的意义。
检验一对数是否是方程的解。教材P24—26页的内容。
教学目标：1、理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的意义。
2、会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解。
重点、难点：重点是二元一次方程、二元一次方程组及其解的意义。
难点：列二元一次方程组
教学过程：
（一）新课引入
“我们的小世界杯”足球赛规定： 胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．“勇士”队赛了9场，共得17分．已知这个队只输2场，那么胜了几场 又平了几场呢
这就要研究有两个未知数的问题了！
让我们来看导图中的问题.
（二）探究新知
1、解答问题1
暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛.勇士队在第一轮比赛中共赛9场，得17分.
比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场？又平了几场呢？
这个问题可以算术方法来解，也可以列一元一次方程来解.
思考：问题中有两个未知数，如果分别设为x、y又会怎样呢？
探索：在下表的空格中填入数字或式子.
设勇士队胜了x场，平了y场，那么根据填表的结果可知
x＋y＝7， ①
和 3x＋y＝17. ②
由题意可知，比赛场数x、y要满足两个要求：一个是胜与平的场数，一共是7场；另一个是这些场次的得分，一共是17分.也就是说，两个未知数x、y必须同时满足①、②这两个方程.因此，把两个方程合在一起，并写成
① ②
上面我们列出的这两个方程与一元一次方程不同.每个方程都有两个未知数，并且未知项的次数都是1.像这样的方程，我们把它叫做二元一次方程.把这两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
用算术方法或者通过列一元一次方程都可以求得勇士队胜了5场，平了2场，即x=5,y=2.
这里的x=5与y=2既满足方程①，即
5＋2＝7；
又满足了方程②，即
3×5＋2＝17.
我们就说x＝5与y＝2是二元一次方程组
的解，并记作
一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
2、例2 判断x=3是不是二元一次方程x+4y=22的解。
Y=5.5
3、判断下列各组数是不是二元一次方程组2x-y=3的解。
3x+4y=10
A、x=1 B、 x=2 C、x=4 D、x=-2
Y=-1 Y=1 Y=5 Y=4
（三）课堂小结：
（四）作业：P26习题第1、2题。
（五）教学反馈：
§7.2 二元一次方程组的解法
第一课时
教学内容：代入消元法。教材第26、27页的内容。
教学目标：1、能较熟练地用代入法消元法解二元一次方程组。
2、初步理解代入肖元法体现的方程思想和转化思想。
教学重点、难点：用代入消元法解二元一次方程组的步骤。
教学过程：
（一）学前准备：
问题2：某校现有校舍20000m2，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%.若建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？（单位为m2）
做一做：如图7.1.1，画出示意图.若设应拆除旧校舍xm2，建造新校舍ym2，请你根据题意列一个方程组.
探索：我们先来回顾问题2.
在问题2中，如果设应拆除上校舍xm2，建造新校舍ym2，那么根据题意可列出方程组
①②
怎样求这个二元一次方程组的解呢？
观察：方程②表明，可以把y看作4x，因此，方程①中y也可以看成4x，即将②代入①
y＝4x
y－x＝20000×30%，
可得 4x－x＝20000×30%.
解 把②代入①，得
4x－x＝20000×30%，
3x＝6000，
x＝2000.
把x＝2000代入②，得
y =8000.
所以
答：应拆除2000m2旧校舍，建造8000m2新校舍.
从这个解法中我们可以发现：通过将②“代入”①，能消去未知数y，得到一个一元一次方程，实现求解.
（二）探究新知
试一试：用同样的方法来解问题1中的二元一次方程组.
例1 解方程组：
① ②
解 由①得
y＝7－x. ③
将③代入②，得
3x＋7－x＝17，
即 x＝5.
将x＝5代入③，得
y＝2.
所以
思考：请你概括一下上面解法的思路，并想想，怎样解方程组：
（三）课堂小结：什么是代入消元法？
（四）作业：P29练习第1—4题。
（五）教学反馈：
第二课时
教学内容：代入消元法（教材第29、30页例题及习题）
教学目标：1、能熟练地利用方程变形运用代入消元法解二元一次方程组。
2、使学生体会由二元方程转化为一元方程的化归思想。
重点、难点：代入消元法的解题步骤。
教学过程：
（一）学前准备：
1、解方程组：x+y=6 x+2y=3
y=2x y-x=0
2、若5x-10y+15=0则y= x=
（二）探究新知
1、出示例2、解方程组：
①②
分析：能不能将其中一个方程适当变形，用一个未知数来表示另一个未知数呢？
解 由①，得
③
将③代入②，得
解得 y＝-0.8.
