2022~2023学年度第二学期高二年级数学科
第二次阶段考考试
(全卷共4页，时间：120分钟)
第I卷（选择题·共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
1.有4名同学参加跑步、跳远、跳高三个项目，每人限报1项，共有()种报名方法
A.64种
B.81种
C.32种
D.12种
2.已知实数列-1、x、y、2、-2成等比数列则z=()
A.2W2
B.士4
C.±2W2
D,-22
3.在数列{a,}中，a=1,√口=Va,+1,则a。=()
A.n
B.n2
C.n+2
D.
4.在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2023年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开发的
农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价魔，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是
该月初投入资金的20%，每月底街缴房租8Q0元和水电费400元，d余款作为资金全部用于再进货，如此继
续，预计2023年小王的农产品加工厂的年利润为(）（取1,2=75,1.22=9）
A.25000元
B.26000元
C.32000元
D.36000元
5.已知函数f(x)=x(x-c)在x=2处有极大值，则C的值为(
A.6
B,6或2
C.2
D.4或2
6记数列{a,}的前n项和为S,满足4=1，且m1=+1a,则2+10的最小值为（)
r
A.210+1
B.4W10+1
C.
22
3
D.5
7.已知数列{a}的前n项和为Sn,且a=1,2S.=a+4.,则S0=（)
A.55
B.50
C.110
D.210
8没a=上，b=n号，c=2sn乞，0《)
21
2
A.b
B.aC.cD.b二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.某居委会举办的文茗汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下
列说法正确的是
A.若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序
B.若舞蹈类节周相邻则有120种出场顿序
C.若舞蹈类节目不相邻，则有40种不同的出场顺序
D,从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法
1
4南海区2022～2023学年度第二学期高二年级数学科
第二次阶段考考试·参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B C A C D A AD BCD AC ACD
13 14 15 16
2023
0 1560 2 2024
8【. 答案】A【解析】令 g x x 1 ln x x 0 g x 1 1 x 1， ，令 g x 0，解得：x 1；令 g x 0，
x x
解得：0 x 1；所以 g x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，所以 g x min g 1 0，所以
x 1 ln x，由 x 1 ln x可知 a b，
π
设 f (x)
π
sin x x，则 f (x)
π
cos x 1 0, f π π 3 3π 4在区间 上是减函数．且 1 0．2 2 6 6 2 2 4
π
f (x) 1 π 1 1所以函数 在区间 0, 上是增函数．所以 f f (0) 0，即 sin ．即： c a．故选：2 A
．
6 2 2 2
5
11. AC r r 2n r 3 C222 3 Cn 22n 2【答案】 【解析】由题意知：T 2 ，则第 项的系数为 ，倒数第 项的系数为 ，r 1 Cn2 x n n
C2 2n2 1 1 1则有 n 2 n 2 即 n 4 ， n 7 .A选项正确；Cn 2 8 2 23
14 5 r 0 0 14 14
可得T Cr r 2 ，当 r 0, 2, 4,6时所有的有理项为T ,T ,Tr 1 72 x r 0,1, , 7 1 3 5 ,T7，即T1 C72 x x ，
T 2 2 93 C72 x 84x
9 4 4 4 4 6 6 1 1
，T5 C72 x 560x ，T7 C72 x 448x .B选项错误；
Cr 2r Cr 12r 1 r 1 2 7 r 13 16
设展开式中第 r 1 7 7项的系数最大，则 Cr 2r Cr 1 r 1
r 2 8 ， r 5，故系数最大 7 7 2 r r 3 3
3 3
项为T C525 x 2 672x 2 ，系数最大项为第 6项.C选项正确；6 7
C47 C
3
7 ，第 4项和第 5项是二项式系数最大的项,D错误.故选:AC.
a
2
a
x0
x0
2a
15.【答案】2【解析】设切点为 x0 , y0 ， y ,则 y0 2x0 ，解得 y0 a .x
y
0 a ln x0 2 a a ln a 2
2
令 f a a ln a 2 a，则 f a ln a ln 2，所以当0 a 2时， f a 0， f a 单调递减；
2
a
当 a 2时， f a 0， f a 单调递增.所以 f a min f 2 0，所以方程 a a ln 2的根为a 2．2
2023
16.【答案】 【解析】由 an 2 2an 3an 1，得 an 2 an 1 2 an 1 an ．又a2 a1 2，所以数列 a2024 n 1
an
2 n 2 n 1构成以 为首项，2为公比的等比数列，所以 an 1 an 2 .又 a2 a1 2，a3 a2 2 ，…，an an 1 2 ，
a a 1 2 n 1累加得 2 1 a3 a2 an an 1 2 2 2 (n 2)，即an a1 21 22 2n 1，
1 2n 1 2
所以 an 2
0 21 22 2 n 1 2 n 1(n 2 ) .又因为 a1 1
n
满足上式，所以 a
1 2 n
2 1 n N .
a 2n 1所以 1.因为 2nn 1 2n 1
n n 1 n 1
1 2n 1，所以 log2 2 log2 2 1 log2 2 ，
即n log2 2n 1 1 n 1 b log a log 2n 1
1 1 1 1
，所以 n 2 n 1 2 1 n .故 bnbn 1 n (n 1) n n 1.
