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专题20 圆与方程
一、单选题
1．（2023·广东湛江·统考二模）若与轴相切的圆与直线也相切，且圆经过点，则圆的直径为（ ）
A．2 B．2或 C． D．或
【答案】B
【分析】根据题意设出圆的方程，代入点的坐标可求圆的方程，从而可得圆的直径.
【详解】因为直线的倾斜角为，
所以圆的圆心在两切线所成角的角平分线上．
设圆心，则圆的方程为，
将点的坐标代入，得，
整理得，解得或；
所以圆的直径为2或．
故选：B.
2．（2023·广东佛山·统考二模）已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程； 乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程； 丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据圆，抛物线，椭圆及双曲线的方程特点结合条件分析即得.
【详解】因为方程，其中，
所以当时，方程为，即是圆的方程，故方程可以是圆的方程；
当时，方程为，即是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；
当时，方程为，即是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；
若方程为双曲线的标准方程，则有，这与矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程；
所以真命题有3个.
故选：C.
3．（2023·河南·校联考三模）已知，在圆上任取一点，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆的性质结合几何概型分析运算.
【详解】圆的圆心为，半径，
由题可知点A在圆上，若时，，
如图，取，故点在优弧上，
所以的概率为.
故选：D.
【点睛】本题考查圆以及几何概型，考查逻辑推理的核心素养.
4．（2023·浙江·二模）已知是椭圆的左焦点，点在上，在上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得圆心坐标和半径，利用椭圆得到定义转化为，结合圆的性质，求得，进而得到答案.
【详解】由，可得，
可得圆的圆心坐标为，半径，
由椭圆，可得，
设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义可得，
所以，又由,
如图所示，当点四点共线时，即时，取得最小值，
最小值为，
所以.
故选：A.
5．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知实数，，任取一点，则该点满足的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据几何概型的方法，求出，表示的区域中满足的面积所占的比例即可．
【详解】设，则在平面直角坐标系中画出平面区域，如图所示，
则平面区域的面积为：，
圆的圆心为，半径为，
则在中满足的面积为：，
则中的点满足的概率，
故选：C．
6．（2023·福建宁德·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点为圆上的任一点，.若，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】通过圆的三角换元，利用向量的加减运算及向量相等的条件，转化为三角函数的最值问题即得结果.
【详解】由已知可设，则，
又，因为，
所以,即,
所以,其中，
当时，有最大值为.
故选：C.
7．（2023·海南海口·校联考一模）已知直线与圆：（）交于A，两点，且线段关于圆心对称，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得圆心的坐标，进而列出关于的方程，解之即可求得的值.
【详解】圆：的圆心，
由圆心在直线上，可得，
解之得.
故选：D
8．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由圆的垂径定理得，利用勾股关系求得，结合圆的定义即可求出点P的轨迹方程.
【详解】因为中点为P，所以，又，所以，
所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为.
故选：C.
9．（2023·浙江·统考二模）已知是圆上一点，是圆的直径，弦的中点为.若点在第一象限，直线、的斜率之和为0，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可得圆的方程，设直线的斜率为，则直线的方程为，代入圆的方程可得的坐标，从而可得的坐标，于是根据斜率关系可解得的值，由于点在第一象限，对的值进行取舍，即可得所求.
【详解】已知是圆上一点，所以
设直线的斜率为，则直线的方程为，所以，
则，恒成立，所以
由于，所以，则，由于是圆的直径，
所以，则弦的中点为坐标为
因为直线、的斜率之和为0，所以，整理得
解得或，又点在第一象限，所以，故，即直线的斜率是.
故选：C.
10．（2023·广东潮州·统考二模）已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆内
B．若圆与圆恰有三条公切线，则
C．直线与圆相离
D．圆关于对称
【答案】B
【分析】由点与圆的位置关系判断A；由两圆外切，结合圆与圆的位置关系判断B；由距离公式判断C；由圆心不在直线上判断D.
【详解】圆可化为，圆心为，半径为.
对于A：因为，所以点在圆外，故A错误；
对于B：若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切，
圆可化为，圆心为，
半径为，因为，所以，
解得，故B正确；
对于C：到直线的距离为，则直线
与圆相切，故C错误；
对于D：显然圆心不在直线上，则圆不关于
对称，故D错误；
故选：B
11．（2023·上海普陀·统考二模）设P为曲线C:上的任意一点，记P到C的准线的距离为d．若关于点集和，给出如下结论：
①任意，中总有2个元素；②存在，使得．
其中正确的是（ ）
A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立
C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立
【答案】B
【分析】根据题意可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，的圆心，证明当点在原点处时，点在点的轨迹圆外，即可得出结论.
【详解】曲线C:的焦点，
则，
由得，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
的圆心，
当点在原点处时，，此时，
此时点的轨迹方程为，
因为，所以点在圆外，
则存在，使得两圆相离，即，
故①错误，②正确.
故选：B.
12．（2023·全国·模拟预测）已知圆与圆交于，两点，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（ ）
A．6 B． C． D．7
【答案】B
【分析】由两个圆的方程相减消去平方项可得直线的方程，根据直线的方程可得直线经过定点，再求出圆心的坐标和圆的半径，求出圆心到直线的距离的最大值可得点到直线距离的最大值.
【详解】因为，所以，
由和可得直线的方程为，
变形得，由，得，
所以直线经过定点，
因为圆的圆心为，半径，
所以点到直线的距离的最大值为，
所以点到直线距离的最大值为.
故选：B
13．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）设集合，，则的真子集个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】求出再求真子集个数即可．
【详解】依题意表示直线与圆的交点的集合，
则，所以的真子集个数为个．
故选：C．
14．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的离心率求出值，再同蒙日圆的定义，利用特殊位置求出蒙日圆上的一点，即可求出椭圆的蒙日圆方程.
【详解】因为椭圆：的离心率为，则，解得，即椭圆的方程为，
于是椭圆的上顶点，右顶点，经过两点的椭圆切线方程分别为，，
则两条切线的交点坐标为，显然这两条切线互相垂直，因此点在椭圆的蒙日圆上，
圆心为椭圆的中心O，椭圆的蒙日圆半径，
所以椭圆的蒙日圆方程为.
故选：B
15．（2023·全国·模拟预测）设，均为正实数，若直线被圆截得的弦长为2，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用直线与圆的位置关系及基本不等式，结合一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】圆的圆心为，半径为，
由题意可知，圆心到直线的距离为
，两边平方并整理，得，
由基本不等式可知，，即，
解得或，当且仅当时，取等号，
于是有或,
的取值范围是.
故选：C.
16．（2023·广西·统考模拟预测）已知抛物线：的焦点为，圆：，点，分别为抛物线和圆上的动点，设点到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由题意，的最小值为，的最小值为，可求的最小值.
