22.1 二次函数函数的图像与性质课件

课件129张PPT。第二十二章 二次函数……本章主要内容……22.1 二次函数的图像和性质22.1 二次函数的图像和性质基础回顾 什么叫函数? 在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫应变量。目前，我们已经学习了那几种类型的函数？二次函数函数知多少节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？奥运赛场腾空的篮球 正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为 问题:y=6x2亲历知识的发生和发展函数①②③有什么共同点? 观察：y=6x2① 在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项。 （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的（3 ）等式的右边最高次数为 ，可以没有一次 项和常数项，但不能没有二次项。 注意：（2）a,b,c为常数，且（4）x的取值范围是任意实数。整式。a≠0.2（5）函数的右边是一个 整 式。二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c
当c＝0时， y＝ax2＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax2 1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系
数、常数项（1） y=-x2+58x-112
（2）y=πx22、指出下列函数y=ax2+bx+c中的a、b、c（1） y=-3x2-x-1（3） y=x(1+x)（2） y=5x2-6
看谁反应快例题讲解例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)2+1 (2) y=x+
(3) s=3－2t2 (4) y=(x+3)2－x2
(5)y= －x (6) v=8π r2
思考：2. 二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？驶向胜利的彼岸你知道吗联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 ( ) (2)y=3x2 （ )
(3)y=3x3+2x2 ( ) (4)y=2x2-2x+1( )
(5)y=x-2+x ( ) (6)y=x2-x(1+x) ( )不是是不是不是是不是知识运用m2—2m-1=2 m+1 ≠0 ∴m=3例2:m取何值时， 函数y= (m+1)x
+(m-3)x+m 是二次函数？ 解:由题意得
一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例函数 y=kx(k≠0),
反比例函数y= (k≠0) ，
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。小结：现在我们学习过的函数有: 可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函数表达式与自变量的关系。想一想例题讲解解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 　时是正比例函数。（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 时是反比例函数。（３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
2. n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的关系式.随堂练习S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2 即随堂练习4.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0
C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数B CC 一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。 xm y m2 xm （40-2x ）m解：由题意得： Y=x(40-2x)即：Y=-2x2+40x(0 ＝192（m2）生活问题数学化 多边形的对角线数d与边数n有什么关系？问题2: 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作 条
对角线.n(n-3) 因为像线段MN与NM那样,连接相同两顶点的对角线是同一条对角线,所以多边形的对角线总数
MN即 在实践中感悟
横看成岭侧成峰，远近高低各不同
——变换角度分析问题
若函数y=x2m+n － 2xm-n+3是以x为自变量的二次函数，求m、n的值。① ② ③ ④ ⑤∵2m+n=2
m-n=1 ∴ m=1
n=0∵∴2m+n=1
m-n=2m=1
n=-1
∵∴2m+n=2
m-n=2m=4/3
n=-2/3∵∴2m+n=2
m-n=0m=2/3
n=-4/3∵∴2m+n=0
m-n=2m=2/3
n=2/322.1 二次函数的图像和性质知识回顾1、一次函数的图像有何特征？ 一次函数的图像是一条 。
当 时，y随x的增大而增大；
当 时，y随x的增大而减小。2、反比例函数的图像有何特征？反比例函数的图像是 ，共有 支，且关于 对称。
当 时，图像在 象限，在每个象限内y随x的增大而减小；
当 时，图像在 象限，在每个象限内y随x的增大而 。直线双曲线两原点增大一、三二、四 k>0 k>0 k<0 k<03、画函数图像的基本步骤是：

、 、 。 列表 描点 连线知识回顾…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像
y=ax2 +k 的函数图像
y=a(x-h)2的函数图像
y=a(x-h)2 +k 的函数图像
y=ax2+bx+c 的函数图像…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像
y=ax2 +k 的函数图像
y=a(x-h)2的函数图像
y=a(x-h)2 +k 的函数图像
y=ax2+bx+c 的函数图像画形如y=ax2的函数图像： 1、画函数y=x2的图像； 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：9411049-3-2-10123描点,连线y=x2二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c思考：这个二次函数图象有什么特征？（1）形状是开口向上的抛物线（2）图象关于y轴对称 （3）有最低点，没有最高点 y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点． 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．思考：这个二次函数图象有什么特征？（1）形状是开口向上的抛物线（2）图象关于y轴对称 （3）有最低点，没有最高点 例1 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．解：分别填表，再画出它们的图象，如图函数 的图象与函数 y=x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴不同点：a 要越大，抛物线的开口越小． 你画出的图象与图中相同吗？－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5对比抛物线，y=x2和y=－x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=－ax2呢？一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是_____，顶点是______．
当a>0时，抛物线的开口______，顶点是抛物线的最______点，a越大，抛物线的开口越_______；
当a<0时，抛物线的开口_______,顶点是抛物线的最________点，a越大，抛物线的开口越_________．向下高大练习：
函数 的图象是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口方向是 .
