第18章《平行四边形》单元测试（含答案）
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第18章 《平行四边形》单元测试
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一．选择题（每题3分，共30分）
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角相等
2．如图，矩形ABCD中，AE⊥BD交CD于点E，点F在AD上，连接CF交AE于点G，且CG＝GF＝AF，若BD＝4，则CD的值为（ ）
A． B．4 C． D．
3．如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则下列判断：
①四边形AEDF一定是平行四边形；
②若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形；
③若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形；
④若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形．
正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4. 如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为( )
A. 66° B. 104° C. 114° D. 124°
5. 从等腰三角形底边上任一点分别作两腰的平行线，所成的平行四边形的周长等于这个等腰三角形的 （ ）
A.周长 B.周长的一半 C.腰长 D.腰长的2倍
6．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是 （ ）
A. B.C. D.
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段OA、OB的中点，若AC+BD＝32cm，△OEF的周长为13cm，则CD的长为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
8. 如图，四边形 的对角线相交于点 ，且互相平分，若添加下列条件中的一个，不能判定四边形 为矩形的是
A. B.
C. D.
9. 如图，公路 ， 互相垂直，公路 的中点 与点 被湖隔开，若测得 的长为 ，则 ， 两点间的距离为
A. B. C. D.
10. 如图，在四边形 中，，，，点 从 出发以 的速度向 运动，点 从 出发以 的速度向 运动，两点同时出发，当点 运动到点 时，点 也随之停止运动．当运动时间为 秒时，以 ，，，，， 任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则 的值是
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，共30分）
11.已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是 cm2.
12.如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为 cm
13.如图，DE//BC，DF//AC，EF//AB，图中共有 个平行四边形.
14，如图10，已知AB∥DC，AE⊥DC，AE＝12，BD＝15，AC＝20, 则梯形ABCD的面积为＿＿＿.150
15，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm ，AB＝10cm，按如图11方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝＿＿＿cm.
16. 如图，在矩形 中（）， 是 上一点，且 ，，垂足为 ．在下列结论中① ；② ；③ ；④ ．一定正确的是 （把正确的序号写在横线上）．
17. 如图，菱形 和菱形 的边长分别为 和 ，，则阴影部分面积是 ．（结果保留根号）
18. 如图，点 是正方形 的边 延长线上一点，正方形 的边长为 ，点 是线段 的中点， 的面积是 ．
三、解答题(满分46分,19题6分，20、21、22、23、24题每题8分)
19．如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
20．如图，将菱形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若菱形的对角线，，求菱形的面积．
21、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣3，﹣2），B（0，3），C（3，2），D（0，﹣3）．四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明．
22、如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是中点．求证：（1）DM=BM；（2）MN⊥BD 。
23.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF.
(1)求证:四边形OEFG是矩形.
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.
24.如图1,在正方形ABCD中,点E为AB上的点(不与A,B重合),△ADE与△FDE关于DE对称,作射线CF,与DE的延长线相交于点G,连接AG.
(1)当∠ADE=15°时,求∠DGC的度数;
(2)若点E在AB上移动,请你判断∠DGC的度数是否发生变化,若不变化,请证明你的结论,若发生变化,请说明理由;
(3)如图2,点F在对角线BD上,点M为DE的中点,连接AM,FM,请判断四边形AGFM的形状,并证明结论.
参考答案与解析
一、选择题(每题3分,共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C C D D D C B C
二、填空题(每题3分,共24分)
11.20 12. 13.3
14．4﹣2或3. 解析：①当A′D=DC时，如图1，连接ED，
∵点E是AB的中点，AB=4，BC=4，四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，∠A=90°，∴DE==6，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，∴A′E=AE=2，
∵A′D=DC=AB=4，∴DE=A′E+A′D=6，
∴点E，A′，D三点共线，
∵∠A=90°，∴∠FA′E=∠FA′D=90°，
设AF=x，则A′F=x，FD=4-x，
在Rt△FA′D中，42+x2=（4-x）2，
解得：x=，∴FD=3；
②当A′D=A′C时，如图2，
∵A′D=A′C，∴点A′在线段CD的垂直平分线上，
∴点A′在线段AB的垂直平分线上，
∵点E是AB的中点，∴EA′是AB的垂直平分线，∴∠AEA′=90°，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，
∴∠A=∠EA′F=90°，AF=FA′，
∴四边形AEA′F是正方形，
∴AF=AE=2，∴DF=4-2，
故答案为：4-2或3．
14，150；
15，；
16. ①③④
【解析】①由矩形 ， 可得 ，，
．
又 ，
在 和 中，
，故①正确；
② 不一定等于 ，
直角三角形 中， 不一定等于 的一半，故②错误；
③由 ，可得 ，
由矩形 ，可得 ，
，故③正确；
④由 ，可得 ，
由矩形 ，可得 ，
又 ，
，故④正确；
故一定正确的是①③④．
故答案为：①③④．
17.
【解析】如图，连接 ，
四边形 和四边形 为菱形，，
，
，
．
18.