1 1 1 1 1 1 2023
所以 S2023 1 1 .
2 2 3 2023 2024 2024 2024
第 1 页 共 4 页
17.【解析】（1 2）设等差数列 an 的公差为d ，由已知得 a2 1 a1 a3 1 ，…………………………1分
即 a1 d 1
2 a1 a1 2d 1 ，…………………2分
又 a6 a1 5d 11，…………………3分 解得 d 2（舍负），则 a1 1，所以an 2n 1．…………5分
n 1 2n 1
（2）结合（1）得 S n2n ，…………………6分2
1 1 1 1 1
则bn ，………………… 分4Sn 1 4n
2 8 1 2 2n 1 2n 1
b b b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1所以 1 2 n
2 3 3 5 5 7 2n 3 2n 1 2n 1 2n+1
1
1
1
1 ．…………………10分2 2n 1 2
18 2【. 解析】（1）取 AC中点M ，连接O2M ,PM，如图，由题意，PO1 1,BC AB 22
又 PO1∥BC ,PO
1
1 BC
1
.又O2M∥BC,O2M BC，2 2
故 PO1∥O2M ,PO1 O2M ，…………………2分
所以四边形 PO1O2M 为平行四边形，
则 PM∥O1O2，又 PM 面PAC,O1O2 平面PAC，故O1O2 平面PAC .………4分
S 1 1（2）选①： ABC AC BC 2 2 2，又O1O2 平面 ABC，2 2
所以三棱锥O1 ABC
1 4
体积V S ABC O1O2 .所以O1O2 2 .…………6分3 3
选②：因为O1O2 平面 ABC，所以 O1AO2为 AO1与底面所成的角，所以
tan O1AO2 2，又 AO2 2，所以O1O2 2;…………………6分
以O2为坐标原点，O2B,O2C,O2O1所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系.
则有 A 2,0,0 ,B 2,0,0 ,C 0, 2,0 ,P 2 ,
2 ,2 ,O1 0,0,2 ，故
2 2
AO1 2,0, 2 ， BC 2, 2,0 ,CP 2 2 , , 2 …………………7分
2 2
n BC 2x 2y 0,
r
设平面PBC 的法向量 n x, y, z ，故
n CP
2
x 2 y 2z 0,
2 2
令 z 1，解得 x y 2，得 n 2, 2,1 ，…………………10分
AO
1 n 2 2 2 30
设所求角的大小为 ，则 sin ∣cos AO1,n .…………………11分AO1 n 6 5 15
所以直线 AO PBC 2 301与平面 所成角的正弦值为 .…………………12分
15
19.【解析】（1）由题意，当 n 1时， S1 2 a1 2 2a1，解得a1 2，…………………1分
当 n 2时， S2 2 2a2，即 a1 a2 2 2a2，解得 a2 4，…………………2分
当 n 2时，由 Sn 2 2an，可得 Sn 1 2 2an 1，两式相减，可得 an 2an 2an 1，
整理，得 an 2an 1， 数列 an 是以 2为首项， 2为公比的等比数列，…………………4分
an 2 2
n 1 2n， n N*．…………………5分
n+1
（2）由（1）可得，a nn 2 ，an+1 = 2 ，在 an与 an 1之间插入 n个数，使得这 n 2 个数依次组成公差为 dn
第 2 页 共 4 页
n 1 n 1
的等差数列，则有 an 1 an n 1 d a， d n 1 an 2n n ， d 2n ，…………………7分n 1 n 1 n
T 1 1 1 2 3 4 n 1 n d1 d2 dn 2
1 22 23 2n ，…………………8分
1 T 1 1 1 1n 2 ( )
2 3 ( )3 n ( )n n 1 ( )n 1，…………………9分
2 2 2 2 2
1 1
1 T 2 1 1 1 n 1
2 n 1 n 1 3 n 3
两式相减得 n 1 1
2 2
2 2 22 23 n n 1 1
n 1 ，2 2 1 2 2 2
n 1
2
n 3
Tn 3 n ．……12分2
ax 2 x 2
20．【解析】(1) f x a 2a 2 4 2 2 ( x 0 ),…………………………………1分x x x
当 a 0时, f x 0 0 x 2 , f x 0 x 2 ,所以 f x 在 0,2 上递增,在 2, 上递减……2分
当 0 a 1时, f x 0 0 x 2或 x 2 2 , f x 0 2 x ,
a a
f x 0,2 2 2此时 在 , , , a 上递增 在 2, a 上递减；……………………………………………4分
a 1 , x 2f x
2
当 时 0 ,所以 f x 在 0, 上递增；……………………………………5分
x2
当 a 1 2 2时, f x 0 0 x 或 x 2 , f x 0 x 2 ,
a a
此时 f x 在 0, 2 , 2, 上递增,在 2 ，2 上递减；……………………………………………6分 a a
3
(2)当 a , f x 3x lnx 4 2,要证 f x g x ,只需证 ln x 2 ex ,令h x lnx ex 2……7分2 2 x
则 h x 1 ex ,h x 1 2 ex 0 ,故h x 在 0, 上递减,x x
1
又 h 1 0 ,h (1) 2 e 0 ,故存在 x0 0,1 x, 0使得 h x0 0 ,即 e ,即 x0 ln x2 x 0…9分0
且 h x 0 0 x x0 ,h x 0 x x0 ,故h x 在 0, x0 上递增,在 x0 , 上递减,
所以 h x 1 1 h x0 ln x0 ex0 2 x0 2 max x x0 2 ,…………………………10分0 x0
1
又 x0 0,1 ,所以 x0 2x ,所以 h x0 0 ,所以 h x h x0 0 ,0
3
所以 ln x 2 ex ,所以 a 时, f x g x .…………………………………………………12分2
【备注】此题可以使用切线放缩，即证明不等式 ln x 2 x 1 e x .