y轴原点向上低小
3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表． 向上向下y轴y轴(0，0)(0，0)|a|越大开口越小， |a|越小开口越大。反馈测试抛物线y=4x2中的开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 .
抛物线 y= - x2 的开口方向是 ，顶点坐标是 ， 对称轴是 .
3. 二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a= .…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像
y=ax2 +k 的函数图像
y=a(x-h)2的函数图像
y=a(x-h)2 +k 的函数图像
y=ax2+bx+c 的函数图像1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝2x2当x＝______时， y有最______值，其最______值是______。课前复习2、二次函数 y=2x2 、 的图象与二次函数 y=x2 的图象有什么相同和不同？ a＞0a＜03、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表． 向上向下y轴y轴(0，0)(0，0)4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法来研究这个问题？画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象，并加以比较 （1）二次函数 y=2x2＋1 的图象与二次函数 y=2x2 的图象有什么关系？（0，1）（0，1）问题1：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?2、函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。 1、函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝ 2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系?你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗?
完成填空：
当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．
以上就是函数y＝2x2＋1的性质。﹥0﹤0=0小小1（2）二次函数 y=3x2－1 的图象与二次函数 y=3x2 的图象有什么关系？（0，-1） a＞0(3)在同一直角坐标系中画出函数
的图像y在同一直角坐标系中画出函数
的图像a＜0（0，2）（0，-2）试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表． 向上向下y轴y轴(0，k)(0，k)|a|越大开口越小，反之开口越大。练习
1.把抛物线 向下平移2个单位，可以得到抛物线 ，再向上平移5个单位，可以得到抛物线 ；
2.对于函数y= –x2+1，当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数取得最 值,为 。＜0＞0=0大03.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( )
A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状
4.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x2，y2 )且x1＜x2＜0，则y1 y2(填“＜”或“＞”)
5.已知抛物线 ，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？C…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像
y=ax2 +k 的函数图像
y=a(x-h)2的函数图像
y=a(x-h)2 +k 的函数图像
y=ax2+bx+c 的函数图像二次函数y=ax2+k的性质开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
k>0k<0k<0k>0(0,k)探究解:列表画出二次函数 、 的图像,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.-2…0-0.5-2-0.5-8…-4.5-8…-2-0.50-4.5-2…-0.5x=－1讨论抛物线 与 　　　　 的开口方向、对称轴、顶点?抛物线 与
抛物线
有什么关系? 讨论向左平移1个单位归纳向右平移1个单位练习在同一坐标系中作出下列二次函数:观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.顶点(0,0)顶点(2,0)直线x=－2直线x=2向右平移2个单位向左平移2个单位顶点(－2,0)对称轴:y轴
即直线: x=0练习在同一坐标系中作出下列二次函数:观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.向右平移2个单位向右平移2个单位向左平移2个单位向左平移2个单位一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:(1)对称轴是x=h;(2)顶点是(h,0).（3）抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.h>0，向右平移;h<0，向左平移归纳二次函数y=a（x-ｈ）2的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小直线ｘ＝ｈ顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减h>0h<0h<0h>0(ｈ,0)练习y=-2（x+3）21、说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？y=2（x-3）2y=-2（x-2）2y=3（x+1）22、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的顶点移到原点，则下列平移方法正确的是（ ）
A、向上平移2个单位
B、向下平移2个单位
C、向左平移2个单位
D、向右平移2个单位C3、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，抛物线是最 点，
当x= 时，y有最 值，其值为 。
抛物线与x轴交点坐标 ，与y轴交点坐标 。 向上直线x=3（3，0）低3小0（3，0）（0，36）4.用配方法把下列函数化成y=a（x-h）2的形式，并说出开口方向，顶点坐标和对称轴。5、按下列要求求出二次函数的解析式：
（1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点
（-3，2）（-1，0）求该抛物线线的解析式。（2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析式。（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像经过点（2，-2）与（-1，-8）。求此函数解析式。向上直线x=-3( -3 , 0 )直线x=1直线x=3向下向下( 1 , 0 )( 3, 0)知识巩固小结3.抛物线y=ax2+k有如下特点:当a>0时, 开口向上;当a<0时,开口向上.(2)对称轴是y轴;(3)顶点是(0,k).抛物线y=a(x－h)2有如下特点:(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上;(2)对称轴是x=h;(3)顶点是(h,0).2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到. 抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.(k>0,向上平移;k<0向下平移.)(h>0,向右平移;h<0向左平移.)1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2的形状完全相同,开口方向一致;(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下;如何平移：…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像
y=ax2 +k 的函数图像
y=a(x-h)2的函数图像
y=a(x-h)2 +k 的函数图像
y=ax2+bx+c 的函数图像在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．观察图象,回答问题(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? (2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？在同一坐标系中,作出二次函数y=3x2, y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.根据图象回答问题：三个图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?对称轴仍是平行于y轴
的直线x=1;增减性与
y=3x2类似. 顶点是(1,2).二次函数y=3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
上平移2个单位后得到的.开口向上,当
X=1时有最小
值:且最小值=2.先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?X=1对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y=3x2类似. 顶点是(1,-2)二次函数y=3(x-1)2-2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