【详解】圆：，圆心坐标，半径为1，
抛物线：的焦点为，准线方程，如图所示，
点到直线的距离比点到准线的距离大2，即，
的最小值为，当三点共线时的最小值为，
所以.
故选：C.
17．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知圆过抛物线与坐标轴的三个交点，则圆上一点到直线的最小距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】先应用待定系数法求圆的一般方程，再应用点到直线距离公式求圆心到直线的距离，最后求出圆上一点到直线距离的最小值.
【详解】根据题意，，
设外接圆方程为，
则解得
外接圆方程为，即
则圆心到直线的距离为.
故外接圆上一点到直线的最小距离为.
故选：A.
18．（2023·全国·校联考模拟预测）过坐标原点的直线与圆相交，且将该圆分成的两段弧长之比为，则的斜率为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】由题得两段弧所对的圆心角分别为和，圆心到的距离为1，设的方程为，解方程即得解.
【详解】圆心坐标为，半径为2，因为将该圆分成的两段弧长之比为，
则两段弧所对的圆心角分别为和，
由几何性质可知，圆心到的距离为1，
设的方程为，则，
所以．
故选：B
19．（2023·浙江·统考二模）已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，顶点P到底面的距离为2，其外接球半径为5，则侧棱与底面所成角的正切值的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意分析知，轨迹为上以为圆心，5为半径的圆，作底面，则轨迹为以为圆心，5为半径的圆，与面所成角为，在中，求解即可得出答案.
【详解】正外心为，边长为，则，
外接球球心必在过垂直于底面的直线上，
，则，
到底面距离为2，故在离底面距离为2的平面上，
则轨迹为上以为圆心，5为半径的圆，
作底面，则轨迹为以为圆心，5为半径的圆，
与面所成角为，
，
所以
故选：A.
20．（2023·北京海淀·统考二模）已知动直线与圆交于，两点，且．若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】根据题意当动直线经过圆的圆心时，可得到弦长的最大值为该圆的直径，再设线段的中点为，从而得到动直线在圆上做切线运动，当动直线与轴垂直且点的坐标为时，即可得到弦长的最小值，进而即可求解．
【详解】由题意可知圆的圆心在圆上，
则当动直线经过圆心，即点或与圆心重合时，如图1，
此时弦长取得最大值，且最大值为；
设线段的中点为，
在中，由，且，则，
则动直线在圆上做切线运动，
所以当动直线与轴垂直，且点的坐标为时，如图2，
此时弦长取得最小值，且最小值为，
所以的最大值与最小值之差为2．
故选：D．
【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法：
①几何法：求圆的半径，弦心距，则弦长为；
②代数法：运用根与系数的关系及弦长公式．
21．（2023·北京昌平·统考二模）已知点在直线上，点，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【分析】根据的轨迹为圆，利用圆的几何性质，转化为圆心到直线的距离得解.
【详解】设，
由可知，
所以，即在圆心为，半径为2的圆上的动点，
圆心到直线的距离，
所以，
故选：B
22．（2023·江西吉安·统考一模）已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直线所过定点和可知，由此可得点轨迹是以为圆心，为半径的圆（不含点），由垂径定理和圆上点到定点距离最小值的求法可求得，结合向量数量积的运算律可求得的最小值.
【详解】由圆的方程知：圆心，半径；
由得：，恒过定点；
由得：，恒过定点；
由直线方程可知：，，即，
设，则，，
，整理可得：，
即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
又直线斜率存在，点轨迹不包含；
若点为弦的中点，则，位置关系如图：
连接，
由知：，
则，
（当在处取等号），
即的最小值为.
故选：A.
23．（2023·广西·校联考模拟预测）如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据弧长公式，结合已知求出角的余弦的近似值，求出CO,最后得到CD即可.
【详解】设圆心角，，，
所以，，
所以．
故选：B.
24．（2023·天津南开·统考二模）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】A
【分析】求出，由已知求出点的轨迹为圆，再由平面向量的平行四边形法则得出，的最大值即圆心到定点的距离加上半径，代入化简求值即可．
【详解】，，所以，则，
又因为，
所以，所以
由可得，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
取的中点，则，
所以，
故选：A
25．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，圆，直线与圆相交于两点，直线与圆相交于两点，若四边形的面积为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意结合双曲线的定义可得，进而可得，利用垂径定理求，结合面积运算求解即可.
【详解】由题意可得：，
可得，整理得，
过点分别作的垂线，垂足分别为，
则为的中点，为的中点，则，
所以，
由题意可得：，
因为圆的半径为，
可得，
所以四边形的面积
，
可得，则，整理得，
所以的离心率.
故选：A.
【点睛】方法点睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
26．（2023·江西·校联考模拟预测）在直四棱柱中中，，，P为中点，点Q满足，（，）.下列结论不正确的是（ ）
A．若，则四面体的体积为定值
B．若平面，则的最小值为
C．若的外心为M，则为定值2
D．若，则点Q的轨迹长度为
【答案】C
【分析】对于A，由，可得三点共线，可得点在，而由直四棱柱的性质可得平面，所以点到平面的距离为定值，而的面积为定值，从而可进行判断，对于B，取的中点分别为，连接，由面面平行的判定定理可得平面平面，从而可得平面，进而可求得的最小值，对于C，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断，对于D，在上取点，使得，可得点的轨迹为圆弧，从而可进行判断.
【详解】对于A，因为，，
所以三点共线，所以点在，因为，平面，
平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值，
因为的面积为定值，所以四面体的体积为定值，所以A正确；
对于B，取的中点分别为，连接，则，
因为平面，平面，所以平面，
因为，，所以，
因为平面，平面，平面，
因为，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，所以当时，最小，
因为，所以，，
所以，所以重合，所以的最小值为，所以B正确，
对于C，若的外心为，过作于，
因为，所以，所以C错误，
对于D，过作于点，因为则可得平面，
平面，所以，因为，
平面，所以平面，
，在上取点，使得，
则，所以若，
则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，
因为，所以，则圆弧等于，所以D正确，
故选：C.
【点睛】本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题.
二、多选题
27．（2023·山西阳泉·统考三模）已知方程，其中，现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题，其中真命题有：（ ）
A．可以是圆的方程 B．一定不能是抛物线的方程
C．可以是椭圆的标准方程 D．一定不能是双曲线的标准方程
【答案】ACD
【分析】根据圆，抛物线，椭圆及双曲线的方程特点结合条件分析即可.
【详解】因为方程，其中，
所以当时，方程为，
即是圆的方程，故方程可以是圆的方程，故A正确；
当时，方程为，
即是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程，故B错误；
当时，方程为，
即是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程，故C正确；
若方程为双曲线的标准方程，则有，
这与矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程，故D正确.