2
21 ．【解析】（1）依题意得， AOC 3 ，…………………1分
2 3 2
1 2 1 2 1 2 1 2
则 y 20 40 2 20 sin 50 20 20 sin 30…………………4分2 3 2 2 2 2
16000 10000 sin 6000 6000sin
3 2
16000
4000 sin 2000 2 ，其中，0 .…………………6分
3 3
第 3 页 共 4 页
（2） y ' 4000 cos 2000，令 y ' 0 ，得 ，…………………8分
3
当0 < θ
π
< ， y ' 0 2 ，函数递增，当 时， y ' 0，函数递减…………………10分
3 3 3
所以， 是函数的极大值点，且唯一；从而当 时，日效益总量可取得最大值.……………12分
3 3
22. x【解析】（1） f x e (cos x sin x)， 0 x π，…………………1分；
由 f x 0 得 x ，当0 x 时， f x 0 ；当 x 时 f x 0，
4 4 4
∴ f x 在 0, 上单调递增，在 , 上单调递减．…………………4分 4 4
（2）∵ x1 x2 ，且 f x1 f x2 ，∴由（1）知，不妨设0 x1 x2 ．-------------------5 分4
x x
要证 1 2 ，只需证明 x2 x1，而 x2 2 4 2 1
， f x 在 , 上单调递减，2 4
f x 故只需证明 2 f x1 ．---------------6 分；又 f x1 f x2 ，∴只需证明 f x
2 1
f x1 ．
2
sin x
令函数 g x f x f x sin x 2 sin x cos x ，-----------7 分
2 ex x ex xe 2 e 2
x
g x cos x sin x sin x cos x
2
(cosx sinx ) 1 1 (cosx sinx ) e e
x
则 x x .----9分e x2 e x e e 2 e 2
当0 x 时， cos x sin x 0 x x g x 0 g x ， ，故 ，∴ 在 0, 上单调递增，-------------11分4 2 4
g x g f 0, 故在 上 f
0，∴ f x f
x 成立，故 x x 成立．-----12 分
4 4 4 1 1 1 2 4 2 2
【极值点偏移 ·知识链接】①函数 f (x)满足定义域内任意自变量 x都有 f (x) f (2m x) ,则函数 f (x)
关于直线 x m对称;可以理解为函数 f (x)在对称轴两侧,函数值变化快慢相同,且若 f (x)为单峰函数,则
x m必为 f (x)的极值点.
x x x x
如二次函数 f (x)的顶点就是极值点 x0 ,若 f (x) c的两根的中点为 1 2 ,则刚好有 1 2 x ,即极值2 2 0
点在两根的正中间,也就是极值点没有偏移.
②若相等变为不等,则为极值点偏移:若单峰函数 f (x)的极值点为m ,且函数 f (x)满足定义域内 x m左
侧的任意 x都有 f (x) f (2m x)或 f (x) f (2m x) ,则函数 f (x)极值点m左右侧变化快慢不同.
故单峰函数 f (x)定义域内任意不同的实
x x数 1 x21, x2满足 f x1 f x2 ,则 2
与极值点m必有确定的大小关系:
m x1 x若 2 ,则称为极值点左偏.
2
m x x若 1 2 ,则称为极值点右偏.
2
如: g(x) x 的极值点 刚好在方程x x0 1 g(x) c
x1 x的两根中点 2 的左边,我们称之为极值点左偏.
e 2
第 4 页 共 4 页