下平移2个单位后得到的.二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 开口向上,
当x=1时y有
最小值:且
最小值= -2.二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3(x-1)2, y=-3x2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看．X=1在同一坐标系中，作出二次函数y=-3(x-1)2+2, y=-3(x-1)2-2, y=-3x2和
y=-3(x-1)2的图象。根据图像
回答问题对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y=-3x2类似. 顶点分别是
(1,2)和(1,-2).二次函数
y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线y=-3x2先沿
着x轴向右平移1个单位,再沿直线
x=1向上(或向下)平移2个单位后
得到的.二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x2,y=-3(x-1)2有什么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向下,当x=1
时y有最大值;且
最大值=2(或
最大值=-2).想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x2,y=-3(x+1)2yX=1对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=-1);增减性与y= -3x2类似. 顶点分别是
(-1,2)和(-1,-2)..二次函数y=-3(x+1)2+2与
y=-3(x+1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向左平移1个
单位,再沿直线x=-1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x2,y=-3(x+1)2有什么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向下,
当x=-1时y有
最大值:且
最大值= 2
(或最大值= - 2).先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质. x=1一般地,由y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象:y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时,向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关. 归纳用平移观点看函数：抛物线 与抛物线 形状相同,位置不同. 二次函数 特点：归纳1.图象是一条抛物线，对称轴为直线
x=h，顶点为(h，k)。2.当a>0时，开口向上；
当x=h时，y取最小值为k;
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小,
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大.3.当a<0时，开口向下；
当x=h时，y取最大值为k;
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大,
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:　　３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢? 2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? (2)二次函数 y=-3(x-2)2+4 的图象与二次函数 y=-3x2的图象有什么关系? 2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0).
(2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴.
(3)最值不同:分别是k和0.
3.联系: y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.2.填写下表:…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像
y=ax2 +k 的函数图像
y=a(x-h)2的函数图像
y=a(x-h)2 +k 的函数图像
y=ax2+bx+c 的函数图像 一般地，抛物线y=a(x-h) +k与y=ax 的 相同， 不同22知识回顾：形状位置 y=ax2y=a(x-h) +k2上加下减左加右减知识回顾：抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口 ，
当a﹤0时，开口 ，向上向下 2.对称轴是 ；3.顶点坐标是 。直线X=h(h,k)直线x=–3直线x=1直线x=2直线x=3向上向上向下向下（－3，5）（1，－2）（3，7 ）（2，－6） 你能说出二次函数y=—x －6x＋21图像的特征吗？212探究:如何画出 的图象呢? 我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函数 也能化成这样的形式吗?配方 y= — (x―6) +3212你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数；( 2 )“配”：括号内配成完全平方；（3）“化”：化成顶点式。归纳二次函数 y= —x －6x +21图象的
画法：(1)“化” ：化成顶点式 ；(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶
点坐标；(3)“画”：列表、描点、连线。212求次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标． 函数y=ax2+bx+c的顶点是配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号
这个结果通常称为求顶点坐标公式. 函数y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？ 1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标： 函数y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？ 对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象。方法归纳①y=2x2-5x+3③y=(x-3)(x+2)②y=－ x2+4x-9求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴请画出草图:小试牛刀3－9－6抛物线位置与系数a，b，c的关系：
⑴a决定抛物线的开口方向：
a＞0 开口向上a＜0 开口向下 ⑵ a，b决定抛物线对称轴的位置:
(对称轴是直线x = －— ) ①?a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧；
②? b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴；
③ a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧 2ab【左同右异】
⑶ c决定抛物线与y轴交点的位置：
①??c＞0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴上方；
②??c=0 ＜＝＞图象过原点；
③??c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。⑷顶点坐标是（ ， ）。
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。 当x=－ — 时,y有最大(最小)值 y= b2a______________________4a4ac－b2-1 例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示，x= 为该图象的对称轴，根
据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？ y 1..x1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的顶点都在 （ ）
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上 D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值是 （ ）
A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1CBA4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是 （ ）
A.b2-4ac>0 B. <0

C.a+b+c=0 D. >05.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ ）
A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18 B B6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 ( )7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ ）
CC二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：（五）、学习回顾：填写表格：1.相同点:
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,
在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.