将y＝-0.8代入③，得
x＝1.2.
所以
2、出示例题：解方程组：+ = 2 – x
4（x-4）-y=2y+1
分析：原方程组形式比较复杂，应先化简。
解：原方程组化简得：9x+2y=12
4x-3y=17
由3得：y=
把5代入4得：x=2
将x=2代入5得：y = -3
所以：x = 2
y = - 3
说明：解二元一次方程组时，一般要先整理成标准形式，以有利于解出未知数之间的表达式。
（三）课堂练习：P30练习第1题。
（四）课堂小结：代入消元法解二元一次方程组的步骤。
（五）作业：P30页练习第2题。
（六）教学反馈：
第三课时
教学内容：加减消元法解二元一次方程组（教材P30、31页的内容）
教学目标：1、掌握用加减消元法解二元一次方程组。
2、加深学生对解二元一次方程组的关键是“消元”的认识和理解。
重点、难点：
重点：加减消元法解二元一次方程组。
难点：灵活地运用加减消元法解方程组。
教学过程：
（一）学前准备
提问：1、方程的性质；
2、代入消元的目的。
3、用代入法解方程组：
（二）探究新知
例1、解方程组：： ①②
学生活动：找出1和2中未知数系数的特征；
分析：如果利用方程的性质，将1和2两边分别相加，将会消去y而转化成x的一元一次方程。
解①＋②，得
7x＝14，
x＝2.
将x＝2代入①，得
6＋7y＝9，
7y＝3，
即 y=.
所以
出示例2、解方程组： ①②
探索：
注意到这个方程组中，未知数x的系数相同，都是3.请你把这两个方程的左边与左边相减，右边与右边相减，看看，能得到什么结果？
把两个方程的两边分别相减，就消去了x，得到
9y＝-18.
y=-2.
把y=-2代入①，得
3x＋5×(-2)=5,
解得 x＝5.
这样，我们求得了一对x、y的值.通过检验，我们可以知道是原方程组的解.
思考：
从上在的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新解法吗？
概括：
在解问题1、问题2和例1、例2时，我们是通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的.这种解法叫做代入消元法，简称代入法.
在解例3、例4时，我们是通过将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程转化为一元一次方程来解的.这种解法叫做加减消元法，简称加减法.
（三）课堂小结：加减消元法的步骤。
（四）作业：P31练习第1—4题。
（五）教学反馈：
第四课时
教学内容：加减消元法解二元一次方程组（教材第32页例题及相关的内容）
教学目标：1、使学生掌握用加减消元法解二元一次方程组的方法。
2、能灵活运用加减消元法解二元一次方程组。
3、培养学生的观察能力和解题能力。
教学重点、难点：
未知数的系数绝对值不等时，用加减消元法解二元一次方程组。
教学过程：
（一）学前准备：
提问：1、加减消元法的解题思想是什么？
2、方程的特征是什么？
（二）探究新知
出示例1、解方程组 5x + 6y =11 1
3x – 2y = 1 2
启发学生分析：将2*3，就可以使y的系数成为互为相反数。
解；2*3得 9x – 6y = 3 3
1+2得： 14x = 14
x = 1
将x = 1代入1中得：y = 1
所以 x = 1
y = 1
出示例题5：解方程组：
①②
分析 设法把这个方程组变成像例3或例4那样的形式.想想看，如何才能
达到要求？
解 ①×3，②×2，得
③④
③＋④，得 19x＝114，
所以 x＝6.
把x＝6代入②，得
30＋6y＝42，
6y＝12，
即 y＝2.
