第十七章 勾股定理 单元同步检测试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 第十七章 勾股定理 单元同步检测试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 406.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-15 00:00:00 | ||
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文档简介
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第十七章《勾股定理》单元检测题
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列各组数中，能作为直角三角形边长的是（ ）
A．1，2，3 B．6，7，8 C．1，1， D．5，12，13
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB边的中点，则CD的长为（ ）
A． B．2 C． D．
3．若正方形ABCD的面积为，则对角线AC的长度为（ ）
A． B．4 C．8 D．4
4．如果直角三角形两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）
A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶169
5. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）
A．13 B．13或 C．13或15 D．15
6．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）
A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm
7．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分AD长0.5米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为（ ）
A．2米 B．2.5米 C．2.25米 D．3米
8、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )
A.3 B.5 C.9 D.4
9.我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，里米，则该沙田的面积为
A. 平方千米 B. 平方千米 C. 平方千米 D. 平方千米
10.如图，是等边形内一点，连接、、，：：：：，以为边在形外作≌，连接，则以下结论错误的是( )
A. 是正三角形 B. 是直角三角形
C. D.
二、填空题（每题3分，共24分）
11．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝ ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若CD＝2，BD＝4，则AE的长是 ．
13．如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在点C′的位置上，BC′交AD于点E，若AB＝3，BC＝6，则DE的长为 ．
14.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S，S,S，若S=4，S=6，则S=__________.
15.方程思想如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的点C’处，那么△ADC’的面积是_____cm.
16.如图，在四边形中，，，分别是，的中点，且，，则______．
中，，，点在直线上，，则______．
18.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中短直角边，较长直角边为，那么的值为______．
三、解答题(满分46分,19题6分，20、21、22、23、24题每题8分)
19．如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
20．如图，△ABC的顶点在正方形网格中的格点上，若小方格边长为1，请你根据所学的知
识解决下列问题．
（1）△ABC的面积为 ；
（2）判断△ABC是什么形状，并说明理由．
21、(8分)如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．
（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．
22．如图，在长方形中，点在边上，把长方形沿直线折叠，点落在边上的点处。若.
（1）求的长；
（2）求的面积。
23．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
24．已知，如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，以斜边AC为底边作等腰三角形ACD，腰AD刚好满足AD∥BC，并作腰上的高AE．
（1）求证：AB＝AE；
（2）求等腰三角形的腰长CD．
参考答案
一.选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A D B C A A A D
二.填空题:
11．【解答】解：①当△ABC是锐角三角形，
在Rt△ACD中，AD＝＝12，则BD＝AB﹣AD＝1，
在Rt△BDC中，BC＝＝；
②当△ABC是钝角三角形，
在Rt△ACD中，AD＝＝12，则BD＝AB+AD＝25，
在Rt△BDC中，BC＝＝5；
故答案为：或．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若CD＝2，BD＝4，则AE的长是 2 ．
【分析】先证明AE＝AC，利用勾股定理求出BE长，在Rt△ABC中利用勾股定理可求AE长．
【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴CD＝ED．
又AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL）
∴AE＝AC．
在Rt△BDE中，BE＝．
设AE＝x，则AC＝x，AB＝2+x，
在Rt△ABC中，利用勾股定理得（2+x）2＝62+x2，
解得x＝2．
所以AE长为2．
故答案为2．
【点评】本题主要考查了勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是借助勾股定理构造方程求解．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，∠A＝90°，
∵△BDC′是由△BDC折叠得到，
∴∠DBC＝∠DBE，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE，
设AE＝x，则DE＝AD﹣AE＝6﹣x，BE＝6﹣x，
在Rt△ABE中，∵AE2+AB2＝BE2，
∴x2+32＝（6﹣x）2，
解得：x＝，
则DE的长为：6﹣＝．
故答案为：．
14.2
15.6
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直角三角形斜边的中线，勾股定理的应用，熟练运用直角三角形和等腰三角形的性质是解题的关键．
连接、根据，是的中点，则，三角形为等腰三角形，又是的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可知，，最后由勾股定理求出．
【解答】
解：连接、．
，是的中点，
，，
，
分别是的中点，
，，
在中，由勾股定理得，
．
故答案为．
17.【答案】
或
【解析】
解：根据题意分点在线段上，
或点在延长线上，两种情况，
如图：
，，
点在线段上，，
，
在中，根据勾股定理，得
；
当点在延长线上时，
，
在中，根据勾股定理，得
．
故答案为或．
根据勾股定理和等腰直角三角形的性质分两种情况画图即可求解．
本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是分两种情况画图．
18.【答案】
【解析】
解：根据题意，并结合勾股定理得：
大正方形的面积：，
四个直角三角形面积和为：，
，
，
．
故答案为．
三.解答题:
19．解：（1）学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
∴CD＝＝120（m），
∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED＝（m），
∴EF＝100（m），
∵环卫车的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
20．解：（1）
＝5，
故答案为：5．
（2）由勾股定理得：，，BC＝，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
21、（1）证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=8，CD=6，∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，∴AC=10．在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形.
