人教版2023年八年级下册第19章《一次函数》单元检测卷（含解析）

人教版2023年八年级下册第19章《一次函数》单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．我们知道，圆的周长公式是：C＝2πr，那么在这个公式中，变量是（　　）
A．C，π，r B．π，r C．C，r D．r
3．直线y＝kx+b经过点（2，0）和点（0，2），则（　　）
A． B． C． D．
4．关于一次函数y＝﹣2x+4，下列说法不正确的是（　　）
A．图象不经过第三象限 B．y随着x的增大而减小
C．图象与x轴交于（﹣2，0） D．图象与y轴交于（0，4）
5．已知正比例函数y＝（a﹣3）x的图象经过第二、四象限，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a＞﹣3 D．a＜﹣3
6．甲、乙两车从A城出发前往B城，其中甲先出发1h，如图是甲、乙行驶路程y甲（km），y乙（km）与时间x（h）变化的图象，下列说法不正确的是（　　）
A．乙车开始行驶时，甲车在乙车前60km处 B．乙车的平均速度是80km/h
C．在距离A城240km处，乙车追上甲车 D．乙车比甲车早20min到B城
7．已知正比例函数y＝（2m﹣1）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是（　　）
A． B． C．m＞1 D．m＜1
8．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系，下列说法不正确的是（　　）
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 20 20.5 21 21.5 22 22.5
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
C．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为23.5cm
D．弹簧不挂重物时的长度为0cm
9．一次函数y1＝ax+b与y2＝mx+n在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，则不等式组的解集为（　　）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜3
C．x＞3 D．以上答案都不对
10．规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3．那么函数y＝[x]的图象为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．在函数中，自变量的取值范围是 　 　．
12．已知y＝（m+3）x+3是一次函数，则m＝　 　．
13．已知一次函数y＝kx+（2﹣k）的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是 　 　．
14．小明家到学校的路程是1200米，小明从家出发，以平均每分钟70米的速度步行去上学，则他离学校的路程y（米）与行走的时间x（分）之间的关系式是 　 　．
15．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＞3的解集为 　 　．
16．如图，点A为x轴负半轴上一点，过点A作AB⊥x轴，与直线y＝x交于点B，将△ABO沿直线y＝x平移后得到△A′B′O′，若点A的坐标为（﹣2，0），点A′的横坐标为1，则平移距离是 　 　．
三．解答题（共6小题，满分46分）
17．（6分）已知直线y＝kx+2经过点M（3，﹣1），求k的值，并画出函数图象．
18．（6分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过（1，5）和（﹣1，1）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＝﹣4时，求y的值．
19．（8分）现有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游车同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲车因故停留一段时间后继续驶向景点，乙车全程以60km/h的速度匀速驶向景点．两辆车的行驶路程y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车停留前行驶时的速度是 　 　km/h，m＝　 　h；
（2）求甲车停留后继续行驶时的行驶路程y与时间x之间的函数关系式；
（3）求甲车比乙车早多少时间到达旅游景点？
20．（8分）俄乌战争仍在继续，人们对各种军用装备倍感兴趣，某商家购进坦克模型（记作A）和导弹（记作B）两种模型，若购进A种模型10件，B种模型5件，需要1000元；若购进A种模型4件，B种模型3件，需要550元．
（1）求购进A，B两种模型每件分别需多少元？
（2）若销售每件A种模型可获利润20元．每件B种模型可获利润30元．商店用1万元购进模型，且购进A种模型的数量不超过B种模型数量的8倍，设总盈利为W元，购买B种模型b件，请求出W关于b的函数关系式，并求出当b为何值时，销售利润最大，并求出最大值．
21．（9分）如图，已知直线l：y＝kx+b与x轴、轴分别交于A，B两点，且OA＝2OB＝8，x轴上一点C的坐标为（6，0），P是直线l上一点．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）连接OP和CP，当点P的横坐标为2时，求△COP的面积．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数l1：y＝x+b与l2：y＝kx+3分别经过x轴上的点B（1，0）．点C（4，0），交于点P，点D为直线l2上一点．