所以
试一试
你在解本节例2中的方程组
时，用了什么方法？现在你会不会用加减法来解？试试看，并比较一下哪种方法更方便？
（三）课堂小结：
当方程组中某未知数的继绝对值不等时，可利用方程的性质，将系数的绝对值化为相等，再用加减消元法。
（四）作业：P33第1—4题。
（五）教学反馈：
第五课时
教学内容：二元一次方程组的解法。
教学目标：
1、使学生能灵活运用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组。
2、会解含有括号或分母的二元一次方程组。
3、培养学生的观察力和解题能力。
重点、难点：
重点：二元一次方程组的解法。
难点：灵活、简便的实现消元。
教学过程：
（一）学前准备：解下列方程组：
（二）探究新知
例1、解方程组：- = 3 1
+ = 13 2
分析方程的特征：未知数的系数是分数，可化分数为整系数。
解：方程组变形为： 4x – 3y = 36 3
3x + 2y = 78 4
解法（一），1*2，2*3得： 8x – 6y = 72 5
9x + 6y = 234 6
5+6得： 17x = 306
x = 18
把x=18代入4得，y = 12
所以 x=18
y=12
解法（二）3 – 4得，x = 5y – 42 5
把5代入4得：y = 12
把y = 12代入5得：x = 18
所以 x = 18
y = 12
说明：第二种解法中，两个方程相减，虽然没有达到消元的目的，但是却出现了一个可以用代入法消元的方程，这是一种很好的解题技巧。
例2、解方程组成 2（x – 150）=5（3y + 50） 1
10% x+ 6%y = 8.5% * 800 2
分析：此方程组比较复杂，有括号，有分母，应先化简整理。
解：化简方程组得 2x – 15 = 550 3
5x + 3y=3400 4
4*5得：25x + 15y = 17000 5
3+5得： 27x = 17500
x = 650
把x = 650代入4得 5*650 + 3y = 3400
解得 y = 50
所以 x = 650
y = 50
说明：（1）当方程组比较复杂时，应先化简，如去分母，去括号，合并同类项等。
（2）在求出一个未知数的值之后，可以将它代入化简以后的方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值。
（三）课堂练习：P34习题第1题。
（四）作业：练习册
（五）教学反馈：
第六课时
教学内容：二元一次方程组的解法和应用。
教学目标：1、灵活运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
2、能运用二元一次方程的解法解相关的问题。
3、使学生进一步提高用代数方法分析问题、解决问题的能力。
重点、难点：用二元一次方程组解相关问题。
教学过程：
（1） 学前准备
反馈小测：解方程组：（1） （2）
（2） 探究新知
例1：已知X+2Y=Y－X=2X+1求X、Y的值。
分析：根据这个连等式，可列出两个方程，而X、Y的值需满足这两个方程，所以应是求这两个方程组成的方程组的解。
例2：K为何值时，方程组 2X+3Y=11－K
X+Y=6－K
的解也是二元一次方程3X+Y=5的解。
分析：因为方程3X+Y=5的解也是方程组的解，所以可以将方程3X+Y=5中Y用5－3X表示。即Y=5－3X代入方程组中，从而消去X，得到关于X、K的二元一次方程组，解这个方程组，就可以求出K的值。
例3：已知∣X－3Y+6∣+（X+2Y+1）2=0，求X、Y的值。
分析：因为绝对值是一个非负数，平方数也是一个非负数，又它们的和等于0，所以只有当这两个数都是0 时，和才为零，即X－3Y+6=0，X+2Y+1=0，将它们组成一个二元一次方程组，就可以求出X、Y的值。
（3） 课堂练习：
1、解下列方程组：
2、 等式中，当x＝1时，y＝－2；当x＝－1时，y＝－4.求k、b的值.
（4） 课堂小结：
（5） 作业：练习册
第七课时
教学目标：
1、使学生会根据实际问题合理设未知数，初步掌握列二元一次方程的方法。
2、加深学生对二元一次方程组与现实生活之间密切关系的认识。
3、 培养学生理解问题、分析问题的能力。
重点、难点：
重点：列二元一次方程组。
难点：找等量关系。
教学过程：
（1） 学前准备
提问：1、列一元一次方程解应用题的步骤是什么？
2、 关键的步骤是什么？
3、甲数与乙数的2倍的和是6，若用两个未知数表示甲乙数，就怎么设未知数？所列方程是什么？
（二）探究新知
例6 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售.该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？
分析 问题的关键是先解答前一半问题，即先求出安排精加工和粗加工的天数.我们不妨用列方程组的办法来解答.
解 设应安排x天精加工， y天粗加工.根据题意，有
解这个方程组，得
出售这些加工后的蔬菜一共可获利
2000×6×10＋1000×16×5
＝200000（元）
答：应安排10天精加工，5天粗加工，加工后出售共可获利200000元.
归 纳
在第6章中，我们借助列一元一次方程解决了一些简单的实际问题.在这一章中，又借助列二元一次方程组解决了另一些实际问题.实际上，在很多问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题.这种处理问题的过程可以进一步概括为：
要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应该根据具体问题灵活选用.
（三）课堂练 习：第34页练习
（四）作业设计；第35页习题：2，3，4
7.3 实践与探索
第一课时
教学目标：
1、 掌握列二元一次方程组的一般步骤。
2、 能根据实际问题中的数量关系，寻找等量关系，能列二元一次方程组解应用问题。
重点、难点：
寻找等量关系，列方程组。
教学过程：
一、探究新知：
试解下列问题，与你的同伴讨论与交流.