故选：ACD.
28．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．与的公切线恰有4条
B．与相交弦的方程为
C．与相交弦的弦长为
D．若分别是圆上的动点，则
【答案】BD
【分析】由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做差可以得到相交弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和，逐项分析判断即可.
【详解】由已知得圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
，
故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误；
做差可得与相交弦的方程为
到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，故C错误；
若分别是圆上的动点，则，故D正确.
故选：BD
29．（2023·山东淄博·统考二模）已知为坐标原点，分别为双曲线的上下焦点，是上下顶点，点是双曲线上异于顶点的任意一点，下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的焦点坐标为
B．以为圆心且与渐近线相切的圆的方程为
C．若点到的两条渐近线的距离分别为，则
D．直线的斜率之积是定值
【答案】BCD
【分析】根据方程求得焦点坐标，判断A，求出焦点到渐近线的距离得圆方程判断B，设，计算它到渐近线的距离之积判断C，计算与顶点连线的斜率之积判断D．
【详解】，焦点坐标为，A错误，
，一条渐近线的方程为，到渐近线的距离为，圆方程为，B正确；
设，则，即，
另一条渐近线的方程为，则，C正确；
由题意，，，D正确．
故选：BCD．
30．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知是圆上任意一点，定点在轴上，线段的垂直平分线与直线相交于点，当在圆上运动时，的轨迹可以是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】ABC
【分析】分点A在圆外，圆内（非原点），原点，圆上四种情况，结合图形可得答案.
【详解】当点A在圆外，如下图所示：设AP中点为B，过B作AP垂线交直线OP为Q，连接AQ，则，则，又，则此时Q轨迹为以为焦点的双曲线；
当点A在圆内（非原点），如下图所示，此时，又，则此时Q轨迹为以为焦点的椭圆；
当A在坐标原点，如下图所示，此时B，Q重合，则，则此时Q轨迹为以O为原点，半径为2的圆；
当在圆上，由垂径定理，可知Q点与O重合，此时的轨迹为点O.
故选：ABC
31．（2023·安徽淮南·统考二模）已知圆M的方程为：，（），点，给出以下结论，其中正确的有（ ）
A．过点P的任意直线与圆M都相交
B．若圆M与直线无交点，则
C．圆M面积最小时的圆与圆Q：有三条公切线
D．无论a为何值，圆M都有弦长为的弦，且被点P平分
【答案】ACD
【分析】根据点与圆的位置关系判断A选项，通过几何法判断直线与圆的位置关系判断B选项，根据圆与圆的位置关系判断公切线的条数判断C选项，根据半径的最小值及垂直弦平分弦判断D选项.
【详解】因为点代入入圆的方程得,所以在圆M内，
所以过点P的任意直线与圆M都相交,A选项正确;
圆M圆心,直线,
若圆M与直线无交点， ,
,,,,B选项错误;
圆,当时，圆M半径最小则面积最小,
圆Q：,,
,
圆M面积最小时的圆M与圆Q外切所以有三条公切线,C选项正确;
无论a为何值， ,,所以圆M都有弦长为的弦,
,,
,,
因为垂直弦平分弦, 圆M都有弦长为的弦，且被点P平分,故D选项正确.
故选:ACD.
32．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知圆M：，圆N：，直线l：，则下列说法正确的是（ ）
A．圆N的圆心为
B．圆M与圆N相交
C．当圆M与直线l相切时，则
D．当时，圆M与直线l相交所得的弦长为
【答案】BD
【分析】写出圆的标准方程确定圆心坐标和半径，判断与两圆半径的关系判断A、B；再由点线距离及相交弦长公式判断C、D.
【详解】由题设，，则且半径，
，则且半径，A错；
所以，即两圆相交，B对；
到直线l的距离，若圆M与直线l相切，则，
所以或，C错；
当时，即圆M与直线l相交，相交弦长为，D对.
故选：BD
33．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知圆，P为直线上一点，过点，分别作两条不同的直线，，与圆相交于A，B，与圆的另一个交点为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且点在轴上的射影为，则
B．圆上的点到直线的最大距离与最小距离之和为
C．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线，过定点
D．若，则的最大值为
【答案】CD
【分析】由条件证明为等边三角形，由此可求，判断A，求圆心到直线 距离，由此求圆上一点到直线的最大距离与最小距离，由此判断B，由条件证明四点共圆，求该圆与圆的公共弦，可得方程，由此判断C，结合弦长公式求，再求其最大值，判断D.
【详解】连接， 因为，，
所以为等边三角形，
因为点在轴上的射影为，
所以，为的中点，
所以，A错误；
圆的圆心为，半径，
因为圆心到直线的距离，
所以圆上一点到直线的最大距离为，
圆上一点到直线的最大距离为，
所以圆上一点到直线的最大距离与最小距离之和为，B错误；
设点的坐标为，
由已知，
所以四点共圆，设的中点为，
则该圆的圆心为，半径为，
所以该圆的方程为，
圆与圆的圆心距为，
因为，
故圆心距小于两圆半径和，大于两圆的半径差的绝对值，
所以圆和圆相交，又为两圆的公共弦，
由方程与方程相减可得
，即直线的方程为，
化简可得，
所以直线过定点，C正确；
当直线的斜率存在，且不为0时，
设直线的方程为，则的方程为，
所以点到直线的距离，
点到直线的距离，
所以，，
所以，
又，
所以，
当直线的斜率为时，，
直线的方程为，所以，
，
当直线的斜率不存在时，直线与圆只有一个交点，与已知矛盾，
所以的最大值为，D正确；
故选：CD.
34．（2023·安徽淮北·统考二模）已知点，点在上运动，边长为的正方形的顶点位于圆外，则的值可能是（ ）
A．0 B． C．8 D．10
【答案】ABC
【分析】利用极化恒等式结合图形求数量积最大值，再逐一判断选项即可.
【详解】如图所示，取CE中点F，连接BF，则由题意可得：，
由极化恒等式可得
当三点共线且时，，即，故C正确，且排除D项；
对于B项，当三点共线且比较接近时，此时存在，故B正确；
当重合时，易得，此时，故A正确；
故选：ABC
35．（2023·河北·统考模拟预测）点为圆上一动点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】设，可得，结合三角函数性质可判断A；将化为，继而令，转化为关于t的二次函数，求其最值，判断B；将转化为，利用几何意义，数形结合，可判断C；举出反例可判断D.
【详解】由题意点为圆上一动点，故设，
则，而，，
故，A错误；
，设，
则，，
故，当时，取最小值，
当时，取最大值，
即，B正确；
，设，则，
即可看作点与点连线的斜率，
如图示：当直线与圆相切时，k取得最值，
则，解得或，
则，故，C正确；
取为，满足，但此时，D错误，
故选：BC
【点睛】方法点睛：对于A，B选项的判断，结合其结构特征，利用三角代换，结合三角恒等变换或之间的关系，可进行判断；对于，可变形为，利用几何意义进行判断.