（1）求点P的坐标；
（2）若点D的横坐标小于点P的横坐标，连接OD，OP，当△BCP和△ODP的面积相等时，求点D的坐标；
（3）在l1上是否存在点E，使得以O，D，P，E为顶点的四边形是以OP为边的平行四边形？若存在，求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】根据函数定义判断即可．
【解答】解：对于每个x的值，都有唯一的y值与其对应才是函数，
A、B、D都不符合题意，只有C符合题意．
故选：C．
2．【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，由此即可判断．
【解答】解：圆的周长公式是：C＝2πr，那么在这个公式中，变量是C，r．
故选：C．
3．【分析】把点（2，0）和点（0，2）代入直线y＝kx+b，求出k，b的值即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+b经过点（2，0）和点（0，2），
∴，
∴．
故选：D．
4．【分析】由k＝﹣2＜0，b＝4＞0，可得图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小，再分别求解一次函数与坐标轴的交点坐标，从而可得答案．
【解答】解：∵y＝﹣2x+4，k＝﹣2＜0，b＝4＞0，
∴图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小，
故A，B不符合题意；
当y＝0时，﹣2x+4＝0，解得x＝2，
∴图象与x轴交于（2，0），故C符合题意；
当x＝0时，y＝4，
∴图象与y轴交于（0，4），故D不符合题意；
故选：C．
5．【分析】根据正比例函数的图象经过第二、四象限列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝（a﹣3）x的图象经过第二、四象限，
∴比例系数a﹣3＜0，
∴a＜3．
故选：B．
6．【分析】先分别确定函数解析式，利用解析式，结合函数图象判断即可．
【解答】解：设甲的解析式为y＝kx+b，
根据题意，得，
解得，
故甲的解析式为y＝60x+60，
∴甲车的速度为60km/h，
∵甲先出发1h，
∴乙车开始行驶时，甲车在乙车前60km/h×1h＝60km处，
故A正确，不符合题意；
当x＝3时，y＝60x+60＝240，
故乙车的速度为，
故B正确，不符合题意；
根据图象，得到乙车出发3小时追上甲车，
故在距离A城240km处，乙车追上甲车正确，
故C正确，不符合题意；
根据图象，乙车到达目的地，
故乙车比甲车早4﹣3.75＝0.25h＝15min到B城
故D错误，符合题意；
故选：D．
7．【分析】根据一次函数的性质即可求出当x1＜x2时，y1＞y2时，列出不等式，进而求出m的取值范围．
【解答】解：∵正比例函数图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），
当x1＜x2时，有y1＞y2，
∴2m﹣1＜0，
∴．
故选：B．
8．【分析】根据给定的表格分别判断即可．
【解答】解：根据给定的表格可知，x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，故A不符合题意；
由表格可知，物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm，故B不符合题意；
所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为23.5cm，故C符合题意；
当x＝0时，y＝20，
∴弹簧不挂重物时的长度为20cm，故D不符合题意，
故选：C．
9．【分析】根据两个一次函数的图象可得不等式的解集，进一步可得不等式组的解集．
【解答】解：观察函数图象得到：
不等式ax+b＞0的解集为x＞﹣2，
不等式mx+n＜0的解集为x＞3；
所以不等式组的解集为x＞3．
故选：C．
10．【分析】根据定义可将函数进行化简．
【解答】解：由已知得：当0≤x＜1时，y＝[x]＝0，
当1≤x＜2时，y＝[x]＝1，
当2≤x＜3时，y＝[x]＝2，
当﹣1≤x＜0时，y＝[x]＝﹣1，
当﹣2≤x＜﹣1时，y＝[x]＝﹣2，
……
由以上可得A选项符合题意，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0列出不等式组，解不等式组得到答案．
【解答】解：由题意得：x+1≠0且x﹣1≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1．
12．【分析】根据一次函数的定义得出m+3≠0且m2﹣8＝1，求出不等式的解即可．
【解答】解：∵y＝（m+3）x+3是一次函数，
∴m+3≠0且m2﹣8＝1，
解得：m＝3，
故答案为：3．
13．【分析】根据一次函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+（2﹣k）的图象经过第一、二、三象限，
∴k＞0，2﹣k＞0，
解得0＜k＜2．
故答案为：0＜k＜2．
14．【分析】由题意可得：小明运动的路程+y＝总路程，可求函数关系式．
【解答】解：由题意得：70x+y＝1200，
∴y＝﹣70x+1200．
故答案为：y＝﹣70x+1200．
15．【分析】先观察图象的增减性和经过的点，再根据条件即可求解．
【解答】解：观察图象可知，y随x的增大而增大，且图象经过点（2，3）
∴kx+b＞3的解集是x＞2，
故答案为：x＞2，
