垂径定理[上学期]
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课件18张PPT。垂径定理安岳外国语学校 龙 强 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推理形式：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB ∴CE=DE，AC=AD，BC=BD ⌒⌒⌒⌒ 例1 已知⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。 E 1、已知如图，⊙O的直径AB=10cm。∠ABC=300，求弦BC的长。 3、已知如图，在⊙0中，弦AB=4cm，半径OB=4cm，求点O到AB的距离及∠B的度数。 例1 已知⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。 1、已知如图，⊙O的直径AB=10cm。∠ABC=300，求弦BC的长。 2、已知如图，在⊙0中，弦AB=4cm，半径OB=4cm，求点O到AB的距离及∠B的度数。EC注意： 垂径定理一个很重要的应用：将垂径定理与勾股定理结合，容易得到圆的半径r、圆心到弦的距离（即弦心距）d、弦长a之间的关系式： 例2 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AD交小圆于C、B两点，求证：AC=BD E注意：在解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线。 例2 如图，AB、CD是⊙O的两条平行弦，⊙O 的半径为10cm，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离。EF现将这道题这样改一下： 已知：AB、CD是⊙O的两条平行弦，⊙O 的半径为10cm，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离。练习：
1、已知，如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AC，OE⊥AB，D、E为垂足，求证：四边形ADOE是正方形。
2、已知⊙O中最长的弦长为40，另有一条弦AB，且∠AOB=1200，求ΔAOB的面积。
3、已知，在⊙O中，AB为弦， C、D两点在AB上，且AC=BD，求证：ΔOCD为等腰三角形。 1、如图所示，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于M，则可以得出很多结论。请你按现有图形写出两个结论：______________（1）直径AB（2）AB ⊥ CD,垂足为H( 3 )CH=DH?将圆沿AB 对折，两个半圆互相重合因为CH=DH又因为?AHD+ ? AHC=180 ?
所以?AHD= ? AHC=90 ?
即AB ? CD条件：直径平分弦结论：这条直径垂直于弦，平分弦所对的弧。?推论：如果一条直径平分不是直径的弦，那么这条直径垂直于弦，平分弦所对的弧条件：直径平分不是直径的弦结论：垂直于弦，平分弦所对的弧你还能写出一些结论吗？试一试。（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那
么这条直径垂直这条弦,并且平分这条弦所对的弧。
（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径垂直平分
这条弧所对的弦。
（3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直
线过圆心并且平分这条弦所对的弧。
（4）如果一条直线平分弦和它所对的一条弧，那么
这条直线过圆心并且垂直这条弦。
（5）如果一条直线垂直于弦并且平分弦所对的一条
弧，那么这条直线过圆心并且平分这条弦。一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。???(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。???例1 现有一块破碎的轮片，欲重新配制一块半径与其相等的圆形轮片，你准备采用什么方法？ 例2 有位同学用下面的方法4等分AB： （1）连结AB （2）作AB的垂直平分线CD交AB于点M，并AB于点T。 （3）分别作AT、TB的垂直平分线EF、GH，交AB于N、P。 则N、M、P三点把AB4等分。 这位同学的作法对吗？⌒⌒⌒⌒例3 已知，AB、CD是⊙O的两条 弦，且AB//CD，求证：AC=BD⌒⌒OE 练习： 1、已知，如图1，⊙O的弦AB、CD的夹角为500，M、N分别是AB、CD的中点，求∠MON的度数。 2、如图2，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过点A作O1O2的平行线交两圆于C、D，已知O1O2=20cm，求CD的长。 ⌒⌒EF 例4 AB、BC是⊙O的弦，且AB⊥BC，M、N分别是AB、BC的中点，OM、ON分别交AB、BC于D、E，若OD=4cm，OE=3cm，求： （1）AB、BC的长；（2）⊙O的半径。⌒⌒ 1、已知⊙O中，弦AB、CD互相垂直，AB被CD分成的两条线段的长分别为5cm和13cm，则圆心O到CD的距离为________cm。 2、已知，⊙O中，AB=BC=OC分别交AC、BD于E、F，求证△OEF为等腰三角形。⌒⌒⌒ 例5、如图，在扇形OAB中，C是弧AB的中点，OC交AB于点D ，?AOC=30 0,AD=16cm求（1） ?OAB的度数（2）AB的长ABCDODO 练习：某地新建一座石拱桥，桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为40米，拱高（弧的中点到弦的距离）为8米，求拱桥的半径。弦a、弦心距d、半径r、弓形高h之间的关系： 1、r=d+h 2、注意：要先将实际问题转化为数学问题 1、在⊙O中,M是AB的中点,N是弦AB的中点， AB=4 ，MN=2,求圆心到O到AB的距离。 2、如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，AE=6cm，EB=14cm，∠DEB=300，求CD的长。 3、在Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=8，BC=6，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点P，求AP的长。 4、AB为⊙O的弦，P为AB上一点，AB=10，AP=4，OP=5，求⊙O的半径。
1、已知，如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AC，OE⊥AB，D、E为垂足，求证：四边形ADOE是正方形。
2、已知⊙O中最长的弦长为40，另有一条弦AB，且∠AOB=1200，求ΔAOB的面积。
3、已知，在⊙O中，AB为弦， C、D两点在AB上，且AC=BD，求证：ΔOCD为等腰三角形。 1、如图所示，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于M，则可以得出很多结论。请你按现有图形写出两个结论：______________（1）直径AB（2）AB ⊥ CD,垂足为H( 3 )CH=DH?将圆沿AB 对折，两个半圆互相重合因为CH=DH又因为?AHD+ ? AHC=180 ?