36．（2023·湖北·模拟预测）已知直线与圆O：交于点M，N，若过点M和的直线与y轴交于点C，过点M和的直线与x轴交于点D，则（ ）
A．面积的最大值为2 B．的最小值为4
C． D．若，则
【答案】ACD
【分析】利用面积公式可判断A；设，数量积的坐标表示结合重要不等式可判断B；利用M的坐标表示出直线坐标，从而可得C、D坐标，然后直接求解可判断C；利用韦达定理可判断D.
【详解】A项：因为直线与圆O交于点M，N，所以，
所以，
当，即，时，面积的最大值为2，A正确；
B项：设，则，，
所以，
因为，所以．
所以，即，
所以当时，取得最小值，B错误；
C项：当直线MB斜率存在时，则直线．
令，可得，故．
直线，
令，可得，所以．
故
；
当直线斜率不存在时，，，则，
综上所述，为定值，C正确；
D项：当时，，设，联立
消去y可得，则，，
则
，D正确．
故选：ACD
37．（2023·山东聊城·统考二模）设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点，且M为的中点．（ ）
A．当时，的斜率为2 B．当时，
C．当时，符合条件的直线l有两条 D．当时，符合条件的直线l有四条
【答案】ABD
【分析】由点差法得，由此判断AB正确；当的斜率不存在时判断是否符合要求，当的斜率存在时,由直线与圆切于得必在直线上，根据给定的求出位置，根据是否在抛物线内部判断CD是否正确.
【详解】如图,设,,
则,两式相减得,.
当的斜率存在时,，则有,
又,所以.
当时，，故A正确；
由,得,
即,因此,即必在直线上.
当时，，点，直线的方程为，恰好过抛物线焦点，
故，故B正确；
将代入,得,由在抛物线内部得，
因为点在圆上,所以,
当时，，解得，与矛盾，此时的斜率为的直线不存在，当的斜率不存在时,符合条件的直线只有一条，故C错误；
当时，，解得，符合，此时的斜率为的直线有两条. 当的斜率不存在时,符合条件的直线也有两条，故D正确；
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：不要遗漏判断斜率不存在时的直线是否符合要求.
当斜率存在时，先确定点一定在直线上，再用点一定在抛物线内部判断给定的是否符合要求.
三、填空题
38．（2023·河北张家口·统考二模）已知抛物线与轴的交点分别为,点的坐标为,若过三点的圆与轴的另一个交点为,则___________.
【答案】
【分析】设过三点的圆的方程为,分别令,,得到关于的二元一次方程,根据韦达定理求解即可.
【详解】由题意可得,点在抛物线上,所以点在轴上方,即.
设过三点的圆的方程为,
令,则有;
令,则有,
设的横坐标分别为,
则也为方程的根,
由韦达定理可得,;
同理,为方程的根,
由韦达定理可得,
因此,,
即.
故答案为:.
39．（2023·重庆·统考模拟预测）双曲线：的焦距是4，其渐近线与圆：相切，则双曲线的方程为___________．
【答案】
【分析】根据焦距，可求得c值，根据渐近线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a，b，c的关系，即可求得a，b值，从而得解.
【详解】因为双曲线的焦距为4，所以，其两条渐近线为，即，
圆的圆心为，半径为，
又双曲线与圆相切，所以，
又，所以，，
所以双曲线的标准方程为．
故答案为：.
40．（2023·河北邯郸·统考二模）已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是___________.
【答案】/
【分析】求出圆C圆心到弦AB的长度d，求出弦AB的长度，M到弦AB的最大距离为d＋r(r为圆C半径)，根据三角形面积公式即可求出答案．
【详解】，则圆C的圆心为，半径为，
圆心C到直线l（弦AB）的距离为，
则，
则到弦AB的距离的最大值为，
则面积的最大值是.
故答案为：
41．（2023·山东青岛·统考二模）与曲线和圆都相切的直线的方程为__________.
【答案】
【分析】由题意得，切线斜率不存在和斜率等于时不符合题意，当斜率不等于时，由切线与圆相切可得，由切线和曲线相切可得，从而解出，代入切线方程即可.
【详解】如图，
由题意得，当切线的斜率不存在时，显然不符合题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，
当时，显然不符合题意；
当时，因为切线与圆相切，所以圆心到切线的距离等于半径，
即，化简得.
又因为切线和曲线相切，联立方程组，
消去得，即，
则，即.
所以，解得或.
当时，，舍去；当时，.
所以切线方程为，即.
故答案为：
42．（2023·安徽马鞍山·统考三模）如图，在矩形中，，点分别为边的中点．将沿折起，在翻折过程中，直线被三棱锥的外接球截得的线段长的取值范围为________．
【答案】
【分析】根据题意得到为三棱锥的外接球的直径，即半径，过分别向的垂线，设向量和所成的角为，结合，根据向量的数量积的运算，求得，设外接球截直线的弦长为，结合球的截面圆和圆的弦长公式，即可求解.
【详解】取的中点，在翻折的过程中，可得，
即为三棱锥的外接球的直径，且，
即三棱锥的外接球的半径为，
过分别向的垂线，垂足分别为，如图所示，
可得，则，
设向量和所成的角为，其中，
因为，
则
，
所以，可得，即，
设三棱锥的外接球截直线的弦长为，
又因为，在翻折前，
当取得最大值时，此时球心到的距离最短，
此时直线被球截得的弦长最长，所以截得的线段长的最大值为；
当取得最小值时，此时球心到的距离最长，
取的中点，则，可得最大距离为，
此时直线被球截得的弦长最短，
根据圆的弦长公式，可得最短弦长为，
所以直线被三棱锥的外接球截得的线段长的取值范围为.
故答案为：.
43．（2023·辽宁锦州·统考二模）写出过点且与圆相切的一条直线的方程___________.
【答案】或
【分析】考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离等于半径解得答案.
【详解】圆，圆心，半径，
当直线斜率不存在时，验证知满足条件；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得，故直线方程为，
即.
综上所述：直线方程为或.
故答案为：或
44．（2023·重庆·统考模拟预测）已知圆及圆，若圆上任意一点，圆上均存在一点使得，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】问题转化为为射线与圆交点时，使过点相互垂直的两直线与圆有交点且与两条垂线的夹角均为，则有，为圆半径，即可求范围．
【详解】由，即在上运动，而为圆上任意一点，
要使圆上存在一点使，
即过点相互垂直的两直线与圆有交点且与两条垂线的夹角均为即可，
所以，只需为射线与圆交点时，使过点相互垂直的两直线与圆有交点且与两条垂线的夹角均为，
如上图，上述两条垂线刚好与圆相切为满足要求的临界情况，
所以，只需，为圆半径，即，
又，故，可得.
