2023年高考数学二轮复习专题课件★★导数与函数的零点问题 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
2023年高考数学二轮复习专题课件★★导数与函数的零点问题
命题点(一)　探求函数零点的个数　
[典例]　(2022·太原一模)已知函数f(x)＝xex－x－1.
(1)求函数f(x)在区间[－1,1]上的最值；
(2)讨论方程f(x)＝ln x＋m－2实根个数．
[关键点拨]
切入点 求导，根据函数的单调性求最值
隐藏点 换元，令t＝xex，构造函数h(t)＝t－ln t＋1(t>0)
迁移点 再根据导函数求出单调性、最值，结合图象求解
[解]　(1)函数f(x)＝xex－x－1的定义域是R，
f′(x)＝(x＋1)ex－1，
令g(x)＝f′(x)＝(x＋1)ex－1，
当x∈[－1,1]时，g′(x)＝(x＋2)ex>0，
∴f′(x)在[－1,1]上单调递增．
又x＝0时，f′(x)＝0，
∴当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
∴当t>2时，h(t)>2ln t－ln t＋1＝ln t＋1，又em>2，∴h(em)>m＋1>m，
当0－lne－m＋1＝m＋1>m，
即h(t)＝m在(e－m,1)，(1，em)上分别有一个零点，而h(t)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(t)＝m在(0,1)，(1，＋∞)上分别有一个零点，
因此方程f(x)＝ln x＋m－2有2个实根．
求解函数零点(方程根)的个数问题的步骤
第一步 将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题
第二步 利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象
第三步 结合图象求解
命题点(二)　由函数零点的个数求参数　
[典例]　(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)在区间(－1,0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．
[关键点拨]
切入点 先算出切点，再求导算出斜率
隐藏点 求导，对a分类讨论
迁移点 对x分(－1,0)，(0，＋∞)两部分研究
反思点 本题的关键是对a的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明
∵f(0)＝0，∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上无零点，不符合题意．
当g(0)<0，即a<－1时，
存在x1∈(－1，x0)，x2∈(0,1)，使得g(x1)＝g(x2)＝0，∴f(x)在(－1，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．
∵f(0)＝0，∴f(x1)>f(0)＝0，当x→－1时，f(x)<0，∴f(x)在(－1，x1)上存在一个零点，
即f(x)在(－1,0)上存在一个零点，
∵f(0)＝0，当x→＋∞时，f(x)>0，
∴f(x)在(x2，＋∞)上存在一个零点，即f(x)在(0，＋∞)上存在一个零点．
综上，a的取值范围是(－∞，－1)．
已知函数零点个数求参数范围的策略
(1)根据区间上零点的个数情况估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件．
(2)先求导，通过求导分析函数的单调性情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件．此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解．
(2022·郑州二模)已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x＋1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设函数g(x)＝aex－x＋ln a，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
命题点(三)　隐零点问题　
近几年高考中隐零点问题也经常出现，该类问题主要是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合其他条件求解，主要在解答题中以压轴题的形式出现，考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，题目的综合性较强，难度大.
隐零点问题求解三步曲
(1)用零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的取值范围．
(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．
(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．
已知函数f(x)＝ln(2x＋1)＋2ax－4aex＋4，且a>0.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的最大值；
(2)讨论函数f(x)的零点个数．