a<0时,开口向下,
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 驶向胜利的彼岸回味无穷二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax2的关系2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是 和y轴.
(4)最值不同:分别是 和0.
3.联系: y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移| |个单位 (当 >0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.驶向胜利的彼岸回味无穷二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax2的关系22.1 二次函数的图像和性质1、已知抛物线y=ax2+bx+c0问题1经过点（-1,0），则___________经过点（0,-3），则___________经过点（4,5），则___________对称轴为直线x=1，则___________当x=1时，y=0，则a+b+c=_____a-b+c=0c=-316a+4b+c=5顶点坐标是（-3,4）， 则h=_____,k=______，
-3a（x+3）2+44问题22、已知抛物线y=a（x-h）2+k对称轴为直线x=1，则___________代入得y=______________代入得y=______________h=1a（x-1）2+k-x1- x2求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？（1，0）（3，0）（2，0）（-1，0）（-4，0）（-6，0）(x1,0),( x2,0)y=a(x___)(x____)
（a≠0）交点式问题3-x1- x2求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？（1，0）（3，0）（2，0）（-1，0）（-4，0）（-6，0）(x1,0),( x2,0)y=a(x___)(x____)
（a≠0）交点式问题3y=a(x-1)(x-3)（a≠0）y=a(x-2)(x+1)（a≠0）y=a(x+4)(x+6)（a≠0）已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式 已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式二次函数常用的几种解析式
一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。 解：设所求的二次函数为　解得已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5）
（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？例题∵二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（－1, 0）∴c=-3 a-b+c=016a+4b+c=5a=
b=
c=y=ax2+bx+c16a+4b=8
a-b=34a+b=2
a-b=3-3解：设所求的二次函数为　解得∴所求二次函数为y=x2-2x-3已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5）
（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？例题∵二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（－1, 0）∴c=-3 a-b+c=016a+4b+c=5a=
b=
c=1-2-3x=0时,y=-3;
x=4时,y=5;
x=-1时,y=0;y=ax2+bx+c解：设所求的二次函数为　 y=a(x-3)(x+1) 已知一个二次函数的图象过点（0, -3）
（-1,0） （3,0） 三点，求这个函数的解析式？变式1∴所求二次函数为 y=(x-3)(x+1) 即 y=x2-2x-3依题意得 -3=a(0-3)(0+1)

解得 a=1解：设所求的二次函数为　已知抛物线的顶点为（1，－4），
且过点（0，－3），求抛物线的解析式？点( 0,-3)在抛物线上a-4=-3, ∴所求的抛物线解析式为 y=(x-1)2-4变式2∵∴∴ a=1最低点为（1，-4）x=1，y最值=-4y=a(x-1)2-4解：设所求的二次函数为　已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5）
对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？变式3y=a(x-1)2+k 思考：怎样设二次函数关系式如图，直角△ABC的两条直角边OA、OB的长分别是1和3，将△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°，至△DOC的位置，求过C、B、A三点的二次函数解析式。应用迁移应用迁移(1，0)（0，3）（-3，0）达标检测（1）过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6；（2）如图所示，根据条件求出下列二次函数解析式：xy　－12O－1数学是来源于生活又服务于生活的. 小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚的横截面为抛物线，有关数据如图所示。小燕身高１．４０米，在她不弯腰的情况下，横向活动范围是多少？MNABABCABOOOABCNM已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式 已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式二次函数常用的几种解析式
一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。