故答案为：
四、解答题
45．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，常数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为.
(1)写出的极坐标方程和的直角坐标方程；
(2)若直线和相交于两点，以为直径的圆与直线相切，求的值.
【答案】(1)的极坐标方程为，，的直角坐标方程为
(2)
【分析】（1）消去参数得到的普通方程，再利用公式得到极坐标方程，注意定义域，再求出的直角坐标方程；
（2）将代入的极坐标方程，求出的坐标，得到为直径的圆的圆心和半径，根据相切关系得到方程，求出答案.
【详解】（1）将曲线的参数方程消去，得的普通方程为，
且因为，所以，
将，，代入，
得，即，，即为的极坐标方程，
由直线的方程化简得，
化简得，即为的直角坐标方程.
（2）将直线代入，
得，即.
故以为直径的圆圆心为，半径.
圆心到直线的距离，由已知得，解得.
46．（2023·河南·校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
(1)求曲线C的直角坐标方程及l的普通方程；
(2)设，Q为曲线C上的动点，点P满足，点P的轨迹为曲线,若直线l与曲线相切，求实数的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程和极坐标方程转换成直角坐标方程；
（2）利用向量坐标运算以及直线与圆的位置关系解决问题.
【详解】（1）因为，所以曲线C的直角坐标方程为，
即；
由直线l的参数方程为（t为参数），得l的普通方程为．
（2）设点，则，
所以，所以，
又点Q在曲线C上，所以，即曲线的方程为，
又直线l与曲线相切，所以，所以．
47．（2023·陕西商洛·统考三模）在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
(2)若曲线与直线有两个公共点，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）消参将参数方程转化为直角坐标方程，根据极坐标与直角坐标转化的规则将极坐标方程转化为直角坐标方程；
（2）对曲线C和l作几何解释，列方程求解.
【详解】（1）由 得 ， 得，
即曲线C的直角坐标方程为，
由， ，得直线l的直角坐标方程为；
（2）由（1）可知，曲线C是圆心为，半径为3的圆，
因为曲线C与直线l有两个公共点，必有，
解得，即m的取值范围为.
48．（2023·全国·模拟预测）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)已知曲线与交于两点，求的值．
【答案】(1)曲线的普通方程为,曲线的直角坐标方程;
(2)
【分析】（1）根据消去可得曲线的普通方程，根据直接写出曲线的直角坐标方程；
（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定理即可求解.
【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），
所以曲线的普通方程为.
因为曲线的极坐标方程为，
所以曲线的直角坐标方程.
（2）曲线是圆心为，半径为的圆，
圆心到直线的距离为，
所以.
49．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数，α为倾斜角）．
(1)若圆C上存在两点关于直线l对称，求直线l的斜率；
(2)若直线与圆交于A、B两个不同的点，当时，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将圆C化为普通方程，再根据题意可得直线过圆心，进而求解即可；
（2）根据垂径定理求解即可.
【详解】（1）圆C的直角坐标方程为，得，
圆心，半径是2，设直线的斜率为k，
则直线的普通方程为．
直线过圆心，所以．
（2）由垂径定理得，，解得，
所以：．
50．（2023·河南新乡·统考三模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)P为直线l上一点，过P作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，若，求点P的横坐标的取值范围.
【答案】(1)曲线为，直线为
(2)
【分析】（1）消参可得曲线的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式化简可得直线直角坐标方程；
（2）由圆的几何性质可转化为P点与圆心距离满足，解不等式得解.
【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），
可得，即曲线的普通方程为.
由，得，
直线l的直角坐标方程为.
（2）设，若，则，
所以，即，
所以，化简得，
解得，即点P的横坐标的取值范围为.
51．（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）在平面直角坐标中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
(1)写出曲线的普通方程；
(2)若与有公共点，求的取值范围．
【答案】(1)（且）
(2)
【分析】（1）由曲线C的参数方程消去参数，即可得出曲线的普通方程，再根据参数的范围确定和的取值范围；
（2）首先由直线的极坐标方程得出直线的直角坐标方程；方法一：写出曲线的三角参数方程，与直线的直角坐标方程联立，通过求三角函数的值域即可得出的取值范围；方法二：由曲线的普通方程得出曲线为圆弧，画出简图，由直线与曲线有公共点求出直线极限位置时的值，即可得出的取值范围．
【详解】（1）因为曲线C的参数方程为（为参数），
得代入得，，
整理得：，
又因为，
所以，，
故曲线C的普通方程为：（且）．
（2）因为直线的极坐标方程为，
所以直线的直角坐标方程为：，
方法一：
由曲线C的普通方程写出曲线C的三角参数方程（为参数），
因为，所以可取，
联立与的方程，即将，代入中，
可得，即，
要使与有公共点，则有解，
因为，
所以，
故的取值范围是．
方法二：
由曲线C的普通方程（且），可知曲线为圆弧，圆心为，半径，如图所示，
若与有公共点，则直线的两个极限位置如图所示，
当直线与曲线相切时，
，即，
解得或（不合题意舍去），
当直线过点时，得，
因为直线与曲线有公共点，即直线在两个极限位置之间，
所以，
故的取值范围是．
52．（2023·河南·校联考模拟预测）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线且.
(1)求曲线的极坐标方程以及曲线的参数方程；
(2)若曲线与曲线交于两点，与曲线分别交于两点，则当取到最大值时，求曲线上的点到曲线距离的最大值.
【答案】(1)，（为参数）
(2)
【分析】（1）对于曲线通过消去参数，得出曲线的普通方程，再利用，即可得出曲线的极坐标方程和曲线普通方程，再利用圆的参数方程即可得出曲线的参数方程；
（2）根据条件，设出曲线的参数方程，通过联立方程，求出两点的参数，再利用参数方程的几何意义即可求出结果.
【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），消去参数，得到，化简得，
又因为，所以，
故曲线的极坐标方程为，
而曲线，即，即，
故曲线的参数方程为（为参数）.
（2）设曲线的参数方程为为参数，且，
代入曲线的直角坐标方程，可得，故，
将曲线的参数方程代入曲线的普通方程，可得，故，
所以，
因为且，故当时，有最大值，
此时曲线，圆心到直线的距离为，故曲线上的点到曲线距离的最大值为.
53．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，以椭圆的顶点为顶点的四边形面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)我们称圆心在椭圆上运动且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”.过原点作椭圆的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于两点，若直线的斜率存在，并记为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件可得即可得椭圆方程；
（2）先设切线的方程为，切线的方程为，由题意得环绕圆方程，由直线与圆相切及同解方程可得是方程的两个不相等的实数根，结合圆心在椭圆上得，由的范围可得最终答案.