（2）解：S阴影=SRt△ABC﹣SRt△ACD=×10×24﹣×8×6=96．
22．（1）；（2）
23．解：（1）∵AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km，
152+202＝252，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴CD＝AC×BC÷÷AB＝12（km）．
故修建的公路CD的长是12km；
（2）在Rt△BDC中，BD＝＝16（km），
一辆货车从C处经过D点到B处的路程＝CD+BD＝12+16＝28（km）．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．
24．（1）证明：∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠ACB＝∠DCA，
又∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠A＝∠AEC＝90°，
在△ABC和△AEC中，，
∴△ABC≌△AEC（AAS），
∴AB＝AE；
（2）解：由（1）得：AE＝AB＝6，CE＝CB＝4，
设DC＝x，则DA＝x，DE＝x﹣4，
由勾股定理得：DE2+AE2＝DA2，
即（x﹣4）2+62＝x2，
解得：x＝，
即CD＝．
第十七章《勾股定理》单元检测题
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列各组数中，能作为直角三角形边长的是（ ）
A．1，2，3 B．6，7，8 C．1，1， D．5，12，13
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB边的中点，则CD的长为（ ）
A． B．2 C． D．
3．若正方形ABCD的面积为，则对角线AC的长度为（ ）
A． B．4 C．8 D．4
4．如果直角三角形两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）
A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶169
5. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）
A．13 B．13或 C．13或15 D．15
6．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）
A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm
7．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分AD长0.5米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为（ ）
A．2米 B．2.5米 C．2.25米 D．3米
8、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )
A.3 B.5 C.9 D.4
9.我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，里米，则该沙田的面积为
A. 平方千米 B. 平方千米 C. 平方千米 D. 平方千米
10.如图，是等边形内一点，连接、、，：：：：，以为边在形外作≌，连接，则以下结论错误的是( )
A. 是正三角形 B. 是直角三角形
C. D.
二、填空题（每题3分，共24分）
11．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝ ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若CD＝2，BD＝4，则AE的长是 ．
13．如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在点C′的位置上，BC′交AD于点E，若AB＝3，BC＝6，则DE的长为 ．
14.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S，S,S，若S=4，S=6，则S=__________.
15.方程思想如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的点C’处，那么△ADC’的面积是_____cm.
16.如图，在四边形中，，，分别是，的中点，且，，则______．
中，，，点在直线上，，则______．
18.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中短直角边，较长直角边为，那么的值为______．
三、解答题(满分46分,19题6分，20、21、22、23、24题每题8分)
19．如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
20．如图，△ABC的顶点在正方形网格中的格点上，若小方格边长为1，请你根据所学的知
识解决下列问题．
（1）△ABC的面积为 ；
（2）判断△ABC是什么形状，并说明理由．
21、(8分)如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．
（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．
22．如图，在长方形中，点在边上，把长方形沿直线折叠，点落在边上的点处。若.