16．【分析】根据题意得出B（﹣2，﹣2），B'（1，1），勾股定理即可求解．
【解答】解：∵AB⊥x轴，与直线y＝x交于点B，点A的坐标为（﹣2，0），
∴点B的横坐标为﹣2，
代入y＝x，得y＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣2），
∵A'的横坐标为1，
∴B'的横坐标为1，
代入y＝x，得y＝1，
∴B'（1，1），
∴
故答案为：．
三．解答题（共6小题，满分46分）
17．【分析】由点M的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k的值，进而可得出直线的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线与两坐标轴的交点坐标，描点、连线，即可画出函数图象．
【解答】解：∵直线y＝kx+2经过点M（3，﹣1），
∴﹣1＝3k+2，
解得：k＝﹣1，
∴该直线的解析式为y＝﹣x+2．
当x＝0时，y＝﹣1×0+2＝2，
∴直线与y轴交于点（0，2）；
当y＝0时，﹣x+2＝0，
解得：x＝2，
∴直线与x轴交于点（2，0）．
描点、连线，画出函数图象，如图所示．
18．【分析】（1）把（1，5）和（﹣1，1）两点坐标代入y＝kx+b中，建立方程组，求出k，b的值即可得结果．
（2）令（1）中求得的解析式中x＝﹣4，求出y即可．
【解答】解（1）把（1，5）和（﹣1，1）两点坐标代入y＝kx+b中得，
，
解得，
∴一次函数的解析式为：y＝2x+3．
（2）当x＝﹣4时，y＝2×（﹣4）+3＝﹣5，
∴当x＝﹣4时，y的值为﹣5．
19．【分析】（1）根据函数图象可知当x＝0.5时，y＝40，根据路程除以时间得出甲车的速度；根据路程除以乙的速度，得出m的值；
（2）待定系数法求即可求解；
（3）根据题意当y＝200时，代入（2）的解析式得出甲的用时，根据路程除以时间得出乙所用的时间，求其差即可求解．
【解答】解：（1）根据函数图象可得当x＝0.5时，y＝40，
∴甲车停留前行驶时的速度是km/h，
∵乙车的速度为60km/h，
∴h，
故答案为：80，1.5．
（2）设y＝kx+b，把（1，40），（1.5，90）代入，
解得
所以y＝100x﹣60．（1≤x≤）；
（3）当y＝200时，200＝100x﹣60，
甲用的时间：．
乙用的时间：，
，即44分钟．
答：甲车比乙车早44分钟到达旅游景点．
20．【分析】（1）设购进A，B两种模型每件分别需要x元，y元，列方程组求解即可．
（2）设购买A种模型a件，购买B种模型b件，由题意得，，求出b的范围，再列出W与b的函数关系式，求最值即可．
【解答】解：（1）设购进A，B两种模型每件分别需要x元，y元，
由题意得：，
解得，，
答：A，B两种模型每件分别需要25元，150元．
（2）设购买A种模型a件，购买B种模型b件，
由题意得，，
解得，b≥，
则购买A种模型为件，即（400﹣6b）件，
则W＝20×（400﹣60b）+30b＝8000﹣90b，
∵﹣90＜0，
∴当b取最小值时，W最大，
∵b≥，b取整数，
∴当b＝29时，W最大值＝8000﹣90×29＝5390．
答：W＝8000﹣90b；当b＝29时，利润最大为5390元．
21．【分析】（1）根据题意可得：A（8，0），B（0，4），再根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意可得，OC＝6，再将点P的横坐标为2代入直线l的解析式中，求出点P的纵坐标，最后由即可求解．
【解答】解：（1）∵OA＝2OB＝8，
∴A（8，0），B（0，4），
∵y＝kx+b的图象过点A、B，
∴，
解得：，
∴直线l的函数表达式为；
（2）∵P是直线l上一点，点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为＝3，
∵C（6，0），
∴OC＝6，
∴＝＝9．
22．【分析】（1）把B（1，0）代入y＝x+b得b＝﹣1，一次函数l1：y＝x﹣1，同理l2：y＝﹣x+3，联立解析式可解得，点P的坐标为（，）；
（2）设直线l2交y轴于K，求出S△BCP＝BC yP＝，S△OPK＝OK xP＝，可知D在y轴右侧，S△ODK＝S△OPK﹣S△ODP＝，故×3 xD＝，解得xD＝1，从而D的坐标为（1，）；
（3）设E（m，m﹣1），D（n，﹣n+3），分两种情况：当OE，PD为对角线时，OE，PD的中点重合，当OD，PE为对角线时，OD，PE的中点重合，分别列方程组可解得E的坐标为（4，3）或（，﹣）．
【解答】解：（1）把B（1，0）代入y＝x+b得：
1+b＝0，
解得b＝﹣1，
∴一次函数l1：y＝x﹣1，
把C（4，0）代入y＝kx+3得：
4k+3＝0，
解得k＝﹣，
∴l2：y＝﹣x+3，
联立，
解得，
∴点P的坐标为（，）；
（2）设直线l2交y轴于K，如图：
∵B（1，0），C（4，0），
∴BC＝3，
∴S△BCP＝BC yP＝×3×＝，
在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，
∴K（0，3），
∴OK＝3，
∴S△OPK＝OK xP＝×3×＝，
∵S△BCP＝S△ODP＝，且＜，
∴D在y轴右侧，
∴S△ODK＝S△OPK﹣S△ODP＝﹣＝，
∴×3 xD＝，
解得xD＝1，
在y＝﹣x+3中，令x＝1得y＝，
∴D的坐标为（1，）；
（3）在l1上存在点E，使得以O，D，P，E为顶点的四边形是以OP为边的平行四边形，理由如下：
设E（m，m﹣1），D（n，﹣n+3），
又O（0，0），P（，），
当OE，PD为对角线时，OE，PD的中点重合，
∴，
解得，
∴E（4，3）；
当OD，PE为对角线时，OD，PE的中点重合，
∴，
解得，
∴E（，﹣）；
综上所述，E的坐标为（4，3）或（，﹣）．