【详解】（1）由题意，得且，又，
解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）
设切线的方程为，切线的方程为，“环绕圆”的圆心D为.
由“环绕圆”的定义，可得“环绕圆”的半径为1，所以“环绕圆”的标准方程为.
因为直线与“环绕圆”相切，则由点到直线的距离公式可得：，
化简得.
同理可得.
所以是方程的两个不相等的实数根，
所以.
又因为“环绕圆”的圆心在椭圆上，所以代入椭圆方程中，
可得，解得.
所以.
又因为且，所以或.
所以或，所以或，
所以或.
所以的取值范围是.
54．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为，直线l的普通方程为．
(1)将C的极坐标方程化为参数方程；
(2)设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出P的轨迹的参数方程并判断与l的位置关系．
【答案】(1)其中为参数
(2)其中为参数,与l相离．
【分析】（1）根据极坐标方程转化为直角坐标方程再转化为参数方程即可；（2）根据参数方程和向量的坐标形式转化关系，以及参数方程转化为直角坐标方程和直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
整理得，
曲线C的直角坐标方程为，
所以其中为参数．
则对应的参数方程为其中为参数．
（2）由（1）参数方程可设，
则由，
得其中为参数．
对应的直角坐标方程为，
圆心到l距离，则与l相离．
55．（2023·河南新乡·统考三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为，，为C上一动点，的最大值为，且长轴长和短轴长之比为2 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，过P作圆 的两条切线，，设，与x轴分别交于M，N两点，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由，求解；
（2）当过P的切线斜率存在，设其方程为，即，令，得切线与轴的交点坐标为，再根据切线和圆O相切，得到，即，设切线，的斜率分别为，，从而得到，，由结合韦达定理求解.
【详解】（1）解：由题意得，，
所以，
所以，
解得，，
则椭圆的标准方程为.
（2）如图所示：
当过P的切线斜率存在，即，时，
设其方程为，即，
令，得切线与轴的交点坐标为.
因为切线和圆O相切，所以
化简得，
则有，.
设切线，的斜率分别为，，则，，
所以
因为P在椭圆C上，所以有，代入上式化简可得.
令 ，得，，
则.
令，则，
当时，，单调递增，，即.
当过P的切线斜率不存在时，此时或.
若P点的坐标为，由对称性可得，
因为，所以面积的最小值为.
56．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）过、两点，且与直线相切的圆的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析可知，圆心在直线上，设圆心为，根据圆与直线相切以及圆过点可得出关于的等式，解出的值，即可得出所求圆的方程.
【详解】因为、，则线段的垂直平分线所在直线的方程为，
设圆心为，则圆的半径为，
又因为，所以，，
整理可得，解得或，
当时，，此时圆的方程为；
当时，，此时圆的方程为.
综上所述，满足条件的圆的方程为或.
故选：C.
57．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知抛物线C：的准线为l，圆O：.
(1)当时，圆O与抛物线C和准线l分别交于点A，B和点M，N，且，求抛物线C的方程；
(2)当时，点是（1）中所求抛物线C上的动点.过P作圆O的两条切线分别与抛物线C的准线l交于D，E两点，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得点O到AB的距离等于，由此可得，列方程求可得抛物线方程；
（2）设点，，，由与圆相切，可得，，表示的面积，结合基本不等式求其最小值.
【详解】（1）因为，所以点O到AB的距离等于点O到MN的距离，该距离等于，
由对称性可得直线的方程为，
由取可得，
所以.
由解得，
所以抛物线C的方程为.
（2）由（1）可知准线l的方程为，设点，，，
则直线PD的方程为，
整理得.
因为直线PD和圆O相切，所以点O到直线PD的距离等于1，
即，
整理得，
同理有，
因为，所以m，n是一元二次方程的两个根，
则，，
故，
又因为，
所以.
因为点P到准线l的距离为，
所以
令，则
令，则，当且仅当，即时取等号，
则，，
所以，当且仅当时等号成立.
综上，面积的最小值为.
【点睛】关键点点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
58．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知抛物线过点为坐标原点.
(1)直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，若弦的长等于6，求的面积；
(2)抛物线上是否存在异于的点，使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）先求抛物线方程，设直线l的方程，联立抛物线方程，由弦长公式可得斜率，再由点到直线的距离公式和三角形面积公式可得；
（2）设点且，然后带入圆的一般方程求解的圆心坐标，利用导数求在点N处的切线斜率，然后由切线斜率与的关系列方程求解可得.
【详解】（1）抛物线过点，可得，
所以抛物线方程，焦点为
设直线，设
由得，
直线l与抛物线有两个交点，所以①，
得，
于是
，
解得，直线l的方程为，
原点到直线l距离，
的面积为.
（2）已知的坐标分别为，抛物线方程，
假设抛物线上存在点且，使得经过三点的圆C和抛物线在点N处有相同的切线.
设经过三点的圆的方程为，
则，
解得，
，则抛物线在点处的切线的斜率为，
经过三点的圆在点处的切线斜率为，
直线的斜率存在.
圆心的坐标为，
即，，又，得，
解得，满足，
故满足题设的点N存在，其坐标为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
59．（2023·浙江宁波·统考二模）已知双曲线，点与双曲线上的点的距离的最小值为．
(1)求双曲线E的方程；
(2)直线与圆相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，N．记，的面积分别为，，当时，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设是双曲线上的任意一点，先求得，再结合题意即可求得的值，进而即可求出双曲线E的方程；
（2）先根据直线与圆相切得到，设，，再联立直线的方程和双曲线E的方程，求得，，根据题意求得的取值范围，设点到AB的距离，从而求得，再联立直线的方程和双曲线E的渐近线的方程，求得，，设点O到MN的距离，从而求得，再结合即可求得的值，进而即可求得直线l的方程．
【详解】（1）设是双曲线上的任意一点，
则，
所以当时，的最小值为，所以，得，
所以双曲线E的方程为．
（2）由直线与圆相切得，
由直线交双曲线的左、右支于A，B两点，设，，
联立，消整理得，
则，，，所以，
所以，即，解得，
又，则，
故，，
所以，
又点到AB的距离，故，
设，，
联立方程组，消整理得，
则，，，所以，
所以，
又点O到MN的距离，故，
所以当时，有，
整理得，即，
又，则，即，解得，（舍去），
所以，则，所以直线方程为．
【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系，利用韦达定理解决弦长问题，进而解决面积相关的取值范围问题，属中难题，关键是熟练掌握弦长公式和直线与双曲线的位置关系的判定方法．
60．（2023·上海金山·统考二模）已知椭圆.