所以?AHD= ? AHC=90 ?
即AB ? CD条件：直径平分弦结论：这条直径垂直于弦，平分弦所对的弧。?推论：如果一条直径平分不是直径的弦，那么这条直径垂直于弦，平分弦所对的弧条件：直径平分不是直径的弦结论：垂直于弦，平分弦所对的弧你还能写出一些结论吗？试一试。（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那
么这条直径垂直这条弦,并且平分这条弦所对的弧。
（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径垂直平分
这条弧所对的弦。
（3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直
线过圆心并且平分这条弦所对的弧。
（4）如果一条直线平分弦和它所对的一条弧，那么
这条直线过圆心并且垂直这条弦。
（5）如果一条直线垂直于弦并且平分弦所对的一条
弧，那么这条直线过圆心并且平分这条弦。一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。???(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。???例1 现有一块破碎的轮片，欲重新配制一块半径与其相等的圆形轮片，你准备采用什么方法？ 例2 有位同学用下面的方法4等分AB： （1）连结AB （2）作AB的垂直平分线CD交AB于点M，并AB于点T。 （3）分别作AT、TB的垂直平分线EF、GH，交AB于N、P。 则N、M、P三点把AB4等分。 这位同学的作法对吗？⌒⌒⌒⌒例3 已知，AB、CD是⊙O的两条 弦，且AB//CD，求证：AC=BD⌒⌒OE 练习： 1、已知，如图1，⊙O的弦AB、CD的夹角为500，M、N分别是AB、CD的中点，求∠MON的度数。 2、如图2，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过点A作O1O2的平行线交两圆于C、D，已知O1O2=20cm，求CD的长。 ⌒⌒EF 例4 AB、BC是⊙O的弦，且AB⊥BC，M、N分别是AB、BC的中点，OM、ON分别交AB、BC于D、E，若OD=4cm，OE=3cm，求： （1）AB、BC的长；（2）⊙O的半径。⌒⌒ 1、已知⊙O中，弦AB、CD互相垂直，AB被CD分成的两条线段的长分别为5cm和13cm，则圆心O到CD的距离为________cm。 2、已知，⊙O中，AB=BC=OC分别交AC、BD于E、F，求证△OEF为等腰三角形。⌒⌒⌒ 例5、如图，在扇形OAB中，C是弧AB的中点，OC交AB于点D ，?AOC=30 0,AD=16cm求（1） ?OAB的度数（2）AB的长ABCDODO 练习：某地新建一座石拱桥，桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为40米，拱高（弧的中点到弦的距离）为8米，求拱桥的半径。弦a、弦心距d、半径r、弓形高h之间的关系： 1、r=d+h 2、注意：要先将实际问题转化为数学问题 1、在⊙O中,M是AB的中点,N是弦AB的中点， AB=4 ，MN=2,求圆心到O到AB的距离。 2、如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，AE=6cm，EB=14cm，∠DEB=300，求CD的长。 3、在Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=8，BC=6，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点P，求AP的长。 4、AB为⊙O的弦，P为AB上一点，AB=10，AP=4，OP=5，求⊙O的半径。