三、解答题(满分46分,19题6分，20、21、22、23、24题每题8分)
19．【解答】（1）证明：，
，．
是中点，
．
在与中，
．
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作于点．
在中，，，，
由勾股定理得．
在中，，，，
，
，
．
20．【解答】（1）证明：四边形是菱形，
，，，
，
，
即，
，，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，，，
菱形的面积．
21、解：四边形ABCD是平行四边形．
理由：∵A（﹣3，﹣2），B（0，3），C（3，2），D（0，﹣3），
∴AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
22、
23..(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,
∴点O为BD的中点,
又∵点E为AD的中点,
∴OE为△ABD的中位线,∴OE∥FG,
又∵OG∥EF,∴四边形OEFG为平行四边形,
又∵EF⊥AB,∴四边形OEFG为矩形.
(2)解:∵点E为AD的中点,AD=10,
∴AE=1/2AD=5.
∵∠EFA=90°,EF=4,
∴AF=√AE^2 EF^2=√5^2 4^2=3.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=AD=10,∴OE=1/2AB=5.
∵四边形OEFG为矩形,
∴FG=OE=5,
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.
24.20.解:(1)∵∠ADE=15°,
∴∠FDE=15°,∴∠CDF=60°.
由对称可知AD=DF,∴DF=DC,
∴△DFC是等边三角形,∴∠CFD=60°.
∵∠CFD=∠DGC+∠FDE=∠DGC+15°,
∴∠DGC=45°.
(2)∠DGC的度数不变化.证明如下:
∵△ADE与△FDE关于DE对称,
∴AD=DF,∠ADE=∠FDE.
设∠ADE=x,可得∠FDE=x,∠CDF=90°-2x,
∵DC=AD=DF,
∴∠CFD=1/2[180°-(90°-2x)]=45°+x.
∵∠CFD=∠DGC+∠FDE=∠DGC+x,
∴∠DGC+x=45°+x,
∴∠DGC=45°.
(3)四边形AGFM是正方形.证明如下:
∵∠DAE=∠DFE=90°,点M为DE的中点,
∴AM=FM=DM=1/2DE,
∴∠ADM=∠DAM,∠MDF=∠DFM,
又∵∠ADM=∠MDF=22.5°,
∴∠AME=∠FME=2∠ADM=2∠MDF=45°,
∴∠AMF=90°.
由(2)可知,∠DGC=45°,∴FM=FG.
在△ADG与△FDG中,{■(AD=DF,@∠ADG=∠FDG,@DG=DG,)┤
∴△ADG≌△FDG,∴AG=FG,
∴AM=MF=FG=AG,∴四边形AGFM是菱形,
又∵∠AMF=90°,
∴四边形AGFM是正方形.
第18章 《平行四边形》单元测试
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一．选择题（每题3分，共30分）
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角相等
2．如图，矩形ABCD中，AE⊥BD交CD于点E，点F在AD上，连接CF交AE于点G，且CG＝GF＝AF，若BD＝4，则CD的值为（ ）
A． B．4 C． D．
3．如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则下列判断：
①四边形AEDF一定是平行四边形；
②若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形；
③若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形；
④若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形．
正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4. 如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为( )
A. 66° B. 104° C. 114° D. 124°
5. 从等腰三角形底边上任一点分别作两腰的平行线，所成的平行四边形的周长等于这个等腰三角形的 （ ）
A.周长 B.周长的一半 C.腰长 D.腰长的2倍
6．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是 （ ）
A. B.C. D.
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段OA、OB的中点，若AC+BD＝32cm，△OEF的周长为13cm，则CD的长为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
8. 如图，四边形 的对角线相交于点 ，且互相平分，若添加下列条件中的一个，不能判定四边形 为矩形的是
A. B.
C. D.
9. 如图，公路 ， 互相垂直，公路 的中点 与点 被湖隔开，若测得 的长为 ，则 ， 两点间的距离为
A. B. C. D.
10. 如图，在四边形 中，，，，点 从 出发以 的速度向 运动，点 从 出发以 的速度向 运动，两点同时出发，当点 运动到点 时，点 也随之停止运动．当运动时间为 秒时，以 ，，，，， 任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则 的值是
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，共30分）
11.已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是 cm2.
12.如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为 cm
13.如图，DE//BC，DF//AC，EF//AB，图中共有 个平行四边形.
14，如图10，已知AB∥DC，AE⊥DC，AE＝12，BD＝15，AC＝20, 则梯形ABCD的面积为＿＿＿.150
15，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm ，AB＝10cm，按如图11方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝＿＿＿cm.
16. 如图，在矩形 中（）， 是 上一点，且 ，，垂足为 ．在下列结论中① ；② ；③ ；④ ．一定正确的是 （把正确的序号写在横线上）．
17. 如图，菱形 和菱形 的边长分别为 和 ，，则阴影部分面积是 ．（结果保留根号）
18. 如图，点 是正方形 的边 延长线上一点，正方形 的边长为 ，点 是线段 的中点， 的面积是 ．
三、解答题(满分46分,19题6分，20、21、22、23、24题每题8分)
19．如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
20．如图，将菱形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若菱形的对角线，，求菱形的面积．
21、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣3，﹣2），B（0，3），C（3，2），D（0，﹣3）．四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明．
22、如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是中点．求证：（1）DM=BM；（2）MN⊥BD 。
23.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF.