问题1
要用20张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个.如果一个盒身和2个底盖可以做成一个包装盒，那么能否把这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？
请你设计一种分法.
想一想，如果一张白卡纸可以适当的套裁出一个盒身和一个盒盖，那么，又怎样分这些白卡纸，才能既使做出的盒身和盒盖配套，又能充分地利用白卡纸？
问题2
小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图7.3.1那样，恰好可以拼成一个大的长方形.
小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图7.3.2那样的 了一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形！
探 索
从两个图形看，问题可能与这些长方形的长、宽有关.
设长方形的长、宽分别为x mm与y mm.现在该如何着手呢？图7.3.2给我们提供了一个信息：
，
即
但这是我们还没有遇到过的方程！你有什么其他好的办法吗？
做一做
在第6章实践与探索一切提出的问题中选出一个，用本章的方法来处理，并比较一下两种方法，谈谈你的感受.
二、作业：第36页习题：1，2
小 结
第一课时
教学目标：
1、 使学生深刻理解二元一次方程、方程组以及解的意义。
2、 熟练掌握二元一次方程组的解法。
3、 使学生进一步认识到代数解法的优越性。
重点、难点：
解二元一次方程组。
教学过程：
一、知识结构
二、注意事项
1. 在实际问题中，经常会遇到有多个未知量的问题.和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一.要学会将实际问题转化为数学问题，列出二元一次方程组，最终求得符合实际的解.
2. 二元一次方程组的解法众多，但它的基本思路都是通过消元，转化为一元一次方程来解的.最常见的消元方法有代入法和加减法，一个方程组用什么方法来逐步消元、转化，应根据它的特点灵活选定.
3. 通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确作答.检验不仅要检查求得的解是否适合方程组中的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求.
二、练习
1. 填空：
（1） 在中，如果x＝1.5，那么y＝_______；如果y＝0，那么x =______;
（2） 由3x－2y＝5，得到用x表示y有式子为y＝________.
2. 解下列方程组：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （5）
三、作业：解下列方程组：
（1） （2）
第二课时
教学目标：
1、 使学生熟练掌握二元一次方程组的解法。
2、 进一步加强对应用题的理解和分析。能熟练寻找等量关系列出方程组。
重点、难点：列二元一次方程组。
教学过程：
一、解应用题：
A、B两地相距36千米.甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地.两人同时出发，4小时后相遇；6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍.求两人的速度.
3. 今年，小李的年龄是他爷爷的.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的.试求出今年小李的年龄.
4. 两块试验田去年共产共生470千克.改用良种后，今年共产花生523千克.已知其中第一块田的产量比去年增产16%，第二块田的产量比去年增产10%.这两块田改用良种前每块田产量分别为多少千克？今年每块田各增产多少千克？
5. 小明与他的爸爸一起做投篮球游戏.两人商定规则为：小明投中1个得3分，小明爸爸投中1个得1分.结果两人一共投中了20个，一计算，发现两人的得分恰好相等.你能告诉我，他们两人各投中几个吗？
6. 某检测站要在规定时间内检测一批仪器，原计划每天检测30台这种仪器，则在规定时间内只能检测完总数的；现在每天实际检测40台，结果不但比原计划提前了一天完成任务，还可以多检测25台.问规定时间是多少天？这批仪器共多少台？
7. 已知某个三角形的周长为18cm ，其中两条边的长度和等于第三条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边长度的，求这个三角形的三边长.
8. 客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长150米，货车长250米.如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需10秒钟；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需要1分40秒.求两车的速度.
9. 甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时甲先花了1小时修理工具，因此甲每小时比以前多加工10件，结果在后一段时间内，甲比乙多加工了10件，甲、乙两人原来每小时各加工多少
10. 二果问价（源于我国古代算书《四元玉鉴》）：
九百九十九文钱 甜果苦果买一千 甜果九个十一文
苦果七个四文钱 试问甜苦果几个 又问各该几个钱
二、作业：
11. 李老师去一家文具店给美术小组的30名同学买铅笔和橡皮，到了商店后发现，按商店规定，如果给全组每人都买2枝铅笔和1块橡皮，那么要按零售价计算，共需要付30元；如果给全组每人都买3枝铅笔和2块橡皮，那么可以按批发价计算，共需要付40.50元.已知铅笔每枝批发价比零售价低0.05元，橡皮每块批发价比零售价低0.10元.这家文具店每枝铅笔和每块橡皮的批发价是多少元？
12. 一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成.如果1立方米木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有5立方米木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？