(1)已知椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程；
(2)已知直线过椭圆的右焦点且垂直于轴，记与的交点分别为A、B，A、 B两点关于y轴的对称点分别为、，若四边形是正方形，求正方形的内切圆的方程；
(3)设О为坐标原点，P、Q两点都在椭圆上，若是等腰直角三角形，其中是直角，点Р在第一象限，且O、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据离心率求出，然后求出，即可得解；
（2）设右焦点，左焦点，根据正方形的结构特征及椭圆的对称性可得，再根据椭圆的定义求出，即可得出所求圆的半径，即可得解；
（3）设直线的倾斜角为，斜率为，求出直线的斜率，设，则，联立方程求出，根据可得关于的一元二次方程，再根据即可得解.
【详解】（1）由题意得，，所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设右焦点，左焦点，
因为四边形是正方形，
不妨设点在第一象限，则，
所以，
由，得，
正方形的内切圆的圆心为，半径为，
所以所求圆的方程为；
（3）设直线的倾斜角为，斜率为，
则直线的斜率为，
设，则，
联立，得，
同理可得，
由得，
即，
整理得，
注意到且，
则要使上述关于的一元二次方程有正数解，
只需要，解得，
所以b的最大值为.
【点睛】关键点点睛：由得出关于的一元二次方程，再结合题意得出是解决第三问的关键步骤.
61．（2023·辽宁·校联考二模）在直角坐标平面内，已知两点，，动点M到点的距离为，线段的垂直平分线交于点N．
(1)求动点N的轨迹方程；
(2)设（1）中的动点的轨迹为C，圆，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与轨迹C交于P、Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由椭圆的定义知N点的轨迹是椭圆，根据 写出椭圆方程；
(2)设切线l的方程，根据求出l方程的特征，再与椭圆C方程联立求出P，Q两点之间俄关系，再根据条件求解.
【详解】（1）由题意，，动点N的轨迹是以，为焦点的椭圆，
其中，，则，所求动点的轨迹方程为；
（2）
由题意可知直线l斜率存在（当斜率不存在时A，B两点重合，并在x轴上，不符合题意），
设直线l的方程为：，
联立直线和圆的方程： ，解得 ，
∴ ，解得，故，
联立直线和椭圆的方程： ，得 ，
设，，则，
设中点为M，由可知：，即M是的中点，在直线方程中，令，，
由中点坐标公式可知： ， ，解得 ，
∵，∴，故，∵，∴，
直线l的方程为；
综上，动点的轨迹C方程为，直线l的方程为.
【点睛】关键点点睛：在理顺图形中的几何关系，巧妙利用韦达定理求出m和k.
62．（2023·上海浦东新·统考三模）已知，曲线．
(1)若曲线为圆，且与直线交于两点，求的值；
(2)若曲线为椭圆，且离心率，求椭圆的标准方程；
(3)设，若曲线与轴交于，两点（点位于点的上方），直线与交于不同的两点， ，直线与直线交于点，求证：当时，A，，三点共线．
【答案】(1)4
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据曲线是圆，得到，由垂径定理得到弦长；
（2）分焦点在轴与轴上，两种情况，由离心率求出的值，得到椭圆方程；
（3）联立与曲线方程，得到两根之和，两根之积，表达出点坐标，计算出，从而得到A，，三点共线.
【详解】（1）若曲线为圆，则
圆方程为：，此时圆心到直线的距离
此时；
（2）曲线的方程为
当焦点在轴上时，
此时
此时椭圆的标准方程为
当焦点在轴上时，
此时
此时椭圆的标准方程为；
（3）当时，方程为，，，设，
直线的方程为：，
令
联立
，
因为，
分子
，
即，因而A，，三点共线．
【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，处理三点共线，四点共圆，或两直线倾斜角互补或相等问题时，往往会转化为斜率之和为0或斜率相等，进而列出方程，代入计算即可.
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专题20 圆与方程
一、单选题
1．（2023·广东湛江·统考二模）若与轴相切的圆与直线也相切，且圆经过点，则圆的直径为（ ）
A．2 B．2或 C． D．或
2．（2023·广东佛山·统考二模）已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程； 乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程； 丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023·河南·校联考三模）已知，在圆上任取一点，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江·二模）已知是椭圆的左焦点，点在上，在上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知实数，，任取一点，则该点满足的概率是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·福建宁德·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点为圆上的任一点，.若，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．（2023·海南海口·校联考一模）已知直线与圆：（）交于A，两点，且线段关于圆心对称，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
8．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·浙江·统考二模）已知是圆上一点，是圆的直径，弦的中点为.若点在第一象限，直线、的斜率之和为0，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·广东潮州·统考二模）已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆内
B．若圆与圆恰有三条公切线，则
C．直线与圆相离
D．圆关于对称
11．（2023·上海普陀·统考二模）设P为曲线C:上的任意一点，记P到C的准线的距离为d．若关于点集和，给出如下结论：
①任意，中总有2个元素；②存在，使得．
其中正确的是（ ）
A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立
C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立
12．（2023·全国·模拟预测）已知圆与圆交于，两点，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（ ）
A．6 B． C． D．7
13．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）设集合，，则的真子集个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·全国·模拟预测）设，均为正实数，若直线被圆截得的弦长为2，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023·广西·统考模拟预测）已知抛物线：的焦点为，圆：，点，分别为抛物线和圆上的动点，设点到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
17．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知圆过抛物线与坐标轴的三个交点，则圆上一点到直线的最小距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
18．（2023·全国·校联考模拟预测）过坐标原点的直线与圆相交，且将该圆分成的两段弧长之比为，则的斜率为（ ）
A． B． C．或 D．或
19．（2023·浙江·统考二模）已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，顶点P到底面的距离为2，其外接球半径为5，则侧棱与底面所成角的正切值的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
20．（2023·北京海淀·统考二模）已知动直线与圆交于，两点，且．若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（ ）
A． B．1 C． D．2
21．（2023·北京昌平·统考二模）已知点在直线上，点，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
22．（2023·江西吉安·统考一模）已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·广西·校联考模拟预测）如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（ ）
A． B． C． D．
24．（2023·天津南开·统考二模）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
25．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，圆，直线与圆相交于两点，直线与圆相交于两点，若四边形的面积为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·江西·校联考模拟预测）在直四棱柱中中，，，P为中点，点Q满足，（，）.下列结论不正确的是（ ）
A．若，则四面体的体积为定值
B．若平面，则的最小值为
C．若的外心为M，则为定值2
D．若，则点Q的轨迹长度为
二、多选题
27．（2023·山西阳泉·统考三模）已知方程，其中，现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题，其中真命题有：（ ）
A．可以是圆的方程 B．一定不能是抛物线的方程
C．可以是椭圆的标准方程 D．一定不能是双曲线的标准方程
28．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．与的公切线恰有4条
B．与相交弦的方程为
C．与相交弦的弦长为
D．若分别是圆上的动点，则
