广西百色市田阳高中2022-2023学年高一下学期数学第14周测试试题（含解析）

田阳高中2022-2023学年高一下学期数学第14周测试试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数（为虚数单位），则的模等于（ ）
A． B．5 C． D．10
3．已知向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影为（ ）
A．2 B．4 C．-2 D．-4
4．圆台的上、下底面半径分别是，，圆台的高为4，则该圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
5．已知a，b为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面，则的一个充分条件是（ ）
A．， B．， C．，且 D．，，
6．如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，满足,则（ ）
A． B． C． D．
7．下列叙述中正确的是
A．若，，，则“”的充分条件是“”
B．若，，，则“”的充要条件是“”
C．是一条直线，，是两个不同的平面，若，，则
D．命题“对任意，有”的否定是“存在，有”
8．在中，内角，， 所对的边分别为 ．已知．则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么下列选项中的两条直线是异面直线的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
10．对于函数，以下结论正确的是（ ）
A．的定义域为R B．值域为R
C．是偶函数 D．在上是减函数
11．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的图像关于点对称
C．的图像关于直线对称
D．函数为偶函数
12．在中，角所对的边分别为，，，O为外接圆圆心，则下列结论正确的有（ ）
A． B．外接圆面积为
C． D．的最大值为
三、填空题
13．如图，已知水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则该三角形的面积为_________．
14．如图，为了测定河两岸点与点间的距离，在点同侧的河岸选定点，测得，，，则点与点间的距离为__________m.
15．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为______.
16．已知函数，则的解集是_________ ；
四、解答题
17．已知向量，，求：
(1)；
(2)；
(3).
18．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:
(1)平面AEC;
(2)平面AEC⊥平面PBD．
19．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）
(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
20．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知.
(1)求角B；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
21．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，侧面底面ABCD，，且二面角的大小是．
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值．
22．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间；
(3)求在区间上的最大值．
参考答案：
1．A
【分析】先化简集合A和B，再根据交集的定义求解．
【详解】由题得，，
所以.
故选：A.
2．C
【分析】先计算，再根据模长公式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：C
3．C
【分析】根据投影公式和平面向量的数量积，直接计算即可得解.
【详解】.
故选：C.
4．C
【分析】根据圆台的侧面积公式即可求解.
【详解】依题意，
因为圆台的，，且高，母线长是5，
故圆台的侧面积.
故选：C.
5．C
【分析】根据直线与平面位置关系的判定与性质，结合充分条件，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若，，则直线与平行、相交或异面，所以A不符合题意；
对于B中，若，，则直线与平行或异面，所以B不符合题意；
对于C中，若，，根据线面平行的性质定理，可得，所以“，且”是“”的充分条件，所以C符合题意；
对于D中，若，，，则直线与平行或异面，所以D不符合题意.
故选：C.
6．A
【分析】由平面向量的坐标运算列式求解，
【详解】设小方格边长为，将放入平面直角坐标系中，可得，，，
而，即，解得，
故选：A
7．C
【详解】解：逐一考查所给的选项：
若，，，则“”的充分条件是“且 ”
若，，，则“”的充分不必要条件是“”
是一条直线，，是两个不同的平面，若，，则
命题“对任意，有”的否定是“存在，有”.
本题选择C选项.
8．B
【分析】先利用余弦定理，然后利用正弦定理化简即可.
【详解】，因为，得
又因为
得
整理得
由正弦定理可得
得
得，因为
所以
所以
故选:B
9．ABD
【分析】由正方体的展开图还原成正方体，根据异面直线概念对选项逐一判断即可.
【详解】将正方体的展开图折起还原成正方体，折起以后各点的位置，如图所示，
由正方体的性质知，选项中成异面直线关系的有与，与，与，
又点B与点H重合，与相交于B点，
故选：ABD
10．ACD
【分析】根据奇偶性和解析式，画出图象，即可对各选项作出判断．
【详解】，
对于，都有意义，所以的定义域为R，
又，
为偶函数，
当时，，当时，图象与时的图象关于轴对称，作出图象，如图所示，
对于A：的定义域为R，故A正确；
对于B：由函数图象可知，，故B错误；
对于C：为偶函数，故C正确；
对于D：由函数图像可知，当时，为减函数，故D正确；
故选：ACD．
11．ABC
【分析】对A：根据图象求出解析式；对BC：求出的对称中心与对称轴验证即可；对D：求出解析式判断是否为偶函数.
