12.1.1二次根式的概念 课件（23张ppt）

第十二章
二次根式
苏科版八年级数学下册
第十二章 二次根式
12.1.1 二次根式的概念
苏科版八年级数学下册
情景引入
我的眼睛就是尺
年轻人不讲武德
退！退！退！
刺客
相信下面的网红用语你已经非常熟悉了，请与对应的图片连线
情景引入
为什么你能很快地将网红用语与对应的图片联系起来？
他们之间对应的纽带是什么？
数学概念是否也有着独一无二的特征？
怎么区别和理解这些概念？
情景引入
思考： 什么叫做平方根？
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根．
思考： 什么叫做算术平方根？
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根． a 的算术平方根记为 ．
问题探知
（1）如图所示，花盆的底面是正方形，其面积为5，则它的边长是 .
（2）如果其面积为S，则它的边长是 .
（3）如图所示，一个长方形的围 栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则它的宽为 m.
（4）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单
位：s)与开始落下时离地面的高度h（单位：m)满足关系式
.如果用含有h的式子表示t,那么t为 .
问题探知
上面问题的结果分别是 ，它们表示一些正数的算术平方根.
那么什么样的数有算术平方根呢？
我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数
只能是正数或0.
上面问题的结果分别是 ，分别从形式上和被开方数上看
有什么共同特点？
①含有“ ”
②被开方数a ≥0
思考：
思考：
问题探知
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
1．被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等；
2．“ ”中一般把根指数 2 省略，写成“ ”．
两个必备特征
典例精析
例1
（1）
（2）
（3）
（4）
（5） （a≥2）
（6） （a＜b）
指出下列哪些是二次根式.
√
√
√
z
01
z
02
z
03
典例精析
思考：
为什么（5）是二次根式而（6）不是的？
当x=9时，
当x=1，9时，求二次根式 的值.
当x=1时，x-2=-1＜0，此时二次根式无意义；
思考：
典例精析
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x取何值时, 在实数范围内有意义?
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
思考：
思考：
A.x>1 B. x>-1 C.x ≥1 D.x≥-1
A
要使式子 有意义，则x的取值范围是（ ）
归纳总结
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0
若二次根式处在分母的位置，应同时考虑分母不为零
当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
前者x为全体实数；后者x为非负数.
思考：
问题探知
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：(1)∵
∴无论x为何实数， 在实数范围内有意义.
(2)∵无论x为何实数，
∴当x=3时， 在实数范围内都无意义.
例2
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，结合完全平方式的非负性进行分析讨论.
总结归纳
根式
1
2
4
3
根式有意义的条件常见题型
问题探知
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.
对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的双重非负性
被开方数非负
二次根式的值非负
典例精析
例3
当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ； （2） ； （3） ； （4）
解：（1）由 a－1≥0，得a≥1．所以当a≥1 时， 在实数范围内有意义．
（2）由 ≥0 且 3－a≠0 ，得 a＜3．
所以当 a＜3 时， 在实数范围内有意义．
（3）因为不论a为何值， ≥0 恒成立，所以 a 取任意实数
（4）由 x－4≥0，得 x≥4．由 x－6≠0，得 x≠6．
当 x≥4 且 x≠6 时， 在实数范围内有意义．
典例精析
练1
当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
　 （1） ；　　（2） ；　　（3） ；　　（4）
解：（1）由 a－7≥0，得 a≥7．当 a≥7 时， 在实数范围内有意义．
（2）由 2a＋3≥0，得 a≥ ．当 a≥ 时，在实数范围内有意义．
（3）由 －a≥0，得 a≤0．当 a≤0 时， 在实数范围内有意义．
（4）由 5－a≥0，得 a≤5．当 a≤5 时， 在实数范围内有意义．
典例精析
例4
（1）若 ，求a -b+c 的值.
解：
（1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4
所以a-b+c=2-3+4=3;
（2）由题意知，2-x≥0,且x-2≥0,联立解得x=2.
从而知y=2021,
所以x+y=2+2021=2023.
（2）设 ，试求x+y的值.
多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
典例精析
练2
已知 有意义，则点 在第几象限？
解：
由题意可知 ,解得
故
故点A在第二象限.
典例精析
练3
已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a,b满足b=4+3a?6+32?a，求此三角形的周长。
?
解：由题意得，3a-6≥0，2-a≥0，
解得，a≥2，a≤2，则a=2，
则b=4，
∵2+2=4，∴2、2、4不能组成三角形，
∴此三角形的周长为2+4+4=10.
当堂检测
1．下列各式： （a＞0），其中是二次根式的有
（　　）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．如果 是二次根式，则 x 的取值范围是（　　）
A．x≠－5 B．x＞－5
C．x＜－5 D．x≤－5
B
C
当堂检测
3．当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ；　　（2） ；　　（3） ；　　（4） ．
解：（1）由 a－7≥0，得 a≥7．当 a≥7 时， 在实数范围内有意义．
（2）由 2a＋3≥0，得 a≥ .当 a≥ 时， 在实数范围内有意义．
（3）由 －a≥0，得 a≤0．当 a≤0 时， 在实数范围内有意义．
（4）由 5－a≥0，得 a≤5．当 a≤5 时， 在实数范围内有意义．
归纳总结
二次根式
概念
含有二次根号
被开方数为非负数
有意义的条件
被开方数（式子）为非负数，
中 a≥0
双重非负性
二次根式 中，
a≥0且 ≥0