29．（2023·山东淄博·统考二模）已知为坐标原点，分别为双曲线的上下焦点，是上下顶点，点是双曲线上异于顶点的任意一点，下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的焦点坐标为
B．以为圆心且与渐近线相切的圆的方程为
C．若点到的两条渐近线的距离分别为，则
D．直线的斜率之积是定值
30．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知是圆上任意一点，定点在轴上，线段的垂直平分线与直线相交于点，当在圆上运动时，的轨迹可以是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
31．（2023·安徽淮南·统考二模）已知圆M的方程为：，（），点，给出以下结论，其中正确的有（ ）
A．过点P的任意直线与圆M都相交
B．若圆M与直线无交点，则
C．圆M面积最小时的圆与圆Q：有三条公切线
D．无论a为何值，圆M都有弦长为的弦，且被点P平分
32．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知圆M：，圆N：，直线l：，则下列说法正确的是（ ）
A．圆N的圆心为
B．圆M与圆N相交
C．当圆M与直线l相切时，则
D．当时，圆M与直线l相交所得的弦长为
33．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知圆，P为直线上一点，过点，分别作两条不同的直线，，与圆相交于A，B，与圆的另一个交点为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且点在轴上的射影为，则
B．圆上的点到直线的最大距离与最小距离之和为
C．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线，过定点
D．若，则的最大值为
34．（2023·安徽淮北·统考二模）已知点，点在上运动，边长为的正方形的顶点位于圆外，则的值可能是（ ）
A．0 B． C．8 D．10
35．（2023·河北·统考模拟预测）点为圆上一动点，则（ ）
A． B．
C． D．
36．（2023·湖北·模拟预测）已知直线与圆O：交于点M，N，若过点M和的直线与y轴交于点C，过点M和的直线与x轴交于点D，则（ ）
A．面积的最大值为2 B．的最小值为4
C． D．若，则
37．（2023·山东聊城·统考二模）设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点，且M为的中点．（ ）
A．当时，的斜率为2 B．当时，
C．当时，符合条件的直线l有两条 D．当时，符合条件的直线l有四条
三、填空题
38．（2023·河北张家口·统考二模）已知抛物线与轴的交点分别为,点的坐标为,若过三点的圆与轴的另一个交点为,则___________.
39．（2023·重庆·统考模拟预测）双曲线：的焦距是4，其渐近线与圆：相切，则双曲线的方程为___________．
40．（2023·河北邯郸·统考二模）已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是___________.
41．（2023·山东青岛·统考二模）与曲线和圆都相切的直线的方程为__________.
42．（2023·安徽马鞍山·统考三模）如图，在矩形中，，点分别为边的中点．将沿折起，在翻折过程中，直线被三棱锥的外接球截得的线段长的取值范围为________．
43．（2023·辽宁锦州·统考二模）写出过点且与圆相切的一条直线的方程___________.
44．（2023·重庆·统考模拟预测）已知圆及圆，若圆上任意一点，圆上均存在一点使得，则实数的取值范围是______.
四、解答题
45．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，常数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为.
(1)写出的极坐标方程和的直角坐标方程；
(2)若直线和相交于两点，以为直径的圆与直线相切，求的值.
46．（2023·河南·校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
(1)求曲线C的直角坐标方程及l的普通方程；
(2)设，Q为曲线C上的动点，点P满足，点P的轨迹为曲线,若直线l与曲线相切，求实数的值．
47．（2023·陕西商洛·统考三模）在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
(2)若曲线与直线有两个公共点，求的取值范围．
48．（2023·全国·模拟预测）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)已知曲线与交于两点，求的值．
49．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数，α为倾斜角）．
(1)若圆C上存在两点关于直线l对称，求直线l的斜率；
(2)若直线与圆交于A、B两个不同的点，当时，求直线l的方程．
50．（2023·河南新乡·统考三模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)P为直线l上一点，过P作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，若，求点P的横坐标的取值范围.
51．（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）在平面直角坐标中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
(1)写出曲线的普通方程；
(2)若与有公共点，求的取值范围．
52．（2023·河南·校联考模拟预测）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线且.
(1)求曲线的极坐标方程以及曲线的参数方程；
(2)若曲线与曲线交于两点，与曲线分别交于两点，则当取到最大值时，求曲线上的点到曲线距离的最大值.
53．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，以椭圆的顶点为顶点的四边形面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)我们称圆心在椭圆上运动且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”.过原点作椭圆的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于两点，若直线的斜率存在，并记为，求的取值范围.
54．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为，直线l的普通方程为．
(1)将C的极坐标方程化为参数方程；
(2)设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出P的轨迹的参数方程并判断与l的位置关系．
55．（2023·河南新乡·统考三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为，，为C上一动点，的最大值为，且长轴长和短轴长之比为2 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，过P作圆 的两条切线，，设，与x轴分别交于M，N两点，求面积的最小值.
56．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）过、两点，且与直线相切的圆的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
57．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知抛物线C：的准线为l，圆O：.
(1)当时，圆O与抛物线C和准线l分别交于点A，B和点M，N，且，求抛物线C的方程；
(2)当时，点是（1）中所求抛物线C上的动点.过P作圆O的两条切线分别与抛物线C的准线l交于D，E两点，求面积的最小值.
58．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知抛物线过点为坐标原点.
(1)直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，若弦的长等于6，求的面积；
(2)抛物线上是否存在异于的点，使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
59．（2023·浙江宁波·统考二模）已知双曲线，点与双曲线上的点的距离的最小值为．
(1)求双曲线E的方程；
(2)直线与圆相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，N．记，的面积分别为，，当时，求直线l的方程．
60．（2023·上海金山·统考二模）已知椭圆.
(1)已知椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程；
(2)已知直线过椭圆的右焦点且垂直于轴，记与的交点分别为A、B，A、 B两点关于y轴的对称点分别为、，若四边形是正方形，求正方形的内切圆的方程；
(3)设О为坐标原点，P、Q两点都在椭圆上，若是等腰直角三角形，其中是直角，点Р在第一象限，且O、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值.
61．（2023·辽宁·校联考二模）在直角坐标平面内，已知两点，，动点M到点的距离为，线段的垂直平分线交于点N．
(1)求动点N的轨迹方程；
(2)设（1）中的动点的轨迹为C，圆，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与轨迹C交于P、Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，求直线l的方程．
62．（2023·上海浦东新·统考三模）已知，曲线．
(1)若曲线为圆，且与直线交于两点，求的值；
(2)若曲线为椭圆，且离心率，求椭圆的标准方程；
(3)设，若曲线与轴交于，两点（点位于点的上方），直线与交于不同的两点， ，直线与直线交于点，求证：当时，A，，三点共线．
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