【详解】对选项A，，，所以.
因为，所以，，.
又因为，所以，，.
因为，所以，即，故A正确.
对选项B，令，解得，，
所以的图像关于点对称，故B正确.
对选项C，令，解得，，
所以的图像关于直线对称，故C正确.
对选项D，，
因为，定义域为，，
所以为奇函数，故D错误.
故选：ABC
12．ACD
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合诱导公式及二倍角正弦求出角A，再利用正余弦定理、三角形面积公式、数量积运算计算判断各选项作答.
【详解】在中，由正弦定理及得：，
而，则有，即，又，，
则，所以，即，A正确；
由正弦定理得外接圆半径，该圆面积，B错误；
如图，，C正确；
由余弦定理得：，当且仅当时取等号，
因此，D正确.
故选：ACD
13．2
【分析】根据斜二测画法确定原图形，再求其面积.
【详解】由斜二测画法可得原图形为：
其中，，，
所以的面积.
故答案为：.
14．
【分析】直接利用正弦定理即可得解.
【详解】在中，，，，
则，
因为，
所以，
所以点与点间的距离为.
故答案为：.
15．
【分析】将沿翻折到与共面得到平面四边形如图1所示，设，利用余弦定理求出，将三棱锥补成长方体如图2所示，该棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出外接球的半径，即可求出其体积.
【详解】解：将沿翻折到与共面得到平面四边形如图1所示，
设，即，由题意得，
在中，由余弦定理得
即
即，解得或（舍去），
将三棱锥补成长方体如图2所示，
该棱锥的外接球即为长方体的外接球，
则外接球的半径，
所以外接球的体积.
故答案为：
16．
【分析】令，则，根据分段函数的表达式，先求出的范围，然后用替换，即可求出的范围．
【详解】令则转化为由题意解得，，当时
当时解得或
综上或
【点睛】本题主要考查函数与不等式的应用，利用换元法分别解两次不等式是解决本题的关键．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值；
（2）求出的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值；
（3）求出的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.
【详解】（1）解：因为，，则.
（2）解：因为，，则，
因此，.
（3）解：由已知可得，则.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明;
(2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.
【详解】（1）设,连接,如图所示:
因为O,E分别为,的中点,所以,
又因为平面,平面,
所以平面．
（2）连接,如图所示:
因为,为的中点,所以,
又因为四边形为菱形,所以,
因为平面,平面,且,
所以平面,又因为平面,
所以平面平面．
19．(1)
(2)百辆，最大利润为万
【分析】（1）根据题意分情况列式即可；
（2）根据分段函数的性质分别计算最值.
【详解】（1）由题意得当时，，
当时，，
所以,
（2）由（1）得当时，，
当时，，
当时，
，当且仅当，即时等号成立，
，时，，，
时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和正弦公式进行求解即可；
（2）根据三角形面积公式，结合正弦定理、正切函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）根据正弦定理由
，
因为，所以，
所以由，
因为，所以；
（2），
由正弦定理，得，
且，
∴，△为锐角三角形，
所以,解得，
∴，所以
则.
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直可得线线垂直，进而由线线垂直证明线面垂直，即可得直线与直线的垂直，
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解二面角.
【详解】（1）侧面底面ABCD，且交线为,又平面,所以底面ABCD,
由于底面ABCD,故 ,
又,平面,所以平面,
由于平面,因此,
（2）由于， ，所以即为二面角的平面角，所以，故三角形为等腰直角三角形，,
由于两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以
设平面的法向量分别为，
则 ，取 ，则，
，取 ，则，
设二面角的平面角为 ，则
，
所以二面角的正弦值为
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式化简即可得出，再由周期公式求解即可；
（2）解不等式即可得出答案；
（3）由，可得，结合正弦函数的性质即可得出答案.
【详解】（1）因为
所以的最小正周期为.
（2）因为，，
所以，.
所以的单调递增区间为.
（3）因为，所以.
当，即时，取得最大值.
所以在区间上的最大值为.