(1)求证:四边形OEFG是矩形.
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.
24.如图1,在正方形ABCD中,点E为AB上的点(不与A,B重合),△ADE与△FDE关于DE对称,作射线CF,与DE的延长线相交于点G,连接AG.
(1)当∠ADE=15°时,求∠DGC的度数;
(2)若点E在AB上移动,请你判断∠DGC的度数是否发生变化,若不变化,请证明你的结论,若发生变化,请说明理由;
(3)如图2,点F在对角线BD上,点M为DE的中点,连接AM,FM,请判断四边形AGFM的形状,并证明结论.
参考答案与解析
一、选择题(每题3分,共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C C D D D C B C
二、填空题(每题3分,共24分)
11.20 12. 13.3
14．4﹣2或3. 解析：①当A′D=DC时，如图1，连接ED，
∵点E是AB的中点，AB=4，BC=4，四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，∠A=90°，∴DE==6，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，∴A′E=AE=2，
∵A′D=DC=AB=4，∴DE=A′E+A′D=6，
∴点E，A′，D三点共线，
∵∠A=90°，∴∠FA′E=∠FA′D=90°，
设AF=x，则A′F=x，FD=4-x，
在Rt△FA′D中，42+x2=（4-x）2，
解得：x=，∴FD=3；
②当A′D=A′C时，如图2，
∵A′D=A′C，∴点A′在线段CD的垂直平分线上，
∴点A′在线段AB的垂直平分线上，
∵点E是AB的中点，∴EA′是AB的垂直平分线，∴∠AEA′=90°，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，
∴∠A=∠EA′F=90°，AF=FA′，
∴四边形AEA′F是正方形，
∴AF=AE=2，∴DF=4-2，
故答案为：4-2或3．
14，150；
15，；
16. ①③④
【解析】①由矩形 ， 可得 ，，
．
又 ，
在 和 中，
，故①正确；
② 不一定等于 ，
直角三角形 中， 不一定等于 的一半，故②错误；
③由 ，可得 ，
由矩形 ，可得 ，
，故③正确；
④由 ，可得 ，
由矩形 ，可得 ，
又 ，
，故④正确；
故一定正确的是①③④．
故答案为：①③④．
17.
【解析】如图，连接 ，
四边形 和四边形 为菱形，，
，
，
．
18.
三、解答题(满分46分,19题6分，20、21、22、23、24题每题8分)
19．【解答】（1）证明：，
，．
是中点，
．
在与中，
．
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作于点．
在中，，，，
由勾股定理得．
在中，，，，
，
，
．
20．【解答】（1）证明：四边形是菱形，
，，，
，
，
即，
，，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，，，
菱形的面积．
21、解：四边形ABCD是平行四边形．
理由：∵A（﹣3，﹣2），B（0，3），C（3，2），D（0，﹣3），
∴AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
22、
23..(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,
∴点O为BD的中点,
又∵点E为AD的中点,
∴OE为△ABD的中位线,∴OE∥FG,
又∵OG∥EF,∴四边形OEFG为平行四边形,
又∵EF⊥AB,∴四边形OEFG为矩形.
(2)解:∵点E为AD的中点,AD=10,
∴AE=1/2AD=5.
∵∠EFA=90°,EF=4,
∴AF=√AE^2 EF^2=√5^2 4^2=3.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=AD=10,∴OE=1/2AB=5.
∵四边形OEFG为矩形,
∴FG=OE=5,
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.
24.20.解:(1)∵∠ADE=15°,
∴∠FDE=15°,∴∠CDF=60°.
由对称可知AD=DF,∴DF=DC,
∴△DFC是等边三角形,∴∠CFD=60°.
∵∠CFD=∠DGC+∠FDE=∠DGC+15°,
∴∠DGC=45°.
(2)∠DGC的度数不变化.证明如下:
∵△ADE与△FDE关于DE对称,
∴AD=DF,∠ADE=∠FDE.
设∠ADE=x,可得∠FDE=x,∠CDF=90°-2x,
∵DC=AD=DF,
∴∠CFD=1/2[180°-(90°-2x)]=45°+x.
∵∠CFD=∠DGC+∠FDE=∠DGC+x,
∴∠DGC+x=45°+x,
∴∠DGC=45°.
(3)四边形AGFM是正方形.证明如下:
∵∠DAE=∠DFE=90°,点M为DE的中点,
∴AM=FM=DM=1/2DE,
∴∠ADM=∠DAM,∠MDF=∠DFM,
又∵∠ADM=∠MDF=22.5°,
∴∠AME=∠FME=2∠ADM=2∠MDF=45°,
∴∠AMF=90°.
由(2)可知,∠DGC=45°,∴FM=FG.
在△ADG与△FDG中,{■(AD=DF,@∠ADG=∠FDG,@DG=DG,)┤
∴△ADG≌△FDG,∴AG=FG,
∴AM=MF=FG=AG,∴四边形AGFM是菱形,
又∵∠AMF=90°,
∴四边形AGFM是正方形.