（1）求的长；
（2）求的面积。
23．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
24．已知，如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，以斜边AC为底边作等腰三角形ACD，腰AD刚好满足AD∥BC，并作腰上的高AE．
（1）求证：AB＝AE；
（2）求等腰三角形的腰长CD．
参考答案
一.选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A D B C A A A D
二.填空题:
11．【解答】解：①当△ABC是锐角三角形，
在Rt△ACD中，AD＝＝12，则BD＝AB﹣AD＝1，
在Rt△BDC中，BC＝＝；
②当△ABC是钝角三角形，
在Rt△ACD中，AD＝＝12，则BD＝AB+AD＝25，
在Rt△BDC中，BC＝＝5；
故答案为：或．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若CD＝2，BD＝4，则AE的长是 2 ．
【分析】先证明AE＝AC，利用勾股定理求出BE长，在Rt△ABC中利用勾股定理可求AE长．
【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴CD＝ED．
又AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL）
∴AE＝AC．
在Rt△BDE中，BE＝．
设AE＝x，则AC＝x，AB＝2+x，
在Rt△ABC中，利用勾股定理得（2+x）2＝62+x2，
解得x＝2．
所以AE长为2．
故答案为2．
【点评】本题主要考查了勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是借助勾股定理构造方程求解．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，∠A＝90°，
∵△BDC′是由△BDC折叠得到，
∴∠DBC＝∠DBE，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE，
设AE＝x，则DE＝AD﹣AE＝6﹣x，BE＝6﹣x，
在Rt△ABE中，∵AE2+AB2＝BE2，
∴x2+32＝（6﹣x）2，
解得：x＝，
则DE的长为：6﹣＝．
故答案为：．
14.2
15.6
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直角三角形斜边的中线，勾股定理的应用，熟练运用直角三角形和等腰三角形的性质是解题的关键．
连接、根据，是的中点，则，三角形为等腰三角形，又是的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可知，，最后由勾股定理求出．
【解答】
解：连接、．
，是的中点，
，，
，
分别是的中点，
，，
在中，由勾股定理得，
．
故答案为．
17.【答案】
或
【解析】
解：根据题意分点在线段上，
或点在延长线上，两种情况，
如图：
，，
点在线段上，，
，
在中，根据勾股定理，得
；
当点在延长线上时，
，
在中，根据勾股定理，得
．
故答案为或．
根据勾股定理和等腰直角三角形的性质分两种情况画图即可求解．
本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是分两种情况画图．
18.【答案】
【解析】
解：根据题意，并结合勾股定理得：
大正方形的面积：，
四个直角三角形面积和为：，
，
，
．
故答案为．
三.解答题:
19．解：（1）学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
∴CD＝＝120（m），
∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED＝（m），
∴EF＝100（m），
∵环卫车的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
20．解：（1）
＝5，
故答案为：5．
（2）由勾股定理得：，，BC＝，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
21、（1）证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=8，CD=6，∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，∴AC=10．在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形.
（2）解：S阴影=SRt△ABC﹣SRt△ACD=×10×24﹣×8×6=96．
22．（1）；（2）
23．解：（1）∵AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km，
152+202＝252，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴CD＝AC×BC÷÷AB＝12（km）．
故修建的公路CD的长是12km；
（2）在Rt△BDC中，BD＝＝16（km），
一辆货车从C处经过D点到B处的路程＝CD+BD＝12+16＝28（km）．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．
24．（1）证明：∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠ACB＝∠DCA，
又∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠A＝∠AEC＝90°，
在△ABC和△AEC中，，
∴△ABC≌△AEC（AAS），
∴AB＝AE；
（2）解：由（1）得：AE＝AB＝6，CE＝CB＝4，
设DC＝x，则DA＝x，DE＝x﹣4，
由勾股定理得：DE2+AE2＝DA2，
即（x﹣4）2+62＝x2，
解得：x